罗尔定理、中值定理、极大值与极小值

我们之前已经提到过连续函数，但让我们重述一下我们所使用的初步定义。设 f ( x ) 是一个在包含 x 0 的区间上有定义的函数。那么我们说，如果 x 从 x 0 仅作微小变化时， f ( x ) 的值相对于它在 x 0 处的值 f ( x 0 ) 也只产生微小变化，则 f ( x ) 在 x 0 处连续。更简短地说，如果 x 接近 x 0 ，则 f ( x ) 接近 f ( x 0 ) 。注意这个定义是不精确的，因为小和接近这些词没有确切的含义。对某个人来说， .01 可能已经足够接近，而另一个人可能认为一个数要小于 .00001 才算小。我们最终将给出的连续性的精确定义将同时满足这两个人以及所有其他人。

现在设 f ( x ) 对所有满足 a ≤ x ≤ b 的 x 有定义。该区间的一点 x 0 被称为 f ( x ) 在该区间上的最大值点，如果对所有满足 a ≤ x ≤ b 的 x 都有 f ( x 0 ) ≥ f ( x ) 。 x 1 被称为 f ( x ) 在该区间上的最小值点，如果对所有满足 a ≤ x ≤ b 的 x 都有 f ( x 1 ) ≤ f ( x ) 。并非所有函数都必须有最大值或最小值；例如考虑函数

它的图像为

其中斜线没有右端点。这个函数在区间 0 ≤ x ≤ 1 上没有最大值。显然 1 不可能是最大值，因为 f ( 1 ) = 0 < f ( 1 / 2 ) 。但如果 a < 1 是最大值，注意

a < a + 1 2 < 1 .

因此

a = f ( a ) < f ( a + 1 2 ) = a + 1 2 ,

所以 a 不可能是最大值。然而，请注意这个函数在 1 处不连续。

在本课程的后面，我们将证明以下定理：

定理 1

设 f ( x ) 在区间 a ≤ x ≤ b 的每一点都连续。那么至少存在一个 x 0 , a ≤ x 0 ≤ b ，使得 x 0 是 f ( x ) 在 a ≤ x ≤ b 上的最大值点。

注意由此可推出 f ( x ) 在 a ≤ x ≤ b 上也有最小值。因为 f ( x ) 的最小值就是 − f ( x ) 的最大值。现在设 f ( x ) 在 x 0 , a < x 0 < b 处取得最大值，即 x 0 不是端点。那么考虑差商

f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h .

对所有的 h ，

f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) ≤ 0 .

如果 h > 0 ，

f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h ≤ 0 .

如果 h < 0 ，

f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h ≥ 0 .

如果 存在，当 h → 0 时，这些表达式趋近于共同的极限 。但如果 ，第一个表达式（ h > 0 的情况）永远不可能比 与 0 的距离更接近 。如果 ，第二个表达式（ h < 0 ）也不可能趋近于它。因此我们必须有 。于是我们的结论是：

定理 2

设 f ( x ) 在 a ≤ x ≤ b 上有定义，设 x 0 是一点，满足 a < x 0 < b 且 x 0 是 f ( x ) 在 a ≤ x ≤ b 上的最大值点。那么如果 存在，我们必须有 。

（我们同样可以用“最小值”代替“最大值”。）

定理 3. 罗尔定理

设 f ( x ) 在区间 a ≤ x ≤ b 上连续。设 f ( x ) 对所有满足 a < x < b 的 x 可导。如果 f ( a ) = f ( b ) ，则存在一个 ξ , a < ξ < b ，使得 。

对于看起来光滑的函数，这似乎是显而易见的，但我们仍然必须证明它。由最大值存在性定理以及我们关于最大值处导数的讨论，可以很快地推出它。

罗尔定理的证明。

由于 f ( x ) 连续， f ( x ) 在 a ≤ x ≤ b 上有最大值和最小值。现在，要么 f ( x ) 在 a ≤ x ≤ b 上为常数，要么对某个 x 有 f ( x ) > f ( a ) = f ( b ) ，要么对某个 x 有 f ( x ) < f ( a ) = f ( b ) 。在第一种情况下，我们已经看到只要 a ≤ x ≤ b 就有 ，我们可以取 ξ 为任意满足 a < ξ < b 的点。在第二种情况下， f ( x ) 的任何最大值点 x 0 都满足 a < x 0 < b ，所以 存在。但我们已经看到此时 ，于是可以取 ξ = x 0 。如果第二种情况不成立，且 f ( x ) 不是常数，那么 f ( x ) 的任何最小值点 x 1 都满足 a < x 1 < b ，且和前面一样有 。在这种情况下我们可以取 ξ = x 1 。于是定理得证。

接下来我们证明罗尔定理的一个推论，称为中值定理，它也许是我们迄今为止得到的最有用的结果。

定理 4. 中值定理

设 f ( x ) 在 a ≤ x ≤ b 上连续，在 a < x < b 上可导。那么存在一个 ξ , a < ξ < b ，使得

我们希望构造一个新函数 g ( x ) ，它满足罗尔定理的条件，并且使得罗尔定理关于 g ( x ) 的结论能推出我们所期望的结果。因此我们尝试

g ( x ) = f ( x ) ( b − a ) − x ( f ( b ) − f ( a ) ) .

那么 g ( a ) = g ( b ) = f ( a ) ⋅ b − f ( b ) ⋅ a ；由于 f ( x ) 连续， g ( x ) 在 a ≤ x ≤ b 上连续，并且

所以 g ( x ) 在 a < x < b 上可导。由罗尔定理，存在一个 ξ , a < ξ < b ，使得

即

这正是我们所期望的。于是中值定理得证。

从几何上看，中值定理意味着：如果我们对满足条件的函数图像作一条割线，那么在割线与图像的两个交点之间存在一点，使得曲线在该点处的切线平行于这条割线。

中值定理的几何意义

随着课程的进行，我们将对中值定理的用途作更多讨论；稍后我们也将更详细地讨论最大值和最小值的问题。现在让我们概述一下，对于在 a ≤ x ≤ b 上连续且在 a < x < b 上可导的函数 f ( x ) ，我们可以用来确定其最大值和最小值的步骤。我们知道，如果 f ( x ) 在 x 0 （满足 a < x 0 < b ）处取得最大值（或最小值），则 。最大值、最小值或两者也都有可能出现在端点 a 和 b 处。因此，设 x 1 , x 2 , … , x n 是区间内所有满足 的点，并考虑这些数

f ( a ) , f ( b ) , f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , … , f ( x n ) .

对应于其中最大数的 x 值是一个最大值点；对应于其中最小数的 x 值是一个最小值点。因此，可能存在满足 的点 x 0 ，它们既不是 f ( x ) 的最大值点也不是最小值点。

习题

习题 1.

为下列函数在相应区间上找出一个最大值和一个最小值：
a) f ( x ) = x 3 − 6 x , 0 ≤ x ≤ 7.
b) f ( x ) = x , − 7 ≤ x ≤ 17.
c) 当