指定数值型随机现象的概率函数

考虑一个数值随机现象的概率函数 $P [\cdot]$ 。问题在于如何方便地表述该函数，而无需对每一个实数集 $E$ 都实际给出 $P [E]$ 的值。一般来说，要表述函数 $P [\cdot]$ ，如同表述任何函数一样，必须枚举函数 $P [\cdot]$ 定义域中的所有成员，并对定义域中的每个成员给出函数的值。在特殊情况下（幸运的是，这些情况涵盖了实践中遇到的大多数情形），有更方便的方法可用。

对于许多概率函数，存在一个对所有实数 $x$ 都有定义的函数 $f (\cdot)$ ，通过该函数，对于任何事件 $E$ ，都可以通过积分得到 $P [E]$ ：

给定一个概率函数 $P [\cdot]$ ，如果它可以借助某个函数 $f (\cdot)$ 表示为 (2.1) 的形式，我们称函数 $f (\cdot)$ 为该概率函数 $P [\cdot]$ 的概率密度函数，并称该概率函数 $P [\cdot]$ 由概率密度函数 $f (\cdot)$ 所指定。

一个函数 $f (\cdot)$ 必须具有某些性质才能成为概率密度函数。首先，它作为一个函数必须足够良好，使得 (2.1) 中的积分¹是良定义的。其次，在 (2.1) 中令 $E = R$ ，有

$f (\cdot)$ 必须满足 (2.2) ；换言之， $f (\cdot)$ 从 $- \infty$ 到 $\infty$ 的积分必须等于 1。

如果一个函数 $f (\cdot)$ 满足 (2.2) ，并且还 ²满足条件 $对于中的所有$ 则称该函数为概率密度函数，因为满足 (2.2) 和 (2.3) 的函数 $f (\cdot)$ 是一个唯一概率函数 $P [\cdot]$ 的概率密度函数，该概率函数在任何事件 $E$ 处的值 $P [E]$ 由 (2.1) 给出。

一些典型的概率密度函数如图 2A 所示。

例 2A 。验证一个函数是概率密度函数。假设有人告诉你，在某个街角等公交车的时间是一个数值随机现象，其概率函数由概率密度函数 $f (\cdot)$ 指定，该函数由下式给出 $如果否则$

函数 $f (\cdot)$ 对于 $x$ 的多个值都是负的；特别地，对于 $0 \leq x \leq \frac{1}{4}$ 它是负的（证明此陈述）。因此， $f (\cdot)$ 不可能是一个概率密度函数。接下来，假设概率密度函数 $f (\cdot)$ 由下式给出 $如果否则$

由 (2.5) 给出的函数 $f (\cdot)$ 是非负的（证明此陈述）。然而，它从 $- \infty$ 到 $\infty$ 的积分， $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = \frac{8}{3},$ 不等于 1。因此，由 (2.5) 给出的函数 $f (\cdot)$ 不是一个概率密度函数。然而，由下式给出的函数 $f (\cdot)$ $如果否则$ 是一个概率密度函数。

例 2B 。从概率密度函数计算概率。让我们再次考虑例 1A 中讨论过的数值随机现象，即观察在某个公交站等车的时间。让我们假设该现象的概率函数 $P [\cdot]$ 可以通过 (2.1) 用函数 $f (\cdot)$ 来表示，其图形如图 2B 所示。 $f (\cdot)$ 的代数公式可以写为： $对于对于对于对于对于对于对于$

由 (2.1) 可知，如果 $A = {x : 0 \leq x \leq 2}$ 且 $B = {x : 1 \leq x \leq 3}$ ，则这与例 1A 中假设的值一致。

例 2C 。真空管的寿命。考虑一个数值随机现象，即观察一个真空管从首次投入使用起总共燃烧的时间。假设该现象的概率函数 $P [\cdot]$ 通过 (2.1) 用如下给出的函数 $f (\cdot)$ 来表示 $对于对于$

