O Sistema dos Números Reais

Agora retornaremos aos primeiros conceitos e precisaremos algumas ideias que foram deixadas um tanto indefinidas. Nas seções seguintes, fornecemos demonstrações dos teoremas básicos que usamos sem demonstração. Veremos ao longo do caminho que as ferramentas disponíveis a você de sua formação anterior eram totalmente inadequadas para demonstrar, digamos, que uma função contínua em um intervalo tem um máximo nele.

Para começar, estabelecemos explicitamente as propriedades dos números que usamos. Há várias maneiras de fazer isso. Uma delas estabelece as propriedades dos inteiros positivos e constrói a partir deles um sistema com as propriedades que listamos abaixo. Outra, que preferimos para este curso, consiste em estabelecer um conjunto de regras fundamentais, ou axiomas: "O sistema de números com o qual trabalharemos deve ter as propriedades ...". Os axiomas se dividem naturalmente em três grupos, que chamamos de axiomas de corpo, os axiomas de ordem e o axioma de continuidade. Ao longo destes axiomas, as letras $a, b, c, \dots$ representam membros de um conjunto de objetos que convencionamos chamar de números. Neste conjunto, assumimos que podemos somar $a$ a $b$ para obter um número $a + b$ , e que podemos multiplicar $a$ por $b$ para obter um número $a b$ . O primeiro grupo de axiomas, os axiomas de corpo, expressa propriedades dessas operações a partir das quais todas as outras propriedades podem ser derivadas.

Grupo I. Axiomas de Corpo

A1) $a + b = b + a$
A2) $(a + b) + c = a + (b + c)$
A3) Existe exatamente um número $0$ tal que $a + 0 = a$ para todo $a$ .
A4) Para cada $a$ , existe exatamente um número $- a$ tal que $a + (- a) = 0$ .
M1) $a b = b a$
M2) $(a b) c = a (b c)$
M3) Existe exatamente um número $1 \neq 0$ tal que para todo $a$ , $a \cdot 1 = a$ .
M4) Se $a \neq 0$ , existe exatamente um número $a^{- 1}$ tal que $a a^{- 1} = 1$ .
D) $a (b + c) = a b + a c$ .

Os axiomas A1) – 4) dão as propriedades da adição,
M1) – 4) as propriedades da multiplicação.
O axioma D), a lei distributiva, conecta as duas operações.
A1) e M1) expressam as leis comutativas para a adição e a multiplicação, respectivamente,
A2) e M2) as leis associativas.
O número $0$ de A3) é naturalmente chamado de "zero" e o $1$ de M3) é chamado de "um", embora deva ser considerado diferente do "um" usado na contagem.
O número $- a$ de A4) é chamado de negativo de $a$ ,
o número $a^{- 1}$ de M4) o inverso de $a$ .
Não se pode definir um sistema no qual os axiomas de corpo são satisfeitos e que contenha um inverso para $0$ .

Observe que os axiomas de corpo são satisfeitos por uma classe de sistemas muito maior do que nossa noção anterior de números reais; por exemplo, eles são satisfeitos pelos números racionais.

Fornecemos algumas demonstrações de exemplo para ilustrar nossa afirmação de que todas as propriedades da adição e da multiplicação seguem-se dos axiomas de corpo.

Teorema 1

- (- a) = a \cdot

$a + (- a) = 0$ ; $(- a) + a = a + (- a) = 0$ , por A1); Mas $- (- a)$ é o único número $b$ tal que $- a + b = 0$ , por A4). Portanto $a = - (- a)$ .

Teorema 2

a \cdot 0 = 0 \cdot

$a = a \cdot 1$ , por M3); mas $1 = 1 + 0$ , por A3). Por D),

a = a \cdot 1 = a \cdot (1 + 0) = a \cdot 1 + a \cdot 0 = a + a \cdot 0 \cdot

Portanto

(- a) + a = (- a) + (a + a \cdot 0) = ((- a) + a) + a \cdot 0,

por A2). Mas $(- a) + a = 0$ , por A2) e A4), então temos $0 = 0 + a \cdot 0 = a \cdot 0$ , por A3).

Teorema 3

(- 1) \cdot a = - a \cdot

$0 = 1 + (- 1)$ . Portanto $a \cdot 0 = a (1 + (- 1)) = a \cdot 1 + a (- 1)$ , ou pelo último teorema, $0 = a \cdot 1 + a (- 1) = a + (- 1) a$ , por M3) e M1). Como $- a$ é o único número $b$ tal que $a + b = 0$ , temos $(- 1) a = - a$ .

