延性金属的屈服准则

目前，有两种被普遍接受的理论用于预测韧性金属屈服的发生：

1. 最大剪应力理论或Tresca准则
2. von Mises准则或畸变能准则

1. 最大剪应力理论或Tresca准则

最大剪应力理论，有时称为Tresca屈服准则，指出当最大剪应力达到临界值 $k$ 时，屈服就会发生。用主应力 ${\sigma }_1$、${\sigma }_2$、${\sigma }_3$ 表示，可以写成：

如果 ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge {\sigma }_3$，我们之前已经证明，最大剪应力由下式给出

对于单轴拉伸，${\sigma }_1={\sigma }_{yp}$，${\sigma }_2={\sigma }_3=0$，其中 ${\sigma }_{yp}$ 是简单拉伸时的屈服强度。因此，简单拉伸时的剪切屈服应力 ${\tau }_{yp}$ 等于拉伸屈服应力的一半。

将这些值代入最大剪应力方程，得到

或

这有时写作

其中 和 是主应力的偏量，$k$ 是纯剪切屈服应力，即扭转时发生屈服的应力，此时 ${\sigma }_1=-{\sigma }_3$。

最大剪应力理论与实验结果吻合良好，略微偏于安全，被设计人员广泛用于韧性金属。

Tresca屈服条件为：

然而，在某些塑性问题中，这种简单形式不能作为屈服条件，因为不知道三个主应力中哪一个最大。一个正确的屈服函数不应依赖于任意的编号“1, 2, 3”。

Tresca的实际表述为：

因此，我们不应假定特定的排序，而必须写出一种对称处理所有三个差值的形式。

Tresca准则的对称代数形式

Tresca要求下面一个（不一定是全部）等式等于 2k：

强制实现“其中至少一个等于 2k”这一条件的一种紧凑写法是

该表达式是：

• 关于主应力对称，
• 如果任意一对差值满足 $|{\sigma }_i-{\sigma }_j|=2k$，则等于零。

因此，(9) 是Tresca条件的一个适当的解析表示。

Reuss的不变量形式

为了用应力不变量写出屈服准则，Reuss将对称形式 (9) 转化为一个包含偏应力张量的第二和第三不变量的不变表达式：

• （偏应力的第二不变量），
• （偏应力的第三不变量）。

Reuss证明，乘积表达式 (9) 等价于多项式：

这是Tresca准则的一个完全不变量形式，无需假定主应力的任何排序即可使用。显然，如此复杂的关系会导致非常繁琐的数学运算。正因如此，接下来讨论的屈服准则在大多数理论工作中更受青睐。

平面应力问题

在平面应力问题中，当 σ₃ = 0 时，Tresca准则（该准则指出当最大剪应力达到 σ_yp/2 时屈服开始）简化为：

max {|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|}  =  σ_yp

由于我们不知道 σ₁ 还是 σ₂ 是最大的主应力，该表达式在 σ₁–σ₂ 平面的不同象限中呈现不同的形式。

第一和第三象限（同号）
当 σ₁ 和 σ₂ 同号时，差值 |σ₁ – σ₂| 总是小于 |σ₁| 或 |σ₂|（或两者）。因此，在第一和第三象限，表达式 max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} 等于 |σ₁| 或 |σ₂|。

• 第一象限：两个应力均为正。在直线 σ₂ = σ₁（其中 σ₁ > σ₂）以下，准则给出 σ₁ = σ_yp。在此分角线以上，必须有 σ₂ = σ_yp。
• 第三象限：两个应力均为负。通过相同的类比，在分角线以下（σ₁ 的数值更大），必须有 σ₁ = –σ_yp。在分角线以上，必须有 σ₂ = –σ_yp。

第二和第四象限（异号）
当应力异号时，项 |σ₁ – σ₂| 代表绝对值之和，大于任一单独的数值。因此，差值项控制屈服。

• 第二象限：σ₁ 为负，σ₂ 为正。因此：
  max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} = |σ₁ – σ₂| = σ₂ – σ₁ = σ_yp
  这描述了一条连接 (–σ_yp, 0) 和 (0, σ_yp) 的直线。

