Teorema de Rolle, Teorema do Valor Médio, Máximos e Mínimos

Já mencionamos funções contínuas antes, mas vamos reenunciar a definição preliminar que temos usado. Seja $f (x)$ uma função que está definida em um intervalo contendo $x_{0}$ . Então dizemos que $f (x)$ é contínua em $x_{0}$ se uma pequena variação de $x$ em torno de $x_{0}$ produz apenas uma pequena mudança no valor de $f (x)$ em relação ao seu valor $f (x_{0})$ em $x_{0}$ . Mais brevemente, se $x$ está próximo de $x_{0}$ , então $f (x)$ está próximo de $f (x_{0})$ . Observe que esta definição é imprecisa, pois as palavras pequena e próximo não têm um significado exato. Para uma pessoa, $.01$ pode ser próximo o suficiente, enquanto outra pode considerar um número pequeno somente até que seja menor que $.00001$ . A definição precisa de continuidade que eventualmente daremos irá satisfazer ambas as pessoas e todas as outras também.

Agora seja $f (x)$ definida para todo $x$ tal que $a \leq x \leq b$ . Um ponto $x_{0}$ deste intervalo é chamado de máximo de $f (x)$ no intervalo se $f (x_{0}) \geq f (x)$ para todo $x$ tal que $a \leq x \leq b$ . $x_{1}$ é chamado de mínimo de $f (x)$ no intervalo se $f (x_{1}) \leq f (x)$ para $a \leq x \leq b$ . Nem todas as funções precisam ter máximos ou mínimos; pois considere a função

\left\{ \begin{aligned} f(x) &= x, \quad 0 \le x < 1 \\ f(1) &= 0 \end{aligned} \right\}

Seu gráfico é

onde a linha oblíqua não tem extremidade à direita. Esta função não tem máximo no intervalo $0 \leq x \leq 1$ . Pois certamente 1 não pode ser um máximo, uma vez que $f (1) = 0 < f (1 / 2)$ . Mas se $a < 1$ fosse ser um máximo, observe que

a < \frac{a + 1}{2} < 1 .

Portanto

a = f (a) < f (\frac{a + 1}{2}) = \frac{a + 1}{2},

de modo que $a$ não pode ser um máximo. Note, porém, que esta função não é contínua em 1.

Mais adiante no curso, provaremos o seguinte teorema:

Teorema 1

Seja $f (x)$ contínua em todo ponto do intervalo $a \leq x \leq b$ . Então existe pelo menos um $x_{0}, a \leq x_{0} \leq b$ , tal que $x_{0}$ é um máximo para $f (x)$ em $a \leq x \leq b$ .

Observe que disso se segue que $f (x)$ tem um mínimo em $a \leq x \leq b$ . Pois um mínimo de $f (x)$ é simplesmente um máximo de $- f (x)$ . Agora seja $f (x)$ com um máximo em $x_{0}, a < x_{0} < b$ , de modo que $x_{0}$ não é um ponto extremo. Então considere o quociente das diferenças

\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} .

Para todo $h$ ,

f (x_{0} + h) - f (x_{0}) \leq 0 .

Se $h > 0$ ,

\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \leq 0 .

Se $h < 0$ ,

\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \geq 0 .

Se f'(x_0) existe, essas expressões se aproximam do limite comum f'(x_0) quando $h \to 0$ . Mas se f'(x_0) > 0, a primeira delas (para $h > 0$ ) nunca poderia chegar mais perto de f'(x_0) do que a distância de f'(x_0) até 0. Se f'(x_0) < 0, a segunda expressão ( $h < 0$ ) não poderia se aproximar dela. Portanto, devemos ter f'(x_0) = 0. Nossa conclusão é então:

Teorema 2

Seja $f (x)$ definida para $a \leq x \leq b$ e seja $x_{0}$ um ponto tal que $a < x_{0} < b$ e tal que $x_{0}$ é um máximo para $f (x)$ em $a \leq x \leq b$ . Então, se f'(x_0) existe, devemos ter f'(x_0) = 0.

(Poderíamos igualmente bem ter usado "mínimo" em vez de "máximo".)

Teorema 3. Teorema de Rolle

Seja $f (x)$ contínua no intervalo $a \leq x \leq b$ . Seja $f (x)$ diferenciável para todo $x$ tal que $a < x < b$ . Se $f (a) = f (b)$ , então existe um $ξ, a < ξ < b$ , tal que f'(\xi) = 0.

Para funções de aparência suave isso parece evidente, mas ainda assim devemos prová-lo. Segue-se bastante rapidamente do teorema sobre a existência de um máximo e de nossas observações sobre a derivada em um máximo.