Teorema 4

(- a) (- b) = a b \cdot

$b + (- b) = 0$ . Portanto $a (b + (- b)) = a \cdot 0 = 0$ , ou por D), $a b + a (- b) = 0$ . Assim $a (- b) = - (a b)$ . Também $a + (- a) = 0$ , então $(a + (- a)) (- b) = a (- b) + (- a) (- b) = 0$ . Assim $a (- b) = - (- a) (- b)$ , ou $- (a b) = - (- a) (- b)$ . Tomando os negativos mais uma vez, vemos pelo primeiro teorema que $a b = (- a) (- b)$ .

Observe que, ao longo dessas demonstrações, usamos o que você talvez tenha visto como o princípio de que "iguais podem ser substituídos por iguais". Mas não se tratou de uma substituição; o número $0$ é o mesmo quer seja escrito como $0, a + (- a), (- b) + b$ , ou o que seja. É apenas a representação do número que muda, e simplesmente usamos o princípio de que, se uma regra vale para um número, não importa como representamos esse número ao aplicar a regra.

Exercício 1.

Demonstre que $- (a + b) = (- a) + (- b)$ ; $- (b - a) = a - b$ , onde $a - b = a + (- b)$ .

O segundo grupo de axiomas trata da ordenação dos números. Damos a eles a forma de axiomas sobre os números positivos, e então definimos $a < b$ como significando " $b - a$ é positivo."

Grupo II. Axiomas de Ordem

Tomamos como básico para todos esses axiomas a existência de um certo conjunto $P$ de números, que chamaremos de "números positivos." Os axiomas dão as propriedades que $P$ deve ter.

P1) Se $a$ e $b$ estão em $P$ , então $a + b$ também está.
P2) Se $a$ e $b$ estão em $P$ , então $a b$ também está.
P3) Se $a$ é qualquer número $\neq 0$ , então ou $a$ está em $P$ ou $- a$ está em $P$ , mas não ambos.
P4) $0$ não está em $P$ .

Definição 1.

Agora definimos $a < b$ como significando " $b - a$ está em $P$ ". $a \leq b$ deve significar "ou $a < b$ ou $a = b$ ". Em vez de $a < b$ , às vezes escrevemos $b > a$ e, de modo análogo, $b \geq a$ para $a \leq b$ .

A partir dos axiomas dos Grupos I e II podemos demonstrar todas as propriedades de $a < b$ :

Teorema 5

Para dois números quaisquer $a$ e $b$ , exatamente uma das seguintes alternativas vale: $a < b, b < a, a = b$ .

Considere o número $b - a$ . Se $b - a$ está em $P$ , então $a < b$ , $- (b - a) = a - b$ não está em $P$ , e $a \neq b$ . Então $a < b$ é o caso, e nem $a = b$ nem $b < a$ é o caso. Em seguida, suponha que $b - a$ não está em $P$ . Então $a < b$ não é o caso. Mas se $a \neq b$ , $- (b - a) = a - b$ está em $P$ , por P3); em outras palavras, $b < a$ . A única possibilidade restante é $a = b$ , caso em que nem $b - a$ nem $a - b$ está em $P$ , pois ambos são $0$ .

Teorema 6

Se $a < b$ , então $a + c < b + c$ .

Seja $a < b$ , ou seja, $b - a$ está em $P$ . Mas $(b + c) - (a + c) = b + c - a - c = b - a$ está em $P$ . Portanto $a + c < b + c$ .

Teorema 7

Se $a < b$ e $c > 0$ (ou seja, $c$ está em $P$ ), então $c a < c b$ .

$b - a$ está em $P$ , e $c$ está em $P$ . Portanto $c (b - a) = c b - c a$ está em $P$ , por P2). Assim $c a < c b$ .

Teorema 8

Se $a < b$ e $b < c$ , então $a < c$ .

Se $a < b$ e $b < c$ , então tanto $b - a$ quanto $c - b$ estão em $P$ . Então, por P1), $(c - b) + (b - a) = c - a$ também está, ou $a < c$ .

Teorema 9

Se $a \neq 0$ , então $a^{2}$ está em $P$ .