• 第四象限：σ₁ 为正，σ₂ 为负。因此：
  max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} = |σ₁ – σ₂| = σ₁ – σ₂ = σ_yp
  这描述了一条连接 (σ_yp, 0) 和 (0, –σ_yp) 的直线。

2. Von Mises或畸变能理论

在前一节中，我们已经解释过，对于静水压力不敏感的材料，屈服准则的形式为

其中 $J_2$ 和 $J_3$ 是应力偏量的第二和第三不变量，$C$ 是材料常数。上述方程的最简单形式是 $J_2=C$，通常写作

该屈服准则的发展与Von Mises、Hencky、Maxwell和Huber的名字联系在一起，现在通常称为von Mises准则。Von Mises以上述方程给出的不变量形式提出这一准则，主要是因为它在数学上比式 (10) 给出的最大剪应力理论的不变量形式更简单。随后的实验表明，与最大剪应力理论相比，式 (11) 与复合应力屈服数据具有更好的整体一致性。

根据单轴拉伸试验，${\sigma }_1={\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}$，且 $J_2=\frac{1}{3}{\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}^2$。因此，由该试验确定常数 $k$ 为

根据纯剪切试验，$J_2={\tau }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}^2$，因此

因此，使用von Mises准则，意味着韧性材料的拉伸和剪切屈服强度通过 ${\tau }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}={\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}/\sqrt{3}\approx 0.577{\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}$ 相关联。

因此，框中的方程可以写为

• 上述方程也可以写成

• 表达该准则的一种等效方式是引入von Mises（等效应力）， 从而使屈服发生在 ${\sigma }_{\mathrm{v}}={\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}$ 时。因此，条件 J₂ = k² 和 σ_v  =  σ_yp 只是同一屈服准则的两种不同形式。

物理意义

人们曾多次尝试赋予von Mises屈服准则物理意义。一个普遍接受的概念是，该屈服准则表达了畸变应变能。基于畸变能概念，当单位体积的畸变应变能超过单轴拉伸或压缩中试样达到屈服应力时的单位体积畸变应变能时，屈服就会发生。下面给出了基于畸变能的式 (6) 的推导。式 (6) 的另一种常见物理解释是，它代表了八面体剪应力的临界值（稍后讨论）。

单位体积的总弹性应变能（$U_0=\frac{1}{2}{\sigma }_{ij}{ϵ}_{ij}$）可以分为两个分量：畸变应变能 $U_d$ 和体积改变应变能 $U_v$。

我们首先将应变和应力张量分解为体积（平均）分量和偏量分量：

其中 ${\delta }_{ij}$ 是Kronecker张量（如果 $i\ne j$，则 ${\delta }_{ij}=0$；如果 $i=j$，则 ${\delta }_{ij}=1$）。

平均（体积）应变和应力定义为

和

对重复指标求和。

由于偏张量的迹为零，我们有

因为偏张量的迹为零。

回想一下

其中 $G=\frac{E}{2(1+\nu )}$ 是剪切模量，并且

其中 $K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$ 是体积模量。

因此，

和

我们定义

因此 $U_0=U_v+U_d$，畸变能仅与形状改变相关，而 $U_v$​ 与体积改变相关。

最大畸变能指出，当 $U_d$ 达到等于单轴试验屈服时畸变能的临界值 $U_d^y$ 时，屈服开始：

因此：

平面应力问题（von Mises）

与Tresca准则类似，von Mises准则在平面应力情况下（其中一个主应力为零，设 ${\sigma }_3=0$）显著简化。

我们从用主应力表示的一般von Mises准则（式 14）开始：

两边平方得到一个更容易处理的形式：

将平面应力条件 ${\sigma }_3=0$ 代入该方程得到：

将整个方程除以2，得到平面应力下von Mises屈服的控制方程：

这是 ${\sigma }_1$–${\sigma }_2$ 平面中的一个椭圆方程，其长轴与 ${\sigma }_1$ 轴和 ${\sigma }_2$ 轴成45°角。