Critérios de Escoamento para Metais Dúcteis

Atualmente, existem duas teorias geralmente aceitas para prever o início do escoamento em metais dúcteis:

1. Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou Critério de Tresca
2. Critério de von Mises ou Critério da Energia de Distorção

1. Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou Critério de Tresca

A teoria da tensão de cisalhamento máxima, às vezes chamada de critério de escoamento de Tresca, afirma que o escoamento ocorrerá quando a tensão de cisalhamento máxima atingir um valor crítico $k$. Em termos das tensões principais ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$, ${\sigma }_3$, podemos escrever:

Se ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge {\sigma }_3$, mostramos anteriormente que a tensão de cisalhamento máxima é dada por

Para tração uniaxial ${\sigma }_1={\sigma }_{yp}$, ${\sigma }_2={\sigma }_3=0$, onde ${\sigma }_{yp}$ é a resistência ao escoamento em tração simples. Portanto, a tensão de escoamento por cisalhamento para tração simples ${\tau }_{yp}$ é igual à metade da tensão de escoamento por tração.

Substituindo esses valores na equação para a tensão de cisalhamento máxima, obtemos

ou

Isso às vezes é escrito como

onde e são os desviadores das tensões principais e $k$ é a tensão de escoamento para cisalhamento puro, ou seja, a tensão na qual ocorre o escoamento em torção, onde ${\sigma }_1=-{\sigma }_3$.

A teoria da tensão de cisalhamento máxima está em boa concordância com os resultados experimentais, sendo ligeiramente conservadora, e é amplamente utilizada por projetistas para metais dúcteis.

A condição de escoamento de Tresca é:

Entretanto, em certos problemas de plasticidade, essa forma simples não pode ser usada como condição de escoamento, pois não se sabe qual das três tensões principais é a maior. Uma função de escoamento adequada não deve depender da rotulagem arbitrária "1, 2, 3".

A declaração real de Tresca é:

Assim, em vez de assumir uma ordenação particular, devemos escrever uma forma que trate todas as três diferenças simetricamente.

Forma Algébrica Simétrica do Critério de Tresca

Tresca exige que um (não necessariamente todos) dos seguintes seja igual a 2k:

Uma maneira compacta de impor a condição “pelo menos um destes é igual a 2k” é escrever

Esta expressão é:

• simétrica nas tensões principais,
• igual a zero se qualquer diferença de par satisfizer $|{\sigma }_i-{\sigma }_j|=2k$.

Assim, (9) é uma representação analítica adequada da condição de Tresca.

Forma Invariante de Reuss

Para escrever o critério de escoamento em termos de invariantes de tensão, Reuss transformou a forma simétrica (9) em uma expressão invariante envolvendo o segundo e o terceiro invariantes do tensor de tensão desviadora:

• (segundo invariante da tensão desviadora),
• (terceiro invariante da tensão desviadora).

Reuss mostrou que a expressão do produto (9) é equivalente ao polinômio:

Esta é uma forma totalmente invariante do critério de Tresca, válida sem assumir qualquer ordenação das tensões principais. Obviamente, uma relação tão complexa resultará em matemática muito complicada. É por essa razão que o critério de escoamento discutido a seguir é preferido na maioria dos trabalhos teóricos.

Problemas de Tensão Plana

Em problemas de tensão plana onde σ₃ = 0, o critério de Tresca, que afirma que o escoamento começa quando a tensão de cisalhamento máxima atinge σ_yp/2, simplifica-se para:

max {|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|}  =  σ_yp

Como não sabemos se σ₁ ou σ₂ é a maior tensão principal, esta expressão assume formas diferentes em diferentes quadrantes do plano σ₁–σ₂.

Quadrantes I e III (Mesmos Sinais)
Quando σ₁ e σ₂ têm o mesmo sinal, a diferença |σ₁ – σ₂| é sempre menor do que |σ₁| ou |σ₂| (ou ambos). Portanto, no primeiro e terceiro quadrantes, a expressão max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} é igual a |σ₁| ou |σ₂|.

• Primeiro Quadrante: Ambas as tensões são positivas. Abaixo da linha σ₂ = σ₁ (onde σ₁ > σ₂), o critério fornece σ₁ = σ_yp. Acima desta linha bissetriz, devemos ter σ₂ = σ_yp.
• Terceiro Quadrante: Ambas as tensões são negativas. Pela mesma analogia, abaixo da linha bissetriz (onde a magnitude de σ₁ é maior), devemos ter σ₁ = –σ_yp. Acima da bissetriz, devemos ter σ₂ = –σ_yp.

Quadrantes II e IV (Sinais Opostos)
Quando as tensões têm sinais opostos, o termo |σ₁ – σ₂| representa a soma dos valores absolutos, que é maior do que qualquer magnitude individual. Portanto, o termo diferença controla o escoamento.

• Segundo Quadrante: σ₁ é negativo e σ₂ é positivo. Portanto:
  max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} = |σ₁ – σ₂| = σ₂ – σ₁ = σ_yp
  Isso descreve uma linha conectando (–σ_yp, 0) a (0, σ_yp).

