A Regra da Potência

Exemplo 4.1. Diferencie \(y=x^2\).

Solução. Vamos começar com a expressão simples \(y=x^2\). Agora lembre-se que a noção fundamental sobre o cálculo é a ideia de crescimento. Os matemáticos chamam isso de variação. Ora, como \(y\) e \(x^2\) são iguais um ao outro, é claro que se \(x\) crescer, \(x^2\) também crescerá. E se \(x^2\) crescer, então \(y\) também crescerá. O que temos que descobrir é a proporção entre o crescimento de \(y\) e o crescimento de \(x\). Em outras palavras, nossa tarefa é encontrar a razão entre \(dy\) e \(dx\), ou, resumidamente, encontrar o valor de \(\dfrac{dy}{dx}\).

Deixe \(x\), então, crescer um pouquinho e tornar-se \(x + dx\); da mesma forma, \(y\) crescerá um pouco e se tornará \(y + dy\). Então, claramente, continuará sendo verdade que o \(y\) ampliado será igual ao quadrado do \(x\) ampliado. Escrevendo isso, temos: \[y + dy = (x + dx)^2.\] Fazendo o quadrado, obtemos: \[y + dy = x^2 + 2x \cdot dx+(dx)^2.\]

O que significa \((dx)^2\)? Lembre-se que \(dx\) significava um pedaço—um pedacinho—de \(x\). Então \((dx)^2\) significará um pedacinho de um pedacinho de \(x\); isto é, como explicado acima, é uma pequena quantidade de segunda ordem de pequenez. Pode, portanto, ser descartada como bastante insignificante em comparação com os outros termos. Deixando-a de fora, temos então: \[y + dy = x^2 + 2x \cdot dx.\] Agora \(y=x^2\); então vamos subtrair isso da equação e nos resta \[dy = 2x \cdot dx.\] Dividindo por \(dx\), encontramos \[\frac{dy}{dx} = 2x.\]

Agora isto¹ é o que nos propusemos a encontrar. A razão do crescimento de \(y\) para o crescimento de \(x\) é, no caso diante de nós, encontrada como sendo \(2x\).

Suponha que \(x=100\) e, portanto, \(y=10.000\). Então deixe \(x\) crescer até se tornar \(101\) (isto é, deixe \(dx=1\)). Então o \(y\) ampliado será \(101 \times 101 = 10.201\). Mas se concordarmos que podemos ignorar pequenas quantidades de segunda ordem, \(1\) pode ser rejeitado em comparação com \(10.000\); então podemos arredondar o \(y\) ampliado para \(10.200\). \(y\) cresceu de \(10.000\) para \(10.200\); o pedaço adicionado é \(dy\), que é, portanto, \(200\).

\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{200}{1} = 200\). De acordo com o trabalho algébrico do parágrafo anterior, encontramos \(\dfrac{dy}{dx} = 2x\). E assim é; pois \(x=100\) e \(2x=200\).

Mas, você dirá, negligenciamos uma unidade inteira.

Bem, tente novamente, tornando \(dx\) um pedaço ainda menor.

Tente \(dx=\frac{1}{10}\). Então \(x+dx=100,1\), e \[(x+dx)^2 = 100,1 \times 100,1 = 10.020,01.\]

Agora a última figura \(1\) é apenas uma milionésima parte de \(10.000\), e é totalmente negligenciável; então podemos tomar \(10.020\) sem o pequeno decimal no final. E isso faz \(dy=20\); e \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{20}{0,1} = 200\), que ainda é o mesmo que \(2x\).

Exemplo 4.2. Tente diferenciar \(y = x^3\) da mesma maneira.

Solução. Deixamos \(y\) crescer para \(y+dy\), enquanto \(x\) cresce para \(x+dx\).