设 $E$ 为真空管燃烧时间在 100 到 1000 小时（含）之间的事件，设 $F$ 为真空管燃烧时间超过 1000 小时的事件。事件 $E$ 和 $F$ 可以表示为实数轴上的子集： $E =$ ${x : 100 \leq x \leq 1000}$ 和 $F = {x : 1000 < x}$ 。 $E$ 和 $F$ 的概率由下式给出

对于许多概率函数，存在一个对所有实数 $x$ 都有定义的函数 $p (\cdot)$ ，但除了在有限个或可数无限个 $x$ 值处 $p (x)$ 为正外，对于所有其他 $x$ ，其值 $p (x)$ 等于 0，使得通过 $p (\cdot)$ ，对于任何事件 $E$ ，都可以通过求和得到 $P [E]$ 的值： $遍及中所有使得的点$ 为了使 (2.7) 中的和有意义，只需施加条件 [在 (2.7) 中令 $E = R$ ] 即 $遍及所有使得的点$

给定一个概率函数 $P [\cdot]$ ，如果它可以表示为 (2.7) 的形式，我们称函数 $p (\cdot)$ 为该概率函数 $P [\cdot]$ 的概率质量函数，并称该概率函数 $P [\cdot]$ 由概率质量函数 $p (\cdot)$ 所指定。

一个对所有实数都有定义的函数 $p (\cdot)$ ，如果 (i) 除了在有限个或可数无限个 $x$ 值处 $p (x) > 0$ 外，对于所有其他 $x$ ， $p (x)$ 等于零，并且 (ii) (2.8) 中的无穷级数收敛且和为 1，则称该函数为概率质量函数。这样的函数是定义在实数轴子集上的唯一概率函数 $P [\cdot]$ 的概率质量函数，该概率函数在任何集合 $E$ 处的值 $P [E]$ 由 (2.7) 给出。

例 2D 。从概率质量函数计算概率。让我们再次考虑例 1A 和 2B 中考虑的数值随机现象。假设该现象的概率函数 $P [\cdot]$ 可以通过 (2.7) 用函数 $p (\cdot)$ 来表示，其图形如图 2C 所示。

$p (\cdot)$ 的代数公式可以写为： $除非对于某个对于对于对于$

由此可得这与例 1A 中假设的值一致。

“密度函数”和“质量函数”这两个术语源自数值随机现象的 $P [\cdot]$ 概率函数的以下物理表示。我们设想将某种物质的单位质量分布在实数轴上，使得在任何实数集 $B$ 上的质量等于 $P [B]$ 。该物质的分布在点 $x$ 处具有密度，记为 $f (x)$ ，如果对于包含点 $x$ 且长度为 $h$ （其中 $h$ 是一个足够小的数）的任何区间，附着在该区间上的物质质量等于 $h f (x)$ 。该物质的分布在点 $x$ 处具有质量，记为 $p (x)$ ，如果存在正的质量 $p (x)$ 集中在该点。

我们将在第3节中看到，概率函数 $P [\cdot]$ 总是具有概率密度函数和概率质量函数。因此，为了使概率函数由其概率密度函数或概率质量函数来指定，有必要（并且从实际角度来看，也是充分的）使其中一个函数恒等于零。

习题

验证习题 $2.1 - 2.5$ 中给出的每个函数 $f (\cdot)$ 都是概率密度函数（通过证明它满足(2.1)和(2.3)），并绘制其图形。³提示：可自由使用本节附录中推导出的事实。

2.1. $对于其他情况。对于其他情况。对于对于对于其他情况。$

2.2. $对于其他情况。对于其他情况。对于其他情况。$

2.3. $对于其他情况。对于其他情况。$

2.4. $对于$

2.5. $对于其他情况。对于其他情况。$

证明习题2.6和2.7中给出的每个函数 $p (\cdot)$ 都是概率质量函数[通过证明它满足(2.8)]，并绘制其图形。
提示：可自由使用本节附录中推导出的事实。

