均匀概率定律

区间 $a$ 到 $b$ （其中 $a$ 和 $b$ 为有限实数）上的均匀概率律（或均匀分布）的概念，最好通过以下方式来定义。考虑一个数值随机现象，其取值只能落在某个有限区间 $S$ 内；即对于某些有限数 $a$ 和 $b$ ，有 $S = {$ 实数 $x : a \leq x \leq b}$ 。如果该随机现象的概率函数在任意区间 $B$ 上的值 $P [B]$ 满足以下关系，则称该随机现象在有限区间 $S$ 上服从均匀概率律：

应当注意，知道区间上的 $P [B]$ 就足以确定它在任何实数博雷尔集 $B$ 上的值。

从 (5.1) 可以看出，均匀分布的概念代表了具有等可能描述的有限样本描述空间 $S$ 概念的推广，因为在这种情况下， $S$ 上任何事件 $A$ 的概率 $P [A]$ 由以下公式给出：

有许多随机现象，假设其服从均匀概率律似乎是合理的。例如，假设某人向一条标记为 0 到 1 的线段投掷飞镖。如果总能确保落在线上，并且感觉如此，那么就会得出结论：飞镖击中线段的位置具有满足 (5.1) 的概率函数，其中 $S$ 表示区间 0 到 1。

在区间 $a$ 到 $b$ 上服从均匀概率律的随机现象的分布函数 $F (\cdot)$ 可从 (5.1) 得到：

通过微分，可以得到概率密度函数：

从 (5.4) 可知，由 (5.1) 给出的均匀概率律的定义与由 (4.10) 给出的定义一致。（参见 (图 5A) ）

图 2.4.1 — **图 5A.** 均匀概率律在 (a) 区间 1 到 1.5，(b) 区间 1 到 3 上的概率密度函数和分布函数。

例 5A . 等待火车的时间 。在早上 7 点到 8 点之间，火车在每小时过 $3, 5, 8, 10, 13, 15, 18, 20, \dots$ 分钟时离开某站。假设一个人到达车站的时间在以下时间区间上服从均匀概率律：(i) 早上 7 点到 8 点，(ii) 早上 7:15 到 7:30，(iii) 早上 7:02 到 7:15，(iv) 早上 7:03 到 7:15，(v) 早上 7:04 到 7:15，那么他等车时间少于 1 分钟的概率是多少？

解

我们必须首先找到为使等车时间少于 1 分钟，该人到达时间必须落入的实数集合 $B$ 。可以看出， $B$ 是由区间 2 到 3、4 到 5、7 到 8、9 到 10 等组成的实数集合。（参见图 5B 。）该人等车时间少于 1 分钟的概率由 $P [B]$ 给出，在各种情况下分别等于：(i) $\frac{24}{60} = \frac{2}{5}$ ，(ii) $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ ，(iii) $\frac{6}{13}$ ，(iv) $\frac{5}{12}$ ，(v) $\frac{5}{11}$ 。

例 5B . 随机选取数字的平方根的小数展开中第二位数字的概率律 。通过一个在区间 0 到 1 上服从均匀概率律的随机机制，从该区间选取一个数字。该数字的平方根的第二位小数为数字 3 的概率是多少？对于 $k = 0, 1, \dots, 9$ ，为数字 $k$ 的概率是多少？

解

对于 $k = 0, 1, \dots, 9$ ，令 $B_{k}$ 为单位区间上其平方根的第二位小数等于数字 $k$ 的数字集合。一个数字 $x$ 属于 $B_{k}$ 当且仅当 $\sqrt{x}$ 对于某个 $m = 0$ ， $1, \dots, 9$ 满足

$m + \frac{k}{10} \leq 10 \sqrt{x} < m + \frac{k + 1}{10}$

或

(5.5) 所描述区间的长度为

$\frac{1}{100} {(m + \frac{k + 1}{10})}^{2} - \frac{1}{100} {(m + \frac{k}{10})}^{2} = \frac{1}{10, 000} (20 m + 2 k + 1)$

因此，集合 $B_{k}$ 的概率由下式给出：

$P [B_{k}] = \frac{1}{10, 000} \sum_{m = 0}^{9} (20 m + 2 k + 1) = 0.091 + 0.002 k .$

特别地， $P [B_{3}] = 0.097$ 。

习题

5.1 . 某男子从家到火车站所需的时间（以分钟计）是一个在区间 20 到 25 上服从均匀概率律的随机现象。如果他早上 7:05 准时离开家，他能赶上早上 7:28 准时离站的火车概率是多少？

答案

$\frac{3}{5}$ 。

5.2 . 一个广播电台在早上 6 点到午夜 12 点之间，每小时整点播报正确时间。如果听众收听的时间在以下区间上均匀分布（随机选取）：(i) 早上 6 点到午夜 12 点，(ii) 早上 8 点到下午 6 点，(iii) 早上 7:30 到下午 5:30，(iv) 早上 7:30 到下午 5 点，那么他等待听到正确时间少于 10 分钟的概率是多少？

5.3 . 一个轮子的圆周被分成 37 段等长的弧，编号为 0 到 36（这是轮盘赌轮的构造原理）。转动轮子。轮子停止后，记录下与某个固定标记相对的点。假设这样选出的点在轮子圆周上服从均匀概率律。该点落在以下弧内的概率是多少：(i) 编号为 1 到 10（含）的弧，(ii) 编号为奇数的弧，(iii) 编号为 0 的弧？

答案

(i) $\frac{10}{3}$ ；(ii) $\frac{1}{3} \frac{8}{7}$ ；(iii) $\frac{1}{37}$ 。

5.4 . 一名跳伞者降落在连接城镇 $A$ 和 $B$ 的直线上。假设他降落的位置在该直线上服从均匀概率律。他距离 $A$ 的距离与他距离 $B$ 的距离之比为以下情况的概率是多少：(i) 大于 3，(ii) 等于 3，(iii) 大于 $R$ ，其中 $R$ 是一个给定的实数？

5.5 . 通过一个在区间 $- π / 2$ 到 $π / 2$ 上服从均匀概率律的随机机制，从该区间选取一个角度 $θ$ 。然后在 $(x, y)$ 平面上，过点 $(0, 1)$ 以与 $y$ 轴成 $θ$ 角的方向画一条直线。对于任意正数 $z$ ，该直线与 $x$ 轴交点的 $x$ 坐标小于 $z$ 的概率是多少？

答案

$P [x < z] = P [\tan (- θ) < z] = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} \tan^{- 1} z$ 。

5.6 . 通过一个在区间 0 到 1 上服从均匀概率律的随机机制，从该区间选取一个数字。以下情况的概率是多少：(i) 其第一位小数为 3，(ii) 其第二位小数为 3，(iii) 其前两位小数均为 3，(iv) 任意指定的一位小数为 3，(v) 任意指定的两位小数均为 3？

5.7 . 通过一个在区间 0 到 1 上服从均匀概率律的随机机制，从该区间选取一个数字。以下情况的概率是多少：(i) 其平方根的第一位小数为 3，(ii) 其对数（以 $e$ 为底）的相反数小于 3？

答案

(i) $P [0.3 < \sqrt{x} < 0.4] = 0.07$ ；(ii) $P [- \ln x < 3] = 1 - e^{- 3}$ 。