O Teorema da Convergência de Bernstein. Séries Binomiais

Seja $f(x)$ uma função definida para $a\le x\le b$; suponha também que para todo inteiro $n\ge 0,f^{(n)}(x)$ existe e $f^{(n)}(x)\ge 0$ para $a\le x\le b$. Seja $x_1$ um ponto do intervalo e escolha um inteiro positivo fixo $n$. Então considere a fórmula de Taylor para $f(x)$ em torno de $x_1$, onde o polinômio da fórmula tem mais de $n$ termos, digamos $m$ termos. Em particular, considere o que isso nos dá para $f(b)$, quando usamos o resto de Cauchy:

\begin{aligned} f(b) = f(x_1) &+ \frac{(b-x_1)}{1!} f'(x_1) + \dots + \frac{(b-x_1)^n}{n!} f^{(n)}(x_1) + \dots \\ &+ \frac{(b-x_1)^{m-1}}{(m-1)!} f^{(m-1)}(x_1) + \frac{(b-x_1)(b-\xi)^{m-1}}{(m-1)!} f^{(m)}(\xi), \end{aligned}

onde . Agora, todos os termos da soma à direita são não negativos; portanto $f(b)$ é maior ou igual a qualquer um deles. Em particular,

\frac{(b-x_1)^n}{n!} f^{(n)}(x_1) \le f(b), \tag{1}

e isso vale para qualquer $n$.

Agora considere a função f''(x). Como as derivadas de f''(x) são também derivadas de $f(x)$, todas elas são não negativas em $a\le x\le b$. Portanto, podemos usar f''(x) no lugar de $f(x)$ em (1), obtendo

\frac{(b-x_1)^n}{n!} f^{(n+2)}(x_1) \le f''(b), \quad \text{ou}f^{(n+2)}(x_1) \le \frac{n!}{(b-x_1)^n} f''(b) \cdot \tag{2}

Esta última desigualdade também vale para qualquer $n$; em particular, vale para $n-2$, onde $n$ é como em (1). Então ela se torna

f^{(n)}(x_1) \le \frac{(n-2)!}{(b-x_1)^{n-2}} f''(b) \cdot \tag{3}

Isso vale para qualquer ponto $x_1$ do intervalo.

Agora seja $x_0$ um ponto do intervalo, e considere a expansão de Taylor em torno de $x_0$ para $f(x)$, onde $x$ também está no intervalo. O resto de Cauchy após $n$ termos tem valor absoluto

$$\frac{|x-x_0||x-\xi {|}^{n-1}}{(n-1)!}{f}^{(n)}(\xi ),$$

onde $\xi$ está entre $x$ e $x_0$. Por (3), isso é menor ou igual a

\begin{aligned} &\frac{|x-x_0|\ |x-\xi|^{n-1}}{(n-1)!} \cdot \frac{(n-2)!}{(b-\xi)^{n-2}} f''(b) \\ &= \frac{|x-x_0|\ |x-\xi| \cdot f''(b)}{n-1} \left( \frac{|x-\xi|}{b-\xi} \right)^{n-2}. \end{aligned}

Isso tenderá a $0$ quando $n$ se tornar grande se $|x-\xi |\le b-\xi$. Se , então $|x-\xi |=x-\xi \le b-\xi$. Se , e se $|x-x_0|\le b-x_0$, então $|x-\xi |\le |x-x_0|\le b-x_0\le b-\xi$. Portanto, sabemos que o resto tende a zero sempre que $|x-x_0|\le b-x_0$. Resumamos o resultado que provamos, que é o teorema de convergência de Bernstein.

Por exemplo, este teorema nos diz que a série de Taylor para $e^x$ formada em torno de qualquer ponto whatsoever converge para $e^x$ para todo $x$. O resultado pode ser estendido a uma classe consideravelmente maior de funções se fizermos algumas observações. Primeiro suponha que existe um número $M$ tal que f(x) \ge M, f'(x) \ge M, f''(x) \ge M, \dots sempre que $a\le x\le b$. Se $M\ge 0$, então a série de Taylor de $f(x)$ converge para $f(x)$ pelo teorema de Bernstein. Se , seja

$$g(x)=f(x)-M{e}^{(x-a)}\cdot$$

Então $g(x)\ge M-M{e}^{x-a}=M(1-e^{x-a})\ge 0$, já que ambos os fatores são menores ou iguais a zero. Da mesma forma, g'(x) = f'(x) - M e^{x-a} \ge 0, g''(x) \ge 0, \dots. Portanto, a série de Taylor para $g(x)$ converge para $g(x)$. Como observamos, a série de Taylor para $e^{x-a}$ converge para $e^{x-a}(=e^{-a}\cdot e^x)$. Como a operação de formar a série de Taylor é linear, a série de Taylor para $f(x)$ é a de $g(x)$ mais $M$ vezes a de $e^{x-a}$; o resto em cada uma delas vai para zero, e portanto o resto para $f(x)$, que é a soma desses restos, vai para zero. Assim, vemos que a série de Taylor para $f(x)$ converge para $f(x)$ se todas as derivadas de $f(x)$ são limitadas inferiormente.