2.6. $对于对于其他情况。对于其他情况。对于其他情况。对于其他情况。$

2.7. $对于其他情况。对于其他情况。对于其他情况。$

2.8.某面包店一天能售出的面包数量（以百磅计）是一个数值随机现象，其概率函数由概率密度函数 $f (\cdot)$ 指定，如下所示

$对于对于其他情况$

求使 $f (\cdot)$ 成为概率密度函数的 $A$ 值。
绘制概率密度函数的图形。
明天售出的面包磅数分别为(a)超过500磅， $(b)$ 少于500磅，(c)介于250到750磅之间的概率是多少？
分别用 $A, B$ 和 $C$ 表示一天售出的面包磅数( $a$ )大于500磅， $(b)$ 少于500磅， $(c)$ 介于250到750磅之间的事件。求 $P [A ∣ B], P [A ∣ C]$ 。 $A$ 和 $B$ 是独立事件吗？ $A$ 和 $C$ 是独立事件吗？

2.9.某年轻女士打电话的时间长度（以分钟计）是一个随机现象，其概率函数由概率密度函数 $f (\cdot)$ 指定，如下所示 $对于其他情况。$

(i) 求使 $f (\cdot)$ 成为概率密度函数的 $A$ 值。

(ii) 绘制概率密度函数的图形。

(iii) 该年轻女士打电话的分钟数 $(a)$ 超过10分钟， $(b)$ 少于5分钟， $(c)$ 介于5到10分钟之间的概率是多少？

(iv) 对于任意实数 $b$ ，令 $A (b)$ 表示该年轻女士通话时间长于 $b$ 分钟的事件。求 $P [A (b)]$ 。证明，对于 $a > 0$ 和 $b > 0, P [A (a + b) ∣ A (a)] = P [A (b)]$ 。用文字表述，即已知一次电话通话已经持续了至少 $a$ 分钟，其持续时间将超过 $a + b$ 分钟的条件概率，等于其持续时间将超过 $b$ 分钟的无条件概率。

答案

(i) $A = \frac{1}{5}$ ; (iii) (a) 0.1353, (b) 0.6321, (c) 0.2326; (iv) $P [A (b)] = e^{- b / 5}$ 。

2.10.某报童一天能卖出的报纸数量是一个数值随机现象，其概率函数由概率质量函数 $p (\cdot)$ 指定，如下所示

$对于对于其他情况。$

(i) 求使 $p (\cdot)$ 成为概率质量函数的 $A$ 值。

(ii) 绘制概率质量函数的草图。

(iii) 明天将售出的报纸数量为(a)超过50份，(b)少于50份，(c)等于50份，(d)介于25到75份之间（含），(e)为奇数的概率是多少？

(iv) 分别用 $A, B, C$ 和 $D$ 表示一天售出的报纸数量为(a)大于 $50, (b)$ 小于 $50, (c)$ 等于50，(d)介于25到75之间（含）的事件。求 $P [A ∣ B], P [A ∣ C], P [A ∣ D]$ ， $P [C ∣ D]$ 。 $A$ 和 $B$ 是独立事件吗？ $A$ 和 $D$ 是独立事件吗？ $C$ 和 $D$ 是独立事件吗？

2.11.某设备（例如，一个电灯开关）在必须报废之前能够操作的次数是一个随机现象，其概率函数由概率质量函数 $p (\cdot)$ 指定，如下所示

$对于其他情况。$

(i) 求使 $p (\cdot)$ 成为概率质量函数的 $A$ 值。

(ii) 绘制概率质量函数的草图。

(iii) 设备在必须报废之前将操作的次数为(a)大于 $5, (b)$ 偶数（将0视为偶数），(c)奇数的概率是多少？

(iv) 对于任意实数 $b$ ，令 $A (b)$ 表示设备操作的次数严格大于或等于 $b$ 的事件。求 $P [A (b)]$ 。证明，对于任意整数 $a > 0$ 和 $b > 0, P [A (a + b) ∣ A (a)] =$ $P [A (b)]$ 。用文字表述该公式的含义。

答案

(i) $A = \frac{2}{3}$ ; (iii) (a) ${(\frac{1}{3})}^{6}$ , (b) $\frac{3}{4}$ , (c) $\frac{1}{4}$ ; (iv) $P [A (b)] = {(\frac{1}{3})}^{b}$ 。

