力矩定理

可以证明，对于任何力系，合力对任意点或轴的力矩等于各分力对该点或轴的力矩之和。我们将针对两个共面且不平行的力的特殊情况来证明这一定理。

考虑图 1 中所示的两个力 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，其汇交点为 $O$ ，矩轴为 $A$ 。取通过 $O$ 和 $A$ 的直线为 $y$ 轴。写出沿 $x$ 轴的分量，我们有： $R \cos γ = F_{1} \cos α + F_{2} \cos β$ 将每一项乘以距离 $O A$ 。 $R (O A) \cos γ = F_{1} (O A) \cos α + F_{2} (O A) \cos β$ 从图 1 的几何关系可以看出： $(O A) \cos α = a (O A) \cos β = b (O A) \cos γ = c$ 从而有： $R (c) = F_{1} (a) + F_{2} (b)$ 由于 $(F_{1}) (a)$ 是 $F_{1}$ 对 $A$ 的力矩， $(F_{2}) (b)$ 是 $F_{2}$ 对 $A$ 的力矩，而 $(R) (c)$ 是合力对 $A$ 的力矩，因此该情况下的定理得证。

如果矩矢量 $M$ 是相对于点 $O$ 定义的，那么它在任何方向 $O D$ 上的分量就是对直线 $O D$ 的力矩。在图 2 中，利用力矩定理，可以通过将力 $F$ 分解为直角分量 $F_{x}$ 、 $F_{y}$ 和 $F_{z}$ ，并写出这些分量对各个坐标轴的力矩之和，从而确定 $M$ 沿三个坐标轴的分量。这给出：

各项的符号已由前面给出的矩矢量定义确定。如果从原点向坐标轴的正端看去，顺时针旋转表示正号。

1.5.1 习题

1. 证明两个平行力系统的力矩定理。可以使用平行力系一节中图 1 的图表以及随附分析的结果。

2. 计算 1000 磅的力对点 $O$ 的力矩，(a) 通过将力乘以从 $O$ 到该力作用线的垂直距离，以及 (b) 通过在点 $A$ 处将力分解为直角分量，并利用力矩定理。(c) 重复上述步骤，通过在点 $B$ 和 $C$ 处将力分解为分量。

答案

$- 600 ft \cdot lb$

3. $F_{1}$ 平行于 $y$ 轴， $F_{2}$ 平行于 $x$ 轴，且这两个力的作用线在距离 $x y$ 平面为 $a$ 处与 $z$ 轴相交。证明如果将表示 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 对 $O$ 的力矩的两个矢量 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ 相加，所得的合矢量 $M$ 正确地表示了这两个力的合力对点 $O$ 的力矩。

4. 求图中所示的三个力对轴 $O A$ 的力矩。求解方法是：首先求出力矩沿三个坐标轴的分量，然后将这些分量沿直线 $O A$ 的分量相加。

答案

$- 52.1 ft \cdot lb$

5. 力 $P, Q,$ 和 $R$ 沿对角线施加，如图所示。如果 $2 P = 2 Q = R = 1000$ 磅，那么对每个坐标轴的力矩之和是多少？对 $O$ 的合力矩是多少？

答案

$M = 1670 in \cdot lb$ , $M_{x} = - 1114 in \cdot lb$ ; $M_{y} = 568 in \cdot lb$ , $M_{z} = 1108 in \cdot lb$

6. 已知 $F = 600$ 磅， $F_{x} = M_{z} = 0$ 。点 3, 4, 12 是力 $F$ 作用线上的一点。求 $M_{y}$ 和 $M_{z}$ 。

答案

$M_{y} = - 1707 ft \cdot lb$ , $M_{z} = 570 ft \cdot lb$

7. 已知一平面力系满足： $\sum F_{x} = 100$ 磅， $\sum F_{y} = - 160$ 磅， $Σ M_{0} = 500 ft \cdot lb$ 。确定合力与 $x$ 轴相交的点。

答案

$x = - 3.12$

8. 一个力的 $x, y,$ 和 $z$ 分量分别为 $- 20, 50$ 和 $25$ 磅。力矩分别为 $M_{x} = 400$ ， $M_{y} = 180$ ， $M_{z} = - 40 ft \cdot lb$ 。确定该力与 $x z$ 平面的交点位置。

答案

$x = - 0.8$ ft, $z = - 8.0$ ft