El teorema de convergencia de Bernstein. Serie binomial

Sea $f(x)$ una función definida para $a\le x\le b$; supongamos también que para cada entero $n\ge 0,f^{(n)}(x)$ existe y $f^{(n)}(x)\ge 0$ para $a\le x\le b$. Sea $x_1$ algún punto del intervalo y elijamos un entero positivo fijo $n$. Consideremos entonces la fórmula de Taylor para $f(x)$ alrededor de $x_1$, donde el polinomio de la fórmula tiene más de $n$ términos, digamos $m$ términos. En particular, consideremos qué obtenemos para $f(b)$, cuando usamos el resto de Cauchy:

\begin{aligned} f(b) = f(x_1) &+ \frac{(b-x_1)}{1!} f'(x_1) + \dots + \frac{(b-x_1)^n}{n!} f^{(n)}(x_1) + \dots \\ &+ \frac{(b-x_1)^{m-1}}{(m-1)!} f^{(m-1)}(x_1) + \frac{(b-x_1)(b-\xi)^{m-1}}{(m-1)!} f^{(m)}(\xi), \end{aligned}

donde . Ahora bien, todos los términos de la suma de la derecha son no negativos; por lo tanto, $f(b)$ es mayor o igual que cualquiera de ellos. En particular,

\frac{(b-x_1)^n}{n!} f^{(n)}(x_1) \le f(b), \tag{1}

y esto es válido para cualquier $n$.

Consideremos ahora la función f''(x). Dado que las derivadas de f''(x) son también derivadas de $f(x)$, todas son no negativas en $a\le x\le b$. Por lo tanto, podemos usar f''(x) en lugar de $f(x)$ en (1), obteniendo

\frac{(b-x_1)^n}{n!} f^{(n+2)}(x_1) \le f''(b), \quad \text{o}f^{(n+2)}(x_1) \le \frac{n!}{(b-x_1)^n} f''(b) \cdot \tag{2}

Esta última desigualdad también vale para cualquier $n$; en particular, vale para $n-2$, donde $n$ es como en (1). Entonces se convierte en

f^{(n)}(x_1) \le \frac{(n-2)!}{(b-x_1)^{n-2}} f''(b) \cdot \tag{3}

Esto es cierto para cualquier punto $x_1$ del intervalo.

Ahora sea $x_0$ algún punto del intervalo, y consideremos el desarrollo de Taylor alrededor de $x_0$ para $f(x)$, donde $x$ también está en el intervalo. El resto de Cauchy después de $n$ términos tiene valor absoluto

$$\frac{|x-x_0||x-\xi {|}^{n-1}}{(n-1)!}{f}^{(n)}(\xi ),$$

donde $\xi$ está entre $x$ y $x_0$. Por (3), esto es menor o igual que

\begin{aligned} &\frac{|x-x_0|\ |x-\xi|^{n-1}}{(n-1)!} \cdot \frac{(n-2)!}{(b-\xi)^{n-2}} f''(b) \\ &= \frac{|x-x_0|\ |x-\xi| \cdot f''(b)}{n-1} \left( \frac{|x-\xi|}{b-\xi} \right)^{n-2}. \end{aligned}

Esto tenderá a $0$ cuando $n$ se haga grande si $|x-\xi |\le b-\xi$. Si , entonces $|x-\xi |=x-\xi \le b-\xi$. Si , y si $|x-x_0|\le b-x_0$, entonces $|x-\xi |\le |x-x_0|\le b-x_0\le b-\xi$. Por lo tanto, sabemos que el resto tiende a cero siempre que $|x-x_0|\le b-x_0$. Resumamos el resultado que hemos demostrado, que es el teorema de convergencia de Bernstein.

Por ejemplo, este teorema nos dice que la serie de Taylor para $e^x$ formada alrededor de cualquier punto converge a $e^x$ para todo $x$. El resultado puede extenderse a una clase considerablemente mayor de funciones si hacemos algunas observaciones. Primero supongamos que existe algún número $M$ tal que f(x) \ge M, f'(x) \ge M, f''(x) \ge M, \dots siempre que $a\le x\le b$. Si $M\ge 0$, entonces la serie de Taylor de $f(x)$ converge a $f(x)$ por el teorema de Bernstein. Si , sea

$$g(x)=f(x)-M{e}^{(x-a)}\cdot$$

Entonces $g(x)\ge M-M{e}^{x-a}=M(1-e^{x-a})\ge 0$, ya que ambos factores son menores o iguales que cero. Asimismo, g'(x) = f'(x) - M e^{x-a} \ge 0, g''(x) \ge 0, \dots. Por lo tanto, la serie de Taylor para $g(x)$ converge a $g(x)$. Como hemos señalado, la serie de Taylor para $e^{x-a}$ converge a $e^{x-a}(=e^{-a}\cdot e^x)$. Dado que la operación de formar la serie de Taylor es lineal, la serie de Taylor para $f(x)$ es la de $g(x)$ más $M$ veces la de $e^{x-a}$; el resto en cada una de estas tiende a cero, y por lo tanto el resto para $f(x)$, que es la suma de estos restos, tiende a cero. Así vemos que la serie de Taylor para $f(x)$ converge a $f(x)$ si todas las derivadas de $f(x)$ están acotadas inferiormente.

