Fonctions

1.1 La théorie des probabilités comme étude des phénomènes aléatoires

L'une des caractéristiques les plus frappantes de l'époque actuelle est l'utilisation sans cesse croissante des idées de la théorie des probabilités dans une grande variété de domaines scientifiques, impliquant des questions aussi éloignées et différentes que la prédiction par les généticiens de la fréquence relative avec laquelle diverses caractéristiques apparaissent dans des groupes d'individus, le calcul par les ingénieurs en téléphonie de la densité du trafic téléphonique, le maintien par les ingénieurs industriels des produits manufacturés à un certain niveau de qualité, la transmission (par les ingénieurs concernés par la conception de systèmes de communication et de contrôle automatique) de signaux en présence de bruit, et l'étude par les physiciens du bruit thermique dans les circuits électriques et du mouvement brownien de particules immergées dans un liquide ou un gaz. Qu'est-ce qui est étudié en théorie des probabilités pour lui permettre d'avoir des applications aussi diverses ? Afin de répondre à cette question, nous devons d'abord définir la propriété possédée en commun par des phénomènes tels que le nombre d'individus possédant une certaine caractéristique génétique, le nombre d'appels téléphoniques passés dans une ville donnée entre certaines heures de la journée, le niveau de qualité des articles fabriqués par un certain processus, le nombre d'accidents d'automobile chaque jour sur une autoroute donnée, et ainsi de suite. Chacun de ces phénomènes peut souvent être considéré comme un phénomène aléatoire au sens de la définition suivante.

Un phénomène aléatoire (ou de hasard) est un phénomène empirique caractérisé par la propriété que son observation dans un ensemble de circonstances donné ne conduit pas toujours au même résultat observé (de sorte qu'il n'y a pas de régularité déterministe) mais plutôt à des résultats différents de telle manière qu'il existe une régularité statistique. Par cela, on entend qu'il existe des nombres compris entre 0 et 1 qui représentent la fréquence relative avec laquelle les différents résultats possibles peuvent être observés dans une série d'observations d'occurrences indépendantes du phénomène.

Étroitement liées à la notion de phénomène aléatoire se trouvent les notions d'événement aléatoire et de probabilité d'un événement aléatoire. Un événement aléatoire est un événement dont la fréquence relative d'occurrence, dans une très longue séquence d'observations de situations choisies au hasard dans lesquelles l'événement peut se produire, s'approche d'une valeur limite stable à mesure que le nombre d'observations augmente vers l'infini ; la valeur limite de la fréquence relative est appelée la probabilité de l'événement aléatoire.

Afin de mettre en évidence plus en détail ce que l'on entend par phénomène aléatoire, considérons un événement aléatoire typique ; à savoir, un accident d'automobile. Il est évident que l'endroit, le moment et la manière dont un accident particulier a lieu dépendent d'un nombre énorme de facteurs, dont un léger changement dans l'un d'eux pourrait grandement modifier le caractère de l'accident ou même l'éviter complètement. Par exemple, dans une collision de deux voitures, si l'un des automobilistes était parti dix secondes plus tôt ou dix secondes plus tard, s'il s'était arrêté pour acheter des cigarettes, s'il avait ralenti pour éviter un chat qui traversait la route par hasard, ou s'il avait modifié sa trajectoire pour l'une quelconque d'un nombre illimité de raisons similaires, cet accident particulier ne se serait jamais produit ; alors que même un coup de volant légèrement différent aurait pu empêcher l'accident complètement ou changer son caractère du tout au tout, soit pour le mieux, soit pour le pire. Pour tout automobiliste s'engageant sur une autoroute donnée, on ne peut prédire s'il sera ou non impliqué dans un accident d'automobile. Néanmoins, si nous observons tous les automobilistes (ou simplement un très grand nombre d'entre eux) s'engageant sur cette autoroute un jour donné, nous pouvons déterminer la proportion de ceux qui auront des accidents d'automobile. Si cette proportion reste la même de jour en jour, alors nous pouvons adopter la conviction que ce qui arrive à un automobiliste circulant sur cette autoroute est un phénomène aléatoire et que l'événement d'avoir un accident d'automobile est un événement aléatoire.