Demonstração do Teorema de Rolle.

Como $f (x)$ é contínua, $f (x)$ tem um máximo e um mínimo em $a \leq x \leq b$ . Agora, ou $f (x)$ é constante para $a \leq x \leq b$ , ou $f (x) > f (a) = f (b)$ para algum $x$ , ou $f (x) < f (a) = f (b)$ para algum $x$ . No primeiro caso, vimos que f'(x) = 0 sempre que $a \leq x \leq b$ , e podemos tomar $ξ$ como qualquer ponto tal que $a < ξ < b$ . No segundo caso, qualquer máximo $x_{0}$ de $f (x)$ satisfaz $a < x_{0} < b$ , de modo que f'(x_0) existe. Mas vimos que então f'(x_0) = 0, e podemos tomar $ξ = x_{0}$ . Se o segundo caso não se verifica, e $f (x)$ não é constante, então qualquer mínimo $x_{1}$ de $f (x)$ satisfaz $a < x_{1} < b$ , e f'(x_1) = 0 como antes. Neste caso podemos tomar $ξ = x_{1}$ . Assim o teorema está demonstrado.

A seguir provamos uma consequência do Teorema de Rolle, chamada Teorema do Valor Médio, que é talvez o resultado mais útil que tivemos até agora.

Teorema 4. Teorema do Valor Médio

Seja $f (x)$ contínua para $a \leq x \leq b$ , diferenciável para $a < x < b$ . Então existe um $ξ, a < ξ < b$ , tal que

f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a) .

Desejamos formar uma nova função $g (x)$ que satisfaça as condições do Teorema de Rolle e tal que a conclusão do Teorema de Rolle para $g (x)$ implique o resultado desejado. Portanto tentamos

g (x) = f (x) (b - a) - x (f (b) - f (a)) .

Então $g (a) = g (b) = f (a) \cdot b - f (b) \cdot a$ , $g (x)$ é contínua para $a \leq x \leq b$ , porque $f (x)$ é, e

g'(x) = f'(x)(b - a) - (f(b) - f(a)), \quad a < x < b,

de modo que $g (x)$ é diferenciável para $a < x < b$ . Pelo Teorema de Rolle, existe um $ξ, a < ξ < b$ , tal que

g'(\xi) = 0 = f'(\xi)(b - a) - (f(b) - f(a)),

f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a),

como desejado. Assim o Teorema do Valor Médio está demonstrado.

Geometricamente, o teorema do valor médio significa que se formamos uma secante ao gráfico de uma função que satisfaz as condições, existe um ponto entre as interseções da secante com o gráfico onde a tangente à curva é paralela a esta secante.

Significado geométrico do Teorema do Valor Médio

Diremos consideravelmente mais sobre os usos do Teorema do Valor Médio à medida que avançarmos; discutiremos igualmente questões de máximos e mínimos com mais detalhes um pouco mais adiante. Vamos esboçar neste momento os procedimentos que podemos usar para determinar máximos e mínimos de uma função $f (x)$ que é contínua para $a \leq x \leq b$ e é diferenciável para $a < x < b$ . Sabemos que se $f (x)$ tem um máximo (ou mínimo) em $x_{0}$ , com $a < x_{0} < b$ , então f'(x_0) = 0. Também é concebível que um máximo, um mínimo, ou ambos possam ocorrer nos pontos extremos $a$ e $b$ . Portanto, sejam $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ todos os pontos dentro do intervalo onde f'(x) = 0, e considere os números

f (a), f (b), f (x_{1}), f (x_{2}), \dots, f (x_{n}) .

Qualquer valor de $x$ correspondente ao maior desses é um máximo; um valor correspondente ao menor é um mínimo. Pode acontecer, portanto, que existam pontos $x_{0}$ com f'(x_0) = 0 que não são nem máximos nem mínimos para $f (x)$ .

Exercícios

Exercício 1.

Encontre um máximo e um mínimo para as seguintes funções nos intervalos correspondentes:
a) $f (x) = x^{3} - 6 x, 0 \leq x \leq 7.$
b) $f (x) = x, - 7 \leq x \leq 17.$
c) f(x) = \left\{ \begin{aligned} x^2 \sin \frac{1}{x}, \quad x \neq 0 \\ 0 \quad \text{se } x = 0 \end{aligned} \right\}, \quad -\frac{2}{\pi} \le x \le \frac{2}{\pi} .

Teorema de Rolle, Teorema do Valor Médio, Máximos e Mínimos

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