A continuación supongamos que $f^{(n)}(x)\ge 0$ para $a\le x\le b$, siempre que para algún $N$ fijo. Entonces sea $M$ el menor de los números

0, \min f(x), \min f'(x), \dots, \min f^{(N)}(x) \quad \text{en } a \le x \le b \cdot

Entonces $f^{(i)}(x)\ge M$ para todo $i\ge 0$, y vemos, como antes, que la serie de Taylor para $f(x)$ converge a $f(x)$. Dado que la serie de Taylor para $-f(x)$ tiene como términos los negativos de los de la serie de Taylor para $f(x)$, podemos usar $-f(x)$ para demostrar que la serie de Taylor para $f(x)$ converge a $f(x)$ siempre que todas las $f^{(n)}(x)$ estén acotadas superiormente, en particular si todas $f^{(n)}(x)\le 0$.

Ahora sea f(x) \ge 0, f'(x) \le 0, f''(x) \ge 0, f'''(x) \le 0, \dots; en otras palabras, las derivadas de $f(x)$ alternan de signo. Sea . Entonces , y si $-b\le \xi \le -a$, sea $g(\xi )=f(-\xi )$. Entonces

g(\xi) \ge 0, g'(\xi) = -f'(-\xi) \ge 0, g''(\xi) \ge 0, \dots ,

o bien $g^{(n)}(\xi )\ge 0$ para todo $n$ siempre que $-b\le \xi \le -a$. Así, sabemos por el teorema de Bernstein que la serie de Taylor para $g(\xi )$ alrededor de $-x_0$ converge a $g(\xi )$ siempre que $|\xi -(-x_0)|\le -a-(-x_0)$, o siempre que $|\xi +x_0|\le x_0-a$. La serie de Taylor para $g(\xi )=f(-\xi )$ alrededor de $-x_0$ es:

\begin{aligned} g(-x_0) + \frac{(\xi+x_0)}{1!} g'(-x_0) + \frac{(\xi+x_0)^2}{2!} g''(-x_0) + \dots \\ = f(x_0) - \frac{(\xi+x_0)}{1!} f'(x_0) + \frac{(\xi+x_0)^2}{2!} f''(x_0) - \dots \cdot \end{aligned}

Ahora sea $x=-\xi ,\xi =-x$. Entonces, siempre que $|-x+x_0|\le x_0-a$, o $|x-x_0|\le x_0-a$, tenemos, en el límite,

\begin{aligned} f(x) = g(\xi) &= f(x_0) - \frac{(-x+x_0)}{1!} f'(x_0) + \frac{(-x+x_0)^2}{2!} f''(x_0) - \dots \\ &= f(x_0) + \frac{(x-x_0)}{1!} f'(x_0) + \frac{(x-x_0)^2}{2!} f''(x_0) + \dots \cdot \end{aligned}

Pero esta es exactamente la serie de Taylor para $f(x)$. Nótese que en este caso converge a $f(x)$ siempre que $x$ esté más cerca de $x_0$ que $x_0$ de $a$, mientras que en el teorema original teníamos convergencia a $f(x)$ siempre que $x$ estuviera más cerca de $x_0$ que $x_0$ de $b$. Obsérvese también que, como antes, basta con que los signos alternen a partir de algún $N$.

Aplicaremos esta última observación para investigar la función $f(x)=x^{\alpha }$ para , $\alpha$ cualquier número. Entonces

f'(x) = \alpha x^{\alpha-1},\quad f''(x) = \alpha(\alpha - 1)x^{\alpha-2},\quad \dots ,

y eventualmente

Entonces $f^{(N+1)}(x)=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -N+1)(\alpha -N)x^{\alpha -N-1}$ tiene el signo opuesto a $f^{(N)}(x)$ para todo , ya que tiene el signo opuesto a $f^{(N+1)}(x)$, y los signos de $f^{(n)}(x)$ alternan para . Por lo tanto, si $ϵ$ es cualquier número positivo pequeño y , la serie de Taylor para $f(x)$ alrededor de $x_0$ converge a $f(x)$ siempre que $|x-x_0|\le x_0-ϵ$. Si , entonces estamos seguros de que $|x-x_0|\le x_0-ϵ$ para algún $ϵ$ positivo. Por lo tanto, la serie converge a $f(x)$ siempre que .

Ahora cambiemos un poco la notación y escribamos $x_0=a,x=a+b$. Entonces desarrollamos $f(x)=(a+b{)}^{\alpha }$ en potencias de $(x-x_0)=b$. (Aquí .) Así,

\begin{aligned} x^\alpha = (a+b)^\alpha = a^\alpha + \alpha a^{\alpha-1}b + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2} a^{\alpha-2}b^2 + \cdots\\ + \frac{\alpha(\alpha-1) \dots (\alpha-n)}{n!} a^{\alpha-n}b^n + \cdots \end{aligned}

en el sentido de que la serie converge a $(a+b{)}^{\alpha }$ siempre que , o siempre que . Esta es la llamada serie binomial, y los coeficientes

$$\frac{\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -n)}{n!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})$$

se denominan coeficientes binomiales. Obsérvese que si $\alpha$ es un entero positivo, todos los coeficientes son $0$ a partir de cierto punto, y tenemos el teorema del binomio ordinario.

EJERCICIOS