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1.1 Teoria da Probabilidade como o Estudo de Fenômenos Aleatórios

Uma das características mais marcantes dos dias de hoje é o uso cada vez maior das ideias da teoria da probabilidade em uma ampla variedade de campos científicos, envolvendo questões tão remotas e diferentes quanto a previsão por geneticistas da frequência relativa com que várias características ocorrem em grupos de indivíduos, o cálculo por engenheiros de telefonia da densidade do tráfego telefônico, a manutenção por engenheiros industriais de produtos manufaturados em um certo padrão de qualidade, a transmissão (por engenheiros preocupados com o projeto de sistemas de comunicações e controle automático) de sinais na presença de ruído, e o estudo por físicos do ruído térmico em circuitos elétricos e do movimento browniano de partículas imersas em um líquido ou gás. O que é estudado na teoria da probabilidade que permite que ela tenha aplicações tão diversas? Para responder a essa pergunta, devemos primeiro definir a propriedade que é possuída em comum por fenômenos como o número de indivíduos que possuem uma certa característica genética, o número de chamadas telefônicas feitas em uma determinada cidade entre determinadas horas do dia, o padrão de qualidade dos itens fabricados por um determinado processo, o número de acidentes de automóvel a cada dia em uma determinada rodovia, e assim por diante. Cada um desses fenômenos pode frequentemente ser considerado um fenômeno aleatório no sentido da seguinte definição.

Um fenômeno aleatório (ou de acaso) é um fenômeno empírico caracterizado pela propriedade de que sua observação sob um determinado conjunto de circunstâncias nem sempre leva ao mesmo resultado observado (de modo que não há regularidade determinística), mas sim a resultados diferentes de tal forma que haja regularidade estatística. Por isso, entende-se que existem números entre 0 e 1 que representam a frequência relativa com que os diferentes resultados possíveis podem ser observados em uma série de observações de ocorrências independentes do fenômeno.

Estreitamente ligadas à noção de um fenômeno aleatório estão as noções de um evento aleatório e da probabilidade de um evento aleatório. Um evento aleatório é aquele cuja frequência relativa de ocorrência, em uma sequência muito longa de observações de situações selecionadas aleatoriamente nas quais o evento pode ocorrer, aproxima-se de um valor limite estável à medida que o número de observações é aumentado para o infinito; o valor limite da frequência relativa é chamado de probabilidade do evento aleatório.

Para evidenciar com mais detalhes o que se entende por um fenômeno aleatório, consideremos um evento aleatório típico; a saber, um acidente de automóvel. É evidente que exatamente onde, quando e como um acidente específico ocorre depende de um número enorme de fatores, uma pequena mudança em qualquer um dos quais poderia alterar grandemente o caráter do acidente ou até mesmo evitá-lo completamente. Por exemplo, em uma colisão de dois carros, se um dos motoristas tivesse partido dez segundos antes ou dez segundos depois, se tivesse parado para comprar cigarros, diminuído a velocidade para evitar um gato que por acaso cruzasse a estrada, ou alterado seu curso por qualquer um de um número ilimitado de razões semelhantes, este acidente específico nunca teria acontecido; enquanto até mesmo uma virada ligeiramente diferente do volante poderia ter evitado o acidente por completo ou mudado seu caráter completamente, seja para melhor ou para pior. Para qualquer motorista que parta em uma determinada rodovia, não se pode prever se ele estará ou não envolvido em um acidente de automóvel. No entanto, se observarmos todos (ou apenas um número muito grande de) motoristas que partem nesta rodovia em um determinado dia, podemos determinar a proporção que terá acidentes de automóvel. Se essa proporção permanecer a mesma de dia para dia, então podemos adotar a crença de que o que acontece com um motorista que dirige nesta rodovia é um fenômeno aleatório e que o evento de ele ter um acidente de automóvel é um evento aleatório.

Outro fenômeno aleatório típico surge quando consideramos o experimento de retirar uma bola de uma urna. Em particular, examinemos uma urna (ou uma tigela) contendo seis bolas, das quais quatro são brancas e duas são vermelhas. Exceto pela cor, as bolas são idênticas em todos os detalhes. Deixe uma bola ser retirada e sua cor anotada. Poderíamos ser tentados a perguntar "qual será a cor de uma bola retirada da urna?" No entanto, está claro que não há resposta para esta pergunta. Se alguém realmente realizar o experimento de retirar uma bola de uma urna, como a descrita, a cor da bola que se retira será às vezes branca e às vezes vermelha. Assim, o resultado do experimento de retirar uma bola é imprevisível.

No entanto, existem coisas que são previsíveis sobre este experimento. Na Tabela 1A são apresentados os resultados de 600 ensaios independentes (isto é, pegamos uma urna contendo quatro bolas brancas e duas bolas vermelhas, misturamos bem as bolas, retiramos uma bola e anotamos sua cor, após o que a bola retirada foi devolvida à urna; essas operações foram repetidas 600 vezes). Observa-se que em cada bloco de 100 ensaios (bem como em todo o conjunto de 600 ensaios) a proporção de experimentos em que uma bola branca é retirada é aproximadamente igual a \frac{2}{3}. Consequentemente, pode-se ser tentado a afirmar que a proporção \frac{2}{3} tem algum significado real para este experimento e que, em uma série razoavelmente longa de ensaios do experimento, \frac{2}{3} das bolas retiradas serão de cor branca. Se alguém sucumbir a essa tentação, então terá afirmado que o resultado do experimento (de retirar uma bola de uma urna contendo seis bolas, das quais quatro são brancas e duas são vermelhas) é um fenômeno aleatório.

Mais genericamente, se alguém acredita que o experimento de retirar uma bola de uma urna irá, em uma longa série de ensaios, produzir uma bola branca em alguma proporção definida (que