Então temos \[y + dy = (x + dx)^3.\]

Fazendo o cubo, obtemos \[y + dy = x^3 + 3x^2 \cdot dx + 3x(dx)^2+(dx)^3.\]

Agora sabemos que podemos negligenciar pequenas quantidades de segunda e terceira ordens; pois, quando \(dy\) e \(dx\) são ambos tornados indefinidamente pequenos, \((dx)^2\) e \((dx)^3\) se tornarão indefinidamente menores por comparação. Então, considerando-os como negligenciáveis, nos resta: \[y + dy=x^3+3x^2 \cdot dx.\]

Mas \(y=x^3\); e, subtraindo isso, temos: \[\begin{align} dy &= 3x^2 \cdot dx, \end{align}\] e \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align}\]

Exemplo 4.3. Tente diferenciar \(y=x^4\).

Solução. Começando como antes, deixando tanto \(y\) quanto \(x\) crescerem um pouco, temos: \[\begin{align} y + dy = (x+dx)^4. \end{align}\] Calculando a elevação à quarta potência, obtemos \[y + dy = x^4 + 4x^3\, dx + 6x^2(dx)^2 + 4x(dx)^3+(dx)^4.\] Então, riscando os termos contendo todas as potências superiores de \(dx\), como sendo negligenciáveis por comparação, temos \[y + dy = x^4+4x^3\, dx.\] Subtraindo o original \(y=x^4\), nos resta \[dy = 4x^3\, dx,\] e \[\frac{dy}{dx} = 4x^3.\]

Exemplo 4.4. Tente diferenciar \(y = x^5\).

Solução. Então \[\begin{align} y+dy &= (x+dx)^5 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 10x^3(dx)^2 + 10x^2(dx)^3 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 5x(dx)^4 + (dx)^5. \end{align}\] Negligenciando todos os termos contendo pequenas quantidades de ordens superiores, nos resta \[y + dy = x^5 + 5x^4\, dx,\] e subtraindo \(y= x^5\) nos resta \[dy = 5x^4\, dx,\] de onde \[\begin{align} \frac{dy}{dx}= 5x^4, \end{align}\] exatamente como supusemos.

Exemplo 4.5. Diferencie \(y=\dfrac{1}{x^2}\).

Solução. Podemos escrever \(y = x^{-2}\). Então prossiga como antes: \[\begin{align} y+dy &= (x+dx)^{-2} \\ &= x^{-2} \left(1 + \frac{dx}{x}\right)^{-2}. \end{align}\] Expandindo isso pelo teorema binomial (veja o apêndice), obtemos \[\begin{align} &=x^{-2} \left[1 - \frac{2\, dx}{x} + \frac{2(2+1)}{1\times 2} \left(\frac{dx}{x}\right)^2 - \cdots \right] \\ &=x^{-2} - 2x^{-3} \cdot dx + 3x^{-4}(dx)^2 - 4x^{-5}(dx)^3 + \cdots . \end{align}\] Então, negligenciando as pequenas quantidades de ordens superiores de pequenez, temos: \[y + dy = x^{-2} - 2x^{-3} \cdot dx.\] Subtraindo o original \(y = x^{-2}\), encontramos \[\begin{align} dy &= -2x^{-3}dx, \end{align}\] ou \[\frac{dy}{dx} = -2x^{-3}.\] E isso ainda está de acordo com a regra inferida acima.

Exemplo 4.6. Diferencie \(y=\sqrt{x}\).

Solução. Observe que \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\).² Então deixe \(y= x^{\frac{1}{2}}\). Então, como antes, \[\begin{align} y+dy &= (x+dx)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \left(1 + \frac{dx}{x} \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} - \frac{1}{8} \frac{(dx)^2}{x\sqrt{x}} +\text{termos com potências superiores de } dx. \end{align}\] Subtraindo o original \(y = x^{\frac{1}{2}}\), e negligenciando potências superiores, nos resta: \[dy = \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \cdot dx,\] e \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}\). Concordando com a regra geral.