秩一自伴变换

证明. 我们知道，任一秩一变换 $A$ 在任一标准正交坐标系 $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ 下的矩阵 $({\alpha }_{ij})$ 由 ${\alpha }_{ij}={\beta }_i{\gamma }_j$ 给出。若 $A$ 自伴，则我们必有 ${\alpha }_{ij}={\overline{\alpha }}_{ji}$ ，因此 ${\beta }_i{\gamma }_j=\overline{{\beta }_j{\gamma }_i}$ 。若存在某个 $i$ 使得 ${\beta }_i=0$ 且 ${\gamma }_i\ne 0$ ，则对所有的 $j$ 有 ${\overline{\beta }}_j={\beta }_i{\gamma }_j/{\overline{\gamma }}_i=0$ ，从而 $A=0$ 。由于我们假设 $A$ 的秩为一（而非零），这是不可能的。类似地，${\beta }_i\ne 0$ 且 ${\gamma }_i=0$ 也不可能；也就是说，我们可以找到一个 $i$ 使得 ${\beta }_i{\gamma }_i\ne 0$ 。利用这个 $i$ ，我们有 $${\overline{\beta }}_j=({\beta }_i/{\overline{\gamma }}_i){\gamma }_j=\kappa {\gamma }_j$$ ，其中 $\kappa$ 是一个非零常数，与 $j$ 无关。由于自伴矩阵的对角线元素 ${\alpha }_{jj}=(A{x}_j,x_j)={\beta }_j{\gamma }_j$ 是实数，我们甚至可以断定 ${\alpha }_{ij}=\kappa {\beta }_i{\overline{\beta }}_j$ ，其中 $\kappa$ 为实数。

此外，若 $A$ 是正定的，则我们进一步知道 $\kappa {\beta }_j{\overline{\beta }}_j={\alpha }_{jj}=(A{x}_j,x_j)$ 为正定，因此 $\kappa$ 也是正定的。此时我们记 $\lambda =\sqrt{\kappa }$ ；关系式 $\kappa {\beta }_i{\overline{\beta }}_j=(\lambda {\beta }_i)(\lambda {\overline{\beta }}_j)$ 表明 ${\alpha }_{ij}$ 由 ${\alpha }_{ij}={\gamma }_i{\overline{\gamma }}_j$ 给出。

容易看出这些必要条件也是充分的。若 ${\alpha }_{ij}=\kappa {\beta }_i{\overline{\beta }}_j$ 且 $\kappa$ 为实数，则 $A$ 自伴。若 ${\alpha }_{ij}={\gamma }_i{\overline{\gamma }}_j$ ，且 $x=\sum _i{\xi }_i{x}_i$ ，则 从而 $A$ 是正定的。 ◻

证明. 由于我们可以将 $A$ 和 $B$ 都写成秩一正定变换的和，从而 $${\alpha }_{ij}=\sum _p{\alpha }_i^p{\overline{\alpha }}_j^p$$ 且 $${\beta }_{ij}=\sum _q{\beta }_i^q{\overline{\beta }}_j^q,$$ 于是得到 $${\gamma }_{ij}=\sum _p\sum _q{\alpha }_i^p{\beta }_i^q\overline{({\alpha }_j^p{\beta }_j^q)}.$$ （此处的上标不是指数。）由于正定矩阵的和是正定的，只需证明对每一对固定的 $p$ 和 $q$ ，矩阵 $(({\alpha }_i^p{\beta }_i^q)\overline{({\alpha }_j^p{\beta }_j^q)})$ 是正定的，而这由定理 1 可得。 ◻