دیفرانسیل کل و گرادیان

فرض کنید $f (x, y)$ تابعی از دو متغیر باشد. فرض کنید متغیر اول $x$ به اندازهٔ $d x$ و متغیر دوم به اندازهٔ $d y$ تغییر کند. در این صورت مقدار تابع در نقطهٔ جدید $f (x + d x, y + d y)$ است. مقداری که مقدار تابع تغییر کرده است برابر است با

f (x + d x, y + d y) - f (x, y) \cdot

این عبارت تابعی از چهار متغیر $x, y, d x, d y$ است. به آن دیفرانسیل کامل $f (x, y)$ گفته می‌شود و به سادگی به صورت $d f$ نوشته می‌شود:

d f = f (x + d x, y + d y) - f (x, y) \cdot

اغلب دیفرانسیل کامل بر حسب «بی‌نهایت کوچک‌ها» مورد بحث قرار می‌گیرد، اصطلاحی که به $d x$ و $d y$ اشاره دارد. با این حال، هرگز تعریف مناسبی از یک بی‌نهایت کوچک ارائه نشده است. تنها راهی که می‌توانیم با $d x$ و $d y$ کار کنیم این است که اجازه دهیم این مقادیر عدد باشند، که همین کار را نیز انجام می‌دهیم. همچنین معمولاً نوشته می‌شود که

d f = f_{x} d x + f_{y} d y,

که در آن $f_{x}$ و $f_{y}$ به $f_{x} (x, y)$ و $f_{y} (x, y)$ اشاره دارند. خواهیم دید که این در واقع فقط یک فرمول تقریبی است و ایده‌ای از میزان خطای کاربرد آن به دست خواهیم آورد. هیچ ایرادی به استفاده از این فرمول وارد نیست، به شرطی که فرد آن را در این معنا تفسیر کند.

اکنون بیایید دیفرانسیل کامل را دوباره بررسی کنیم. برای شروع، $d f = f (x + d x, y + d y) - f (x, y)$ را به صورت زیر می‌نویسیم:

f (x + d x, y + d y) - f (x + d x, y) + f (x + d x, y) - f (x, y) \cdot

سپس قضیه مقدار میانگین را به کار می‌بریم تا به دست آوریم

d f = f_{y} (x + d x, η) d y + f_{x} (ξ, y) d x,

که در آن $ξ$ بین $x$ و $x + d x$ و $η$ بین $y$ و $y + d y$ است. فرض می‌کنیم $f_{x}$ و $f_{y}$ پیوسته هستند. در این صورت

f_{y} (x + d x, η) - f_{y} (x, y) = α (d x, d y),

که در آن $α (d x, d y)$ با میل کردن $\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ به صفر، به صفر میل می‌کند (زیرا $(x + d x, η)$ درون مستطیلی با رأس‌های $(x, y), (x + d x, y), (x + d x, y + d y), (x, y + d y)$ قرار دارد، و بنابراین با میل کردن $\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ ، قطر مستطیل، به $0$ ، به $(x, y)$ نزدیک می‌شود). به همین ترتیب،

f_{x} (ξ, y) - f_{x} (x, y) = β (d x, d y)

با میل کردن $\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ به $0$ ، به $0$ میل می‌کند. اکنون فرمول ما به این صورت در می‌آید:

d f = f_{x} (x, y) d x + f_{y} (x, y) d y + β (d x, d y) d x + α (d x, d y) d y \cdot

حال اگر $ϵ > 0$ هر عدد مثبت کوچکی باشد، می‌توانیم $d x$ و $d y$ را چنان انتخاب کنیم که $\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ به قدری کوچک باشد که $| α (d x, d y) | < ϵ$ و $| β (d x, d y) | < ϵ$ ، زیرا این دقیقاً همان معنای این گزاره است که این مقادیر با میل کردن $\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ به صفر، به سمت صفر میل می‌کنند. در این صورت داریم

اکنون $| d x | + | d y | \leq 2 \sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ ، به طوری که وقتی $d x$ و $d y$ به اندازهٔ کافی کوچک انتخاب شوند، خطای حاصل از به‌کارگیری $f_{x} (x, y) d x + f_{y} (x, y) d y$ برای تقریب دیفرانسیل کامل به گونه‌ای است که

\frac{خطا}{\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}} < \frac{2 ϵ \sqrt{d x^{2} + d y^{2}}}{\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}} = 2 ϵ \cdot

به عبارت دیگر،

\frac{خطا}{\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}} \to 0 وقتی که \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} \to 0 \cdot

این دقیقاً همان چیزی است که وقتی می‌گوییم «خطا در مقایسه با $\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ کوچک است» منظورمان است. بنابراین نتیجهٔ ما به صورت زیر است:

d f = f_{x} (x, y) d x + f_{y} (x, y) d y,

با خطایی که در مقایسه با $\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ کوچک است. بنابراین این همان معنایی است که فرمول به درستی در آن تفسیر می‌شود.