Ou $a$ está em $P$ ou $- a$ está em $P$ . Se $a$ está em $P$ , então por P2), $a a = a^{2}$ está em $P$ . Se $- a$ está em $P$ , então $(- a) (- a) = a \cdot a = a^{2}$ está em $P$ . Isso completa a demonstração.

Teorema 10

$1 > 0$ , ou seja, $1$ está em $P$ .

$1 = 1^{2}$ .

Exercícios

Demonstre o seguinte:

Exercício 2.

Se $a < b$ , então $- b < - a$ .

Exercício 3.

Se $a < b$ e $c < 0$ , então $b c < a c$ .

Exercício 4.

Se $a b > 0$ , então ou ambos $a > 0$ e $b > 0$ ou ambos $a < 0$ e $b < 0$ .

Exercício 5.

Se $a > 0$ , então $a^{- 1} > 0$ ; se $a < 0$ , então $a^{- 1} < 0$ .

Exercício 6.

Se $a < b$ e $c < d$ , então $a + c < b + d$ .

Exercício 7.

Os inteiros são um sistema que satisfaz todos os axiomas dos Grupos I e II, exceto M4). Considerando pares $(m, n)$ (ou $\frac{m}{n}$ , se preferir) de inteiros com $n \neq 0$ , desenvolva as operações e a ordenação dos números racionais. Observe que o número racional que representamos por $\frac{2}{3}$ também pode ser representado por $\frac{6}{9}, \frac{4}{6}, \frac{- 2}{- 3}$ , etc. Portanto $\frac{m}{n}$ não será ele mesmo um número racional, mas será uma maneira de representar um número racional. Você deve deixar claro quando dois pares \frac{m}{n}, \frac{m'}{n'} representam o mesmo número racional.

Grupo III. Axioma de Continuidade

Todos os axiomas dos Grupos I e II são satisfeitos pelos números racionais. Mas, dentro dos números racionais, não podemos demonstrar o teorema que usamos no Capítulo 12, a saber, que uma função contínua $f (x)$ em $a \leq x \leq b$ , tal que $f (a) < f (b)$ , assume todos os valores entre $f (a)$ e $f (b)$ no intervalo. Por exemplo, consideramos o dilema dos gregos, que não tinham nenhum número para representar o comprimento da diagonal de um quadrado de lado $1$ . Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal $d$ satisfaria $d^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$ . Mas não há número racional $d$ com essa propriedade; pois se houvesse, escreveríamos $d = \frac{m}{n}$ como uma fração irredutível, onde $m$ e $n$ são inteiros. Então

d^{2} = \frac{m^{2}}{n^{2}} = 2,

ou $m^{2} = 2 n^{2}$ . Assim $m^{2}$ é divisível por $2$ . Mas se $m$ é ímpar, isso é impossível; portanto $m$ é par, digamos $m = 2 p$ . Então $4 p^{2} = 2 n^{2}$ , ou $n^{2} = 2 p^{2}$ , e assim $n$ também é par. Portanto $\frac{m}{n}$ não poderia ter sido irredutível, pois podemos cancelar um $2$ . Isso é uma contradição, significando que a suposição original de que $d$ era racional é falsa.

Em termos do teorema do valor intermediário, isso pode ser interpretado da seguinte forma: $y = f (x) = x^{2}$ é contínua para $0 \leq x \leq 2$ , e $f (0) = 0 < 4 = f (2)$ . Se o teorema do valor intermediário valesse para os números racionais, haveria um número racional $x_{0}$ entre $0$ e $2$ tal que $x_{0}^{2} = 2$ . Mas não existe tal número racional. Para demonstrar o teorema do valor intermediário, precisamos, portanto, de uma propriedade adicional que um sistema satisfazendo apenas os axiomas de corpo e de ordem não precisa possuir. É o fato de que você não tinha experiência com essa propriedade que tornou impossível demonstrar o teorema na época em que foi enunciado. Antes de darmos o axioma, porém, devemos fazer algumas definições.

Definição 2.

Seja $S$ qualquer conjunto de números. Um número $M$ é chamado de cota superior para $S$ se $x \leq M$ sempre que $x$ está em $S$ . Um número $N$ é uma cota inferior para $S$ se $N \leq x$ sempre que $x$ está em $S$ . O conjunto de todos os números não tem cotas superiores nem inferiores, por exemplo, se $M$ fosse uma cota superior, então $M + 1$ seria um número e $M + 1 > M$ . O conjunto de todos os números negativos tem muitas cotas superiores, por exemplo $41, 29 \frac{3}{8}, 0, π, \sqrt{2}$ , mas nenhuma cota inferior.