附录：积分与求和的求值

如果(2.1)和(2.7)要成为计算事件概率的有用表达式，那么就必须有可用的求和与积分求值技巧。本附录的目的是陈述学生应熟悉的一些概念和公式，并收集一些读者应学会使用的重要公式，即使他们缺乏证明这些公式的数学背景。

首先，让我们注意以下原则。如果一个函数在不同的区域由不同的解析表达式定义，那么要计算被积函数为该函数的积分，必须将该积分表示为对应于该函数不同定义区域的积分之和。例如，考虑由下式定义的概率密度函数 $f (\cdot)$ $对于对于其他情况。$ 要证明 $f (\cdot)$ 是一个概率密度函数，我们需要验证(2.2)和(2.3)成立。显然，(2.3)成立。接下来，因此(2.2)已被证明成立。可以注意到，(2.10)中的函数 $f (\cdot)$ 可以用绝对值符号更简洁地写成： $对于其他情况$ 接下来，为了检验自己对基本积分技巧的掌握程度，读者应验证以下公式成立： $\int \frac{e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}} d x = \frac{- 1}{1 + e^{x}}, \int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x = \tan^{- 1} e^{x} = \arctan e^{x},$

一个通过分部积分法得到的重要积分公式如下，对于任何使积分有意义的实数 $t$ ：因此，对于 $t = 2$ ，我们得到

接下来我们考虑伽马函数 $Γ (\cdot)$ ，它在概率论中扮演着重要角色。对于每个 $t > 0$ ，它定义为

The Gamma function is a generalization of the factorial function in the following sense. From (2.13) it follows that Therefore, for any integer $r, 0 \leq r < t$ , Since, clearly, $Γ (1) = 1$ , it follows that for any integer $n \geq 0$

Next, it may be shown that for any integer $n > 0$ which may be written for any even integer $n$ since

We prove (2.21) by showing that $Γ (\frac{1}{2})$ is equal to another integral of whose value we have need. In (2.15) , make the change of variable $x = \frac{1}{2} y^{2}$ , and let $t = (n + 1) / 2$ . Then, for any integer, $n = 0, 1, \dots$ , we have the formula

In view of (2.22) , to establish (2.21) we need only show that

We prove (2.23) by proving the following basic formula; for any $u > 0$

Equation (2.24) may be derived as follows. Let $I$ be the value of the integral in (2.24) . Then $I^{2}$ is a product of two single integrals. By the theorem for the evaluation of double integrals, it then follows that

We now evaluate the double integral in (2.25) by means of a change of variables to polar coordinates. Then $I^{2} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{1}{2} u r^{2}} r d r d θ = \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{1}{2} u r^{2}} r d r = \frac{1}{u},$ so that $I = 1 / \sqrt{u}$ , which proves (2.24) .

For large values of $t$ there is an important asymptotic formula for the Gamma function, which is known as Stirling’s formula . Taking $t = n + 1$ , in which $n$ is a positive integer, this formula can be written in which $r (n)$ satisfies $1 - 1 / (12 n + 1) < r (n) < 1$ . The proof of Stirling’s formula may be found in many books. A particularly clear derivation is given by H. Robbins, “A Remark on Stirling’s Formula”, American Mathematical Monthly , Vol. 62 (1955), pp. 26–29.

We next turn to the evaluation of sums and infinite sums . The major tool in the evaluation of infinite sums is Taylor’s theorem, which states that under certain conditions a function $g (x)$ may be expanded in a power series: in which $g^{(k)} (0)$ denotes the value at $x = 0$ of the $k$ th derivative $g^{(k)} (x)$ of $g (x)$ . Letting $g (x) = e^{x}$ , we obtain

Take next $g (x) = (1 - x)^{n}$ , in which $n = 1, 2, \dots$ Clearly

Consequently, for $n = 1, 2, \dots$ which is a special case of the binomial theorem. One may deduce the binomial theorem from (2.30) by setting $x = (- b) / a$ .