عبارت $f_{x} d x + f_{y} d y$ که در فرمول بالا ظاهر می‌شود را می‌توان در نمادگذاری برداری به عنوان حاصل‌ضرب اسکالر بیان کرد:

(f_{x}, f_{y}) \cdot (d x, d y) \cdot

در دو بعد دلیل چندانی برای انجام این کار وجود ندارد. با این حال، می‌توانیم دیفرانسیل کامل یک تابع $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ از $n$ متغیر را به عنوان مقدار

f (x_{1} + d x_{1}, x_{2} + d x_{2}, \dots, x_{n} + d x_{n}) - f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}),

تابعی از $2 n$ متغیر، تعریف کنیم و همانند بالا اثبات کنیم که

d f = (f_{x_{1}}, f_{x_{2}}, \dots, f_{x_{n}}) \cdot (d x_{1}, d x_{2}, \dots, d x_{n}) + خطا

که در آن خطا در مقایسه با مقدار زیر کوچک است:

\sqrt{d x_{1}^{2} + d x_{2}^{2} + \dots + d x_{n}^{2}} \cdot

ما بردار $(d x_{1}, d x_{2}, \dots, d x_{n})$ را با $d X$ و بردار $(f_{x_{1}}, f_{x_{2}}, \dots, f_{x_{n}})$ را با grad f (به نام «گرادیان $𝒇$ ») نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری، داریم

d f = (grad f) \cdot d X + خطا,

که در آن خطا در مقایسه با $| d X |$ کوچک است.

اکنون برای تنوع، فرض کنید $f (x, y, z)$ تابعی از سه متغیر باشد، و هر یک از این‌ها تابعی مانند $x (t), y (t), z (t)$ از یک متغیر تک $t$ باشند. آن‌گاه $g (t) = f (x (t), y (t), z (t))$ تابعی از $t$ است و می‌توانیم را بررسی کنیم. برای این کار، باید عبارت زیر را در نظر بگیریم:

\frac{g (t + h) - g (t)}{h} = \frac{f (x (t + h), y (t + h), z (t + h)) - f (x (t), y (t), z (t))}{h} \cdot

اکنون فرض کنید $d x = x (t + h) - x (t), d y = y (t + h) - y (t), d z = z (t + h) - z (t)$ ؛ در این صورت داریم

\frac{g (t + h) - g (t)}{h} = \frac{d f}{h} = \frac{(grad f) \cdot d X}{h} + \frac{خطا}{h} .

حال

\frac{1}{h} d X = (\frac{x (t + h) - x (t)}{h}, \frac{y (t + h) - y (t)}{h}, \frac{z (t + h) - z (t)}{h}),

به طوری که

جملهٔ خطا به صورت $α d x + β d y + γ d z$ است، که در آن با میل کردن $| d X |$ به صفر، $α ، β$ و $γ$ به صفر میل می‌کنند. با میل کردن $h \to 0$ ، داریم $| d X | \to 0$ ، زیرا $x (t), y (t), z (t)$ پیوسته فرض شده‌اند. بنابراین

خطا

همان‌طور که با پیکان‌های عمودی نشان داده شده است.

با جایگذاری به جای $g (t)$ ، این فرمول را داریم:

که حالت ۳-متغیره از قاعده زنجیره‌ای برای توابع چندمتغیره است. (در حالت $f (x (t))$ ، به سادگی به تبدیل می‌شود، همان‌طور که قبلاً دیده‌ایم.)

تمرین‌ها

تمرین 1.

فرض کنید $f (x, y)$ تابعی از دو متغیر باشد. فرض کنید عدد مثبت $M$ چنان وجود دارد که در همسایگی‌ای از $(x_{0}, y_{0})$ ، مشتق‌های $f_{x}$ و $f_{y}$ وجود داشته و برای تمام $(x, y)$ داشته باشیم $| f_{x} (x, y) | < M, | f_{y} (x, y) | < M$ . با در نظر گرفتن دیفرانسیل کامل، ثابت کنید که $f (x, y)$ در $(x_{0}, y_{0})$ پیوسته است. سپس از این نتیجه استفاده کنید تا ثابت کنید اگر $f_{x}$ و $f_{y}$ در $(x_{0}, y_{0})$ پیوسته باشند، $f (x, y)$ نیز در آن نقطه پیوسته است.