数值n元组值随机现象

在许多情况下，随机实验的结果并非由单一量值表示，而是由一组同时观测的量值来表示。因此，要描述一对可区分骰子的投掷结果，需要一个二元组 $(x_1,x_2)$ ，其中 $x_1$ 表示第一颗骰子得到的点数，$x_2$ 表示第二颗骰子得到的点数。类似地，要描述一个物体（例如一艘船）的地理位置，需要一个二元组 $(x_1,x_2)$ ，其分量分别表示该船的纬度和经度。人们可能希望描述某种商品（例如小麦或国际商业机器公司的普通股）在给定年份每月第一天的价格；为此，需要一个十二元组 $(x_1,x_2,\dots ,x_{12})$ ，其分量 $x_1,x_2,\dots ,x_{12}$ 分别表示一月、二月、三月、……、十一月和十二月第一天的价格。另一方面，对于某个整数 $n$ ，人们可能希望描述一份清单上 $n$ 种商品（面包、牛奶、肉类、鞋子、电力等）在给定年份 7 月 1 日的价格；为此，需要一个 $n$ 元组 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ ，其分量 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 分别表示清单上第一种商品、第二种商品，依此类推，直至第 $n$ 种商品在 7 月 1 日的价格。

由此我们引出了数值 $n$ 元组值随机现象的概念，我们将其定义为一个随机现象，其样本描述空间是集合 $R_n$ ，该集合由所有 $n$ 元组 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 组成，其中分量 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是从 $-\mathrm{\infty }$ 到 $\mathrm{\infty }$ 的实数。在本节中，我们将说明用于讨论数值 $n$ 元组值随机现象的记号。我们从考虑 $n=2$ 的情况开始。

一个数值二元组值随机现象通过陈述其概率函数 $P[\cdot ]$ 来描述，该函数在任何实数二元组集合 $B$ 上的值 $P[B]$ 表示该随机现象的一次观测结果具有位于集合 $B$ 中的描述的概率。将概率函数 $P[\cdot ]$ 视为表示某种物质（我们称之为概率）的单位质量在一个二维平面上的分布是有益的，该平面上已标出直角坐标，如图 7A 所示。对于任何（可概率化的）二元组集合 $B$ ，$P[B]$ 表示分布在集合 $B$ 上的概率物质的重量。

为了知道一个数值二元组值随机现象的概率函数 $P[\cdot ]$ 对于所有（可概率化的）二元组集合 $B$ 的值 $P[B]$ ，只需对所有实数 $x_1$ 和 $x_2$ 知道以下集合的值即可

 

用文字表述，$B_{x_1,x_2}$ 是由所有满足以下条件的二元组 组成的集合：其第一个分量 小于指定的实数 $x_1$ ，且其第二个分量 小于指定的实数 $x_2$ 。由此我们引入数值二元组值随机现象的分布函数 $F(.,.)$ ，它是一个二元函数，对所有实数 $x_1$ 和 $x_2$ 由以下方程定义 量 $F(x_1,x_2)$ 表示所考虑的随机现象的一次观测结果将以一个二元组作为其描述的概率，该二元组的第一个分量小于或等于 $x_1$ ，且第二个分量小于或等于 $x_2$ 。就分布在图 7A 平面上的单位概率质量而言，$F(x_1,x_2)$ 等于位于“无限延伸的矩形”之上的概率物质的重量，该矩形由所有满足 和 的二元组 组成，对应于图 7A 中的阴影区域。

平面中任何矩形所分配的概率也可以用分布函数 $F(.,.)$ 来表示：对于任何实数 $a_1$ 和 $a_2$ 以及任何正数 $h_1$ 和 $h_2$ 

与数值值随机现象的情况一样，数值二元组值随机现象最重要的情形是那些概率函数由概率质量函数或概率密度函数指定的情形。

给定一个数值二元组值随机现象，我们定义其概率质量函数，记作 $p(.,.)$ ，它是一个二元函数；对所有实数 $x_1$ 和 $x_2$ 由以下方程定义  

量 $p(x_1,x_2)$ 表示所考虑的随机现象的一次观测结果将以一个二元组作为其描述的概率，该二元组的第一个分量等于 $x_1$ ，且第二个分量等于 $x_2$ 。可以证明，只有有限个或可数无限个点使得 。

我们定义一个数值二元组值随机现象服从离散概率律，如果其概率质量函数在使得 的点 $(x_1,x_2)$ 上的和等于 1。等价地，该随机现象服从离散概率律，如果其概率函数 $P[\cdot ]$ 由其概率质量函数 $p(\cdot ,\cdot )$ 通过以下公式对任何二元组集合 $B$ 指定：

 

就由概率函数 $P[\cdot ]$ 分布在图 7A 平面上的单位概率质量而言，一个数值二元组值随机现象服从离散概率律，如果为了分布相应的单位概率质量，只需要在有限个或可数无限个点中的每一个点上附加一个正的概率质量。

接下来我们考虑数值二元组值随机现象，其概率函数 $P[\cdot ]$ 可以通过一个二元函数 $f(\cdot ,\cdot )$ 来指定，我们称该函数为其概率密度函数。对于每个（可概率化的）二元组集合 $B$

等价地，其分布函数 $F(\cdot ,\cdot )$ 满足，对于每一对实数 $x_1$ 和 $x_2$ 

因此，概率密度函数可以通过对分布函数 $F(.,.)$ 求导得到：

在所有使得二阶混合偏导数 ${\partial }^2/\left(\partial x_1\partial x_2\right)F(x_1,x_2)$ 存在的二元组 $(x_1,x_2)$ 处成立。

在数值二元组值随机现象的情形中，从实践的角度来看，仍然成立的是，其分布函数 $F(.,.)$ 作为二元函数是连续的随机现象，仅仅是那些其分布函数由概率密度函数指定的随机现象。因此，我们将说一个数值二元组值随机现象服从连续概率律，如果其概率函数和分布函数由一个概率密度函数指定。

本节的所有概念通过在前述讨论中将二元组读作 $n$ 元组，将 $(x_1,x_2)$ 读作 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ ，即可立即推广到数值 $n$ 元组值随机现象。将 (7.1) 到 (7.8) 替换为以下方程：  

还有许多其他与数值 $n$ 元组值随机现象相关的概念，但它们最好用随机变量来表述，因此将在第 7 章中讨论。

练习