We obtain an important generalization of the binomial theorem by taking $g (x) = (1 - x)^{t}$ , in which $t$ is any real number. For any real number $t$ and any integer $k = 1, 2, \dots$ define the binomial coefficient

Note that for any positive number $n$

By Taylor’s theorem, we obtain the important formula for all real numbers $t$ and $- 1 < x < 1$ ,

For the case of $n$ positive we may write, in view of (2.32) ,

Equation (2.34) , with $n = 1$ , is the familiar formula for the sum of a geometric series:

Equation (2.34) with $n = 2$ and 3 yields the formulas

From (2.33) we may obtain another important formula. By a comparison of the coefficients of $x^{n}$ on both sides of the equation $(1 + x)^{s} (1 + x)^{t} = (1 + x)^{s + t},$ we obtain for any real numbers $s$ and $t$ and any positive integer $n$

If $s$ and $t$ are positive integers (2.37) could be verified by mathematical induction. A useful special case of (2.37) is when $s = t = n$ ; we then obtain (5.13) of Chapter 2 .

Theoretical Exercises

2.1 . Show that for any positive real numbers $α, β$ , and $t$

2.2 . Show for any $σ > 0$ and $n = 1, 2, \dots$

2.3 . The integral which converges if $m$ and $n$ are positive, defines a function of $m$ and $n$ , called the beta function . Show that the beta function is symmetrical in its arguments, $B (m, n) = B (n, m)$ , and may be expressed [letting $x = \sin^{2} θ$ and $x = 1 / (1 + y)$ , respectively] by

Show finally that the beta and gamma functions are connected by the relation Hint: By changing to polar coordinates, we have

2.4 . Use (2.41) and (2.42) , with $m = n = \frac{1}{2}$ , to prove (2.23) .

2.5 . Prove that the integral defining the gamma function converges for any real number $t > 0$ .

2.6 . Prove that the integral defining the beta function converges for any real numbers $m$ and $n$ , such that $m > 0$ and $n > 0$ .

2.7 . Taylor’s theorem with remainder . Show that if the function $g (\cdot)$ has a continuous $n$ th derivative in some interval containing the origin then for $x$ in this interval

Hint : Show, for $k = 2, 3, \dots, n$ , that

2.8 . Lagrange’s form of the remainder in Taylor’s theorem . Show that if $g (\cdot)$ has a continuous $n$ th derivative in the closed interval from 0 to $x$ , where $x$ may be positive or negative, then for some number $θ$ in the interval $0 < θ < 1$ .

我们通常假设(2.1) 中的积分是在黎曼意义下定义的；为确保这一点，我们要求函数 $f (\cdot)$ 在除有限个点外的所有点上都有定义且连续。那么(2.1) 中的积分仅对事件 $E$ 有定义，这些事件要么是区间，要么是有限个互不相交区间的并集。在高等概率论中，(2.1) 中的积分是通过亨利·勒贝格在20世纪初发展的一种积分理论来定义的。此时函数 $f (\cdot)$ 必须是一个波莱尔函数，这意味着对于任意实数 $c$ ，集合 ${x : f (x) < c}$ 是一个波莱尔集。可以证明，一个在除有限个点外处处连续的函数是波莱尔函数。还可以证明，如果一个波莱尔函数 $f (\cdot)$ 满足(2.1) 和(2.3) ，那么对于任意波莱尔集 $B$ ， $f (\cdot)$ 在 $B$ 上的积分作为勒贝格意义下定义的积分是存在的。如果 $B$ 是一个区间，或是有限个互不相交区间的并集，并且 $f (\cdot)$ 在 $B$ 上连续，那么 $f (\cdot)$ 在 $B$ 上勒贝格意义下定义的积分，与 $f (\cdot)$ 在 $B$ 上黎曼意义下定义的积分具有相同的值。此后，在本书中，“函数”一词（除非另有说明）将指波莱尔函数，“（实数）集”一词将指波莱尔集。 ↩︎
就本书的目的而言，我们还要求概率密度函数 $f (\cdot)$ 在除有限个点外的所有点上都有定义且连续。 ↩︎
读者应注意本书习题中使用的约定。当一个函数 $f (\cdot)$ 由对所有 $x$ 在 $- \infty < x < \infty$ 范围内的单一解析表达式定义时， $x$ 在 $- \infty$ 和 $\infty$ 之间变化这一事实并未明确指明。 ↩︎