Em seguida, suponha $f^{(n)}(x)\ge 0$ para $a\le x\le b$, sempre que para algum $N$ fixo. Então seja $M$ o menor dos números

0, \min f(x), \min f'(x), \dots, \min f^{(N)}(x) \quad \text{em } a \le x \le b \cdot

Então $f^{(i)}(x)\ge M$ para todo $i\ge 0$, e vemos como acima que a série de Taylor para $f(x)$ converge para $f(x)$. Como a série de Taylor para $-f(x)$ tem como termos os negativos dos termos da série de Taylor para $f(x)$, podemos usar $-f(x)$ para provar que a série de Taylor para $f(x)$ converge para $f(x)$ sempre que todas as $f^{(n)}(x)$ são limitadas superiormente, em particular se todas $f^{(n)}(x)\le 0$.

Agora seja f(x) \ge 0, f'(x) \le 0, f''(x) \ge 0, f'''(x) \le 0, \dots; em outras palavras, as derivadas de $f(x)$ alternam de sinal. Seja . Então , e se $-b\le \xi \le -a$, seja $g(\xi )=f(-\xi )$. Então

g(\xi) \ge 0, g'(\xi) = -f'(-\xi) \ge 0, g''(\xi) \ge 0, \dots ,

ou $g^{(n)}(\xi )\ge 0$ para todo $n$ sempre que $-b\le \xi \le -a$. Assim, sabemos pelo teorema de Bernstein que a série de Taylor para $g(\xi )$ em torno de $-x_0$ converge para $g(\xi )$ sempre que $|\xi -(-x_0)|\le -a-(-x_0)$, ou sempre que $|\xi +x_0|\le x_0-a$. A série de Taylor para $g(\xi )=f(-\xi )$ em torno de $-x_0$ é:

\begin{aligned} g(-x_0) + \frac{(\xi+x_0)}{1!} g'(-x_0) + \frac{(\xi+x_0)^2}{2!} g''(-x_0) + \dots \\ = f(x_0) - \frac{(\xi+x_0)}{1!} f'(x_0) + \frac{(\xi+x_0)^2}{2!} f''(x_0) - \dots \cdot \end{aligned}

Agora seja $x=-\xi ,\xi =-x$. Então, sempre que $|-x+x_0|\le x_0-a$, ou $|x-x_0|\le x_0-a$, temos, no limite,

\begin{aligned} f(x) = g(\xi) &= f(x_0) - \frac{(-x+x_0)}{1!} f'(x_0) + \frac{(-x+x_0)^2}{2!} f''(x_0) - \dots \\ &= f(x_0) + \frac{(x-x_0)}{1!} f'(x_0) + \frac{(x-x_0)^2}{2!} f''(x_0) + \dots \cdot \end{aligned}

Mas isto é exatamente a série de Taylor para $f(x)$. Note que, neste caso, ela converge para $f(x)$ sempre que $x$ está mais próximo de $x_0$ do que $x_0$ está de $a$, enquanto no teorema original tínhamos convergência para $f(x)$ sempre que $x$ estava mais próximo de $x_0$ do que $x_0$ estava de $b$. Observe também que, como antes, basta que os sinais alternem a partir de algum $N$.

Aplicaremos esta última observação para investigar a função $f(x)=x^{\alpha }$ para , $\alpha$ qualquer número. Então

f'(x) = \alpha x^{\alpha-1},\quad f''(x) = \alpha(\alpha - 1)x^{\alpha-2},\quad \dots ,

e eventualmente

Então $f^{(N+1)}(x)=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -N+1)(\alpha -N)x^{\alpha -N-1}$ tem o sinal oposto ao de $f^{(N)}(x)$ para todo , já que tem o sinal oposto ao de $f^{(N+1)}(x)$, e os sinais de $f^{(n)}(x)$ alternam para . Portanto, se $ϵ$ é qualquer número positivo pequeno e , a série de Taylor para $f(x)$ em torno de $x_0$ converge para $f(x)$ desde que $|x-x_0|\le x_0-ϵ$. Se , então temos certeza de que $|x-x_0|\le x_0-ϵ$ para algum $ϵ$ positivo. Portanto, a série converge para $f(x)$ desde que .

Agora vamos mudar um pouco a notação e escrever $x_0=a,x=a+b$. Então expandimos $f(x)=(a+b{)}^{\alpha }$ em potências de $(x-x_0)=b$. (Aqui .) Assim

\begin{aligned} x^\alpha = (a+b)^\alpha = a^\alpha + \alpha a^{\alpha-1}b + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2} a^{\alpha-2}b^2 + \cdots\\ + \frac{\alpha(\alpha-1) \dots (\alpha-n)}{n!} a^{\alpha-n}b^n + \cdots \end{aligned}

no sentido de que a série converge para $(a+b{)}^{\alpha }$ sempre que , ou sempre que . Esta é a chamada série binomial, e os coeficientes

$$\frac{\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -n)}{n!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})$$

são chamados de coeficientes binomiais. Observe que, se $\alpha$ é um inteiro positivo, todos os coeficientes são $0$ a partir de certo ponto, e temos o teorema binomial ordinário.

EXERCÍCIOS