Definição 3.

Um número $M$ é chamado de mínimo limite superior para $S$ se:
a) $M$ é uma cota superior para $S$ ; e
b) não existe cota superior M' para $S$ tal que M' < M.

Limite inferior máximo é definido de maneira análoga. Um mínimo limite superior para o conjunto dos números negativos é $0$ ; este também é um mínimo limite superior para o conjunto dos números não positivos. Se $S$ contém nenhum número, então qualquer número é uma cota superior para $S$ , de modo que $S$ não pode ter um mínimo limite superior. É evidente que, se $S$ tem um mínimo limite superior, ele é único.

Agora podemos enunciar nosso axioma final:

C) Se um conjunto não vazio $S$ tem uma cota superior, ele tem um mínimo limite superior.

Segue-se que se $𝑺$ tem uma cota inferior, ele tem um limite inferior máximo. Pois se $- S$ denota o conjunto dos negativos dos elementos de $S$ , e se $M$ é uma cota inferior para $S$ , então $- M$ é uma cota superior para $- S$ . Portanto $- S$ tem um mínimo limite superior M', e -M' é um limite inferior máximo para $S$ . Como primeira aplicação, demonstramos que os inteiros não têm cota superior.

Teorema 11

Não existe cota superior para o conjunto $1, 2, 3, \dots$ .

Suponha que o teorema seja falso; então, por C), os inteiros têm um mínimo limite superior $M$ . Então $M - 1$ não pode ser uma cota superior, de modo que existe um inteiro $n > M - 1$ . Mas então $n + 1 > (M - 1) + 1 = M$ , e $n + 1$ é um inteiro. Isso contradiz a suposição de que $M$ era uma cota superior, e assim o teorema está demonstrado. (Observe que segue-se que, se $ϵ$ é qualquer número positivo, existe um inteiro positivo $n$ tal que $\frac{1}{n} < ϵ$ ; pois, caso contrário, $\frac{1}{ϵ}$ seria uma cota superior para os inteiros positivos.)

Agora sabemos que existe em nosso sistema um número $d$ tal que $d^{2} = 2$ . Isso seguirá da continuidade de $x^{2}$ e do teorema do valor intermediário, mas vamos dar uma indicação de como isso poderia ser mostrado diretamente. Seja $S$ o conjunto dos números racionais positivos $r$ tais que $r^{2} < 2$ . Então $1$ está em $S$ , de modo que $S$ é não vazio. $2$ é uma cota superior para $S$ , pois se $r > 2$ , então $r^{2} > 2^{2} = 4 > 2$ , e $r$ não está em $S$ . Portanto, seja $d$ o mínimo limite superior para $S$ . Se $d^{2} > 2$ , seja $d^{2} - 2 = ϵ > 0$ . Seja $n$ um inteiro tal que $\frac{4}{n} < ϵ$ , ou $\frac{1}{n} < \frac{ϵ}{4}$ . Então

{(d - \frac{1}{n})}^{2} = d^{2} - \frac{2 d}{n} + \frac{1}{n^{2}} \geq d^{2} - \frac{4}{n} + \frac{1}{n^{2}},

pois $d \leq 2$ , ou

{(d - \frac{1}{n})}^{2} \geq d^{2} - ϵ + \frac{1}{n^{2}} > d^{2} - ϵ = 2 \cdot

Assim $d - \frac{1}{n}$ é uma cota superior para $S$ e é menor que $d$ , o que é impossível. Portanto $d^{2} \leq 2$ . Se $d^{2} < 2$ , encontramos um número racional $r$ em $S$ tal que $r > d$ . (Se $2 - d^{2} = δ > 0$ , seja $n$ um inteiro positivo tal que $\frac{1}{n^{2}} < δ$ ; então seja $q$ um inteiro positivo suficientemente grande para que exista um quadrado de um inteiro, $m$ , entre $(2 n^{2} - 1) q^{2}$ e $2 n^{2} q^{2}$ . Seja $r = \frac{m}{q n} \cdot$ Então $r^{2} < 2$ , e $r > d \cdot$ ) A única possibilidade restante é $d^{2} = 2$ .

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