Diferencial Total e Gradiente

Seja $f(x,y)$ uma função de duas variáveis. Suponha que a primeira variável $x$ seja alterada por uma quantidade $dx$ e a segunda por uma quantidade $dy$. O valor da função no novo ponto é então $f(x+dx,y+dy)$. A quantidade pela qual o valor da função mudou é

$$f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\cdot$$

Essa expressão é uma função das quatro variáveis $x,y,dx,dy$. Ela é chamada de diferencial total de $f(x,y)$, e é escrita simplesmente como $df$:

$$df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\cdot$$

Frequentemente, o diferencial total é discutido em termos de "infinitesimais", termo que se refere a $dx$ e $dy$. No entanto, nunca é dada uma definição adequada de infinitesimal. A única maneira de trabalharmos com $dx$ e $dy$ é deixar que essas quantidades sejam números, e é isso que fazemos. Também é comum escrever-se que

$$df=f_{x}dx+f_{y}dy,$$

onde $f_x$ e $f_y$ referem-se a $f_x(x,y)$ e $f_y(x,y)$. Veremos que esta é na verdade apenas uma fórmula aproximada, e obteremos alguma ideia do erro em sua aplicação. Não há objeção ao uso da fórmula, desde que ela seja interpretada nesse sentido.

Agora reconsideremos o diferencial total. Para começar, escrevemos $df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)$ como

$$f(x+dx,y+dy)-f(x+dx,y)+f(x+dx,y)-f(x,y)\cdot$$

Em seguida, aplicamos o teorema do valor médio para obter

$$df=f_y(x+dx,\eta )dy+f_x(\xi ,y)dx,$$

onde $\xi$ está entre $x$ e $x+dx$ e $\eta$ está entre $y$ e $y+dy$. Supomos que $f_x$ e $f_y$ são contínuas. Então

$$f_y(x+dx,\eta )-f_y(x,y)=\alpha (dx,dy),$$

onde $\alpha (dx,dy)$ tende a zero quando $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ tende a zero (uma vez que $(x+dx,\eta )$ está no retângulo com vértices $(x,y),(x+dx,y),(x+dx,y+dy),(x,y+dy)$, e portanto se aproxima de $(x,y)$ quando $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$, a diagonal do retângulo, se aproxima de $0$). De modo análogo,

$$f_x(\xi ,y)-f_x(x,y)=\beta (dx,dy)$$

tende a $0$ quando $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ tende a $0$. Nossa fórmula torna-se agora

$$df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy+\beta (dx,dy)dx+\alpha (dx,dy)dy\cdot$$

Agora, se é qualquer número positivo pequeno, podemos escolher $dx$ e $dy$ de modo que $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ seja tão pequeno que e , pois este é justamente o significado da afirmação de que essas quantidades tendem a zero quando $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ tende a zero. Então temos

\begin{aligned} |\alpha(dx, dy) dy + \beta(dx, dy) dx| &\le |\alpha(dx, dy)| |dy| + |\beta(dx, dy)| |dx| \\ &< \epsilon |dy| + \epsilon |dx| = \epsilon (|dx| + |dy|) \cdot \end{aligned}

Como $|dx|+|dy|\le 2\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$, quando $dx$ e $dy$ são escolhidos suficientemente pequenos, o erro ao usar $f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$ para aproximar o diferencial total é tal que

Em outras palavras,

$$\frac{\text{error}}{\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}}\to 0\text{as }\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}\to 0\cdot$$

É exatamente isso que queremos dizer quando afirmamos: "O erro é pequeno quando comparado a $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$". Assim, nosso resultado é o seguinte:

$$df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy,$$

com um erro que é pequeno quando comparado a $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$. Este é então o sentido em que a fórmula é corretamente interpretada.

A expressão $f_{x}dx+f_{y}dy$ que aparece na fórmula acima pode ser expressa em notação vetorial como o produto escalar

$$(f_x,f_y)\cdot (dx,dy)\cdot$$

Há pouca razão para fazer isso em duas dimensões. No entanto, podemos definir o diferencial total de uma função $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ de $n$ variáveis como a quantidade

$$f(x_1+d{x}_1,x_2+d{x}_2,\dots ,x_n+d{x}_n)-f(x_1,x_2,\dots ,x_n),$$

uma função de $2n$ variáveis, e provar, como acima, que

$$df=(f_{x_1},f_{x_2},\dots ,f_{x_n})\cdot (d{x}_1,d{x}_2,\dots ,d{x}_n)+\text{error}$$

onde o erro é pequeno comparado a

$$\sqrt{d{x}_1^2+d{x}_2^2+\cdots +d{x}_n^2}\cdot$$

Denotamos o vetor $(d{x}_1,d{x}_2,\dots ,d{x}_n)$ por $dX$, e denotamos o vetor $(f_{x_1},f_{x_2},\dots ,f_{x_n})$ por grad f (chamado de "gradiente de $𝒇$"). Nessa notação, temos

$$df=(\text{grad }f)\cdot dX+\text{error},$$

onde o erro é pequeno comparado a $|dX|$.

Agora, para variar, seja $f(x,y,z)$ uma função de três variáveis, e seja cada uma delas uma função $x(t),y(t),z(t)$ de uma única variável $t$. Então $g(t)=f(x(t),y(t),z(t))$ é uma função de $t$, e podemos investigar g'(t). Para isso, devemos considerar

$$\frac{g(t+h)-g(t)}{h}=\frac{f(x(t+h),y(t+h),z(t+h))-f(x(t),y(t),z(t))}{h}\cdot$$

Seja agora $dx=x(t+h)-x(t),dy=y(t+h)-y(t),dz=z(t+h)-z(t)$; então temos

$$\frac{g(t+h)-g(t)}{h}=\frac{df}{h}=\frac{(\text{grad }f)\cdot dX}{h}+\frac{\text{error}}{h}.$$

Agora

$$\frac{1}{h}dX=(\frac{x(t+h)-x(t)}{h},\frac{y(t+h)-y(t)}{h},\frac{z(t+h)-z(t)}{h}),$$

de modo que

\lim_{h \to 0} (\text{grad } f) \cdot \frac{dX}{h} = (\text{grad } f) \cdot X'(t) \cdot

O termo de erro é da forma $\alpha dx+\beta dy+\gamma dz$, onde $\alpha ,\beta$ e $\gamma$ tendem a zero quando $|dX|$ tende a zero. Quando $h\to 0,|dX|\to 0$, já que $x(t),y(t),z(t)$ são supostas contínuas. Assim,

\begin{array}{r cl c cl c cl} \dfrac{\text{error}}{h} = & \alpha & \dfrac{dx}{h} & + & \beta & \dfrac{dy}{h} & + & \gamma & \dfrac{dz}{h} \\ & \big\downarrow &\ \big\downarrow & & \big \downarrow &\ \big\downarrow & & \big\downarrow &\ \big\downarrow \\ & 0 & x'(t) & & 0 & y'(t) & & 0 & z'(t) \end{array}

conforme indicado pelas setas verticais.

Substituindo $g(t)$, obtemos a fórmula

\frac{d}{dt} (f(x(t), y(t), z(t))) = (\text{grad } f) \cdot X'(t) ,

que é o caso de 3 variáveis da regra da cadeia para funções de várias variáveis. (No caso de $f(x(t))$, ela se torna simplesmente f'(x) \cdot x'(t), como já vimos antes.)

EXERCÍCIOS