• Quarto Quadrante: σ₁ é positivo e σ₂ é negativo. Portanto:
  max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} = |σ₁ – σ₂| = σ₁ – σ₂ = σ_yp
  Isso descreve uma linha conectando (σ_yp, 0) a (0, –σ_yp).

2. Teoria de von Mises, ou da Energia de Distorção

Na seção anterior, explicamos que, para um material insensível à pressão hidrostática, a superfície de escoamento assume a forma

onde $J_2$ e $J_3$ são o segundo e o terceiro invariantes do desviador de tensão, $C$ é uma constante do material. A forma mais simples da equação acima é $J_2=C$, que é frequentemente escrita como

O desenvolvimento deste critério de escoamento está associado aos nomes de Von Mises, Hencky, Maxwell e Huber, e agora é frequentemente conhecido como o critério de von Mises. Von Mises propôs este critério na forma invariante dada pela equação acima principalmente porque era matematicamente mais simples do que a forma invariante da teoria da tensão de cisalhamento máxima dada pela Eq. (10). Experimentos subsequentes mostraram que a Eq. (11) fornece uma concordância global melhor com dados de escoamento sob tensões combinadas do que a teoria da tensão de cisalhamento máxima.

A partir do ensaio de tração uniaxial, ${\sigma }_1={\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}$, e $J_2=\frac{1}{3}{\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}^2$. Portanto, deste ensaio, a constante $k$ é determinada como

A partir de um ensaio de cisalhamento puro, $J_2={\tau }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}^2$, e assim

Portanto, usando o critério de von Mises, implicamos que as resistências ao escoamento por tração e por cisalhamento de um material dúctil estão relacionadas por ${\tau }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}={\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}/\sqrt{3}\approx 0.577{\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}$.

A equação na caixa pode, portanto, ser escrita como

• A equação acima também pode ser escrita como

• Uma maneira equivalente de expressar este critério é introduzindo a tensão (equivalente) de von Mises, de modo que o escoamento ocorre quando ${\sigma }_{\mathrm{v}}={\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}$. Assim, as condições J₂ = k² e σ_v  =  σ_yp são simplesmente duas formas diferentes do mesmo critério de escoamento.

Significado Físico

Várias tentativas foram feitas para fornecer um significado físico ao critério de escoamento de von Mises. Um conceito comumente aceito é que este critério de escoamento expressa a energia de deformação de distorção. Com base no conceito de energia de distorção, o escoamento ocorrerá quando a energia de deformação de distorção por unidade de volume exceder a energia de deformação de distorção por unidade de volume para um corpo de prova deformado até a tensão de escoamento em tração ou compressão uniaxial. A derivação da Eq. (6) com base na energia de distorção é dada abaixo. Outra interpretação física comum da Eq. (6) é que ela representa o valor crítico da tensão de cisalhamento octaédrica (discutida mais adiante).

A energia de deformação elástica total por unidade de volume ($U_0=\frac{1}{2}{\sigma }_{ij}{ϵ}_{ij}$) pode ser dividida em duas componentes, a energia de deformação de distorção, $U_d$, e a energia de deformação de variação de volume, $U_v$.

Começamos decompondo os tensores de deformação e tensão em suas componentes volumétricas (médias) e desviadoras:

onde ${\delta }_{ij}$ é o tensor de Kronecker (${\delta }_{ij}=0$ se $i\ne j$ e ${\delta }_{ij}=1$ se $i=j$).

A deformação e a tensão médias (volumétricas) são definidas como

e

com soma sobre índices repetidos.

Porque os traços dos tensores desviadores são zero, temos

já que o traço de um tensor desviador é zero.

Lembre-se que

onde $G=\frac{E}{2(1+\nu )}$ é o módulo de cisalhamento e

onde $K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$ é o módulo de compressibilidade.

Portanto,

e

Vamos definir

Portanto, $U_0=U_v+U_d$, e a energia de distorção está associada puramente à mudança de forma, enquanto $U_v$​ está associada à mudança de volume.

A energia de distorção máxima afirma que o escoamento começa quando $U_d$ atinge um valor crítico $U_d^y$ igual à energia de distorção no escoamento em um ensaio uniaxial:

Portanto:

Problemas de Tensão Plana (von Mises)

Semelhante ao critério de Tresca, o critério de von Mises simplifica-se significativamente para casos de tensão plana, onde uma tensão principal é zero (considere ${\sigma }_3=0$).

Começamos com o critério geral de von Mises expresso em termos das tensões principais (Eq. 14):

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos uma forma ligeiramente mais fácil de trabalhar:

Substituindo a condição de tensão plana ${\sigma }_3=0$ nesta equação, obtemos:

Dividindo toda a equação por 2, obtemos a equação governante para o escoamento de von Mises sob tensão plana:

Esta é a equação de uma elipse no plano ${\sigma }_1$–${\sigma }_2$, com seu eixo maior orientado a um ângulo de 45° em relação aos eixos ${\sigma }_1$ e ${\sigma }_2$.