Un autre phénomène aléatoire typique survient lorsque nous considérons l'expérience consistant à tirer une boule d'une urne. En particulier, examinons une urne (ou un bol) contenant six boules, dont quatre sont blanches et deux sont rouges. À l'exception de la couleur, les boules sont identiques dans les moindres détails. Tirons une boule et notons sa couleur. Nous pourrions être tentés de demander « quelle sera la couleur d'une boule tirée de l'urne ? » Cependant, il est clair qu'il n'y a pas de réponse à cette question. Si l'on effectue réellement l'expérience de tirer une boule d'une urne, comme celle décrite, la couleur de la boule que l'on tire sera tantôt blanche et tantôt rouge. Ainsi, le résultat de l'expérience consistant à tirer une boule est imprévisible.

Pourtant, il y a des choses qui sont prévisibles à propos de cette expérience. Dans le tableau 1A, les résultats de 600 essais indépendants sont donnés (c'est-à-dire que nous avons pris une urne contenant quatre boules blanches et deux boules rouges, bien mélangé les boules, tiré une boule et noté sa couleur, après quoi la boule tirée a été remise dans l'urne ; ces opérations ont été répétées 600 fois). On voit que dans chaque bloc de 100 essais (ainsi que dans l'ensemble des 600 essais), la proportion d'expériences dans lesquelles une boule blanche est tirée est approximativement égale à \frac{2}{3}. Par conséquent, on peut être tenté d'affirmer que la proportion \frac{2}{3} a une signification réelle pour cette expérience et que dans une série d'essais raisonnablement longue de l'expérience, \frac{2}{3} des boules tirées seront de couleur blanche. Si l'on succombe à cette tentation, alors on a affirmé que le résultat de l'expérience (consistant à tirer une boule d'une urne contenant six boules, dont quatre sont blanches et deux sont rouges) est un phénomène aléatoire.

Plus généralement, si l'on croit que l'expérience consistant à tirer une boule d'une urne donnera, dans une longue série d'essais, une boule blanche dans une certaine proportion définie (que l'on peut ne pas connaître) des essais de l'expérience, alors on a affirmé (i) que le tirage d'une boule d'une telle urne est un phénomène aléatoire et (ii) que le tirage d'une boule blanche est un événement aléatoire.

Donnons une illustration de la manière dont on peut utiliser la connaissance (ou la conviction) qu'un phénomène est aléatoire. Considérons un groupe de 300 personnes candidates à l'admission dans une certaine école qui ne dispose de places que pour 200 étudiants. Dans un souci d'équité, il est décidé d'utiliser un mécanisme aléatoire pour choisir les étudiants parmi les candidats. Dans une méthode aléatoire possible, les 300 candidats sont réunis dans une salle. Chaque candidat tire une boule d'une urne contenant six boules, dont quatre sont blanches ; ceux qui tirent des boules blanches sont admis comme étudiants. Pour un étudiant individuel, on ne peut prédire s'il sera admis ou non par cette méthode de sélection. Pourtant, si nous croyons que le résultat de l'expérience consistant à tirer une boule possède la propriété de régularité statistique, alors sur la base de l'expérience représentée par le tableau 1A, qui indique que la probabilité de tirer une boule blanche est de \frac{2}{3}, nous croyons que le nombre de candidats qui tireront des boules blanches, et seront par conséquent admis comme étudiants, sera approximativement égal à 200 (notez que 200 représente le produit de (i) le nombre d'essais de l'expérience et (ii) la probabilité de l'événement que l'expérience donne une boule blanche). Par une analyse plus approfondie, on peut montrer que la probabilité est assez élevée pour que le nombre de candidats qui tireront des boules blanches soit compris entre 186 et 214.

L'un des objectifs de ce livre est de montrer comment, au moyen de la théorie des probabilités, la même procédure mathématique peut être utilisée pour résoudre des problèmes tout à fait différents. Pour illustrer ce point, nous considérons une variante du problème précédent qui présente un grand intérêt pratique. De nombreux collèges constatent que seule une certaine proportion des étudiants qu'ils admettent s'inscrivent réellement. Par conséquent, un collège doit décider du nombre d'étudiants à admettre afin d'être sûr qu'un nombre suffisant d'étudiants s'inscriront. Supposons qu'un collège constate que seulement deux tiers des étudiants qu'il admet s'inscrivent ; on peut alors dire que la probabilité est de \frac{2}{3} qu'un étudiant s'inscrive. Si le collège souhaite s'assurer qu'environ 200 étudiants s'inscriront, il devrait admettre 300 étudiants.

Exercices