Solution graphique d’un système de forces coplanaires

Le problème de la recherche de la résultante d'un système de forces coplanaires peut être résolu par une méthode graphique. Nous illustrerons d'abord la méthode au moyen d'un système de forces coplanaires parallèles. Considérons le système de trois forces représenté sur la Fig. 1a. Nous pouvons trouver la grandeur et la direction de la résultante en additionnant les forces selon la loi du polygone, comme sur la Fig. 1b, mais cela ne nous donne pas l'emplacement de la résultante. Nous pouvons cependant localiser la résultante au moyen d'une extension de la méthode graphique développée en relation avec cette figure du Chapitre : La composition et la résolution des systèmes de forces .

Nous décomposons d'abord la force

F_{1}

en deux composantes, qui peuvent avoir une direction quelconque. Ces composantes sont représentées par

F_{1 a}

F_{1 b}

sur la Fig. 1c. Nous décomposons ensuite la force

F_{2}

en deux composantes, dont l'une est de même grandeur, de direction opposée et colinéaire avec la composante

F_{1 b}

de la première force. De même, la troisième force est décomposée en deux composantes, dont l'une est de même grandeur, de direction opposée et colinéaire avec la composante

F_{2 b}

de la deuxième force. Nous avons ainsi remplacé le système initial de trois forces parallèles par un système de six forces non parallèles. De plus, quatre de ces forces apparaissent en paires égales et opposées, de sorte qu'elles s'annulent, et nous avons ainsi réduit le système de trois forces parallèles à un système de deux forces non parallèles pour lequel la résultante peut être trouvée directement. On verra que cette méthode pourrait être étendue à un nombre quelconque de forces, et que tout système de forces parallèles se réduira toujours à deux forces. La valeur de la méthode ci-dessus réside dans le fait que les diverses opérations nécessaires à la résolution peuvent être combinées en une simple construction graphique. Sur la Fig. 2a sont représentées à l'échelle trois forces parallèles. Pour identifier les forces, nous utiliserons un nouveau type de notation, pour des raisons qui apparaîtront au fur et à mesure de la résolution graphique. Au lieu de désigner les forces par des lettres, nous désignons par des lettres les espaces entre les forces. La première force de la Fig. 2a serait appelée la force

a b

, la deuxième, la force

b c

, et ainsi de suite. Cette notation est appelée « notation de Bow » ¹ et est largement utilisée dans le domaine de la statique graphique. Sur la Fig. 2b, le diagramme des forces est tracé à l'échelle, et les forces sont identifiées au moyen des lettres de la Fig. 2a.

La grandeur de la force résultante ad peut être directement mesurée sur ce diagramme. Pour trouver l'emplacement de la résultante, nous décomposons les forces individuelles en composantes selon le schéma suivant. Sur la Fig. 2b, nous choisissons un point

O

que nous appelons le pôle. La position exacte du pôle est sans importance. Nous traçons ensuite des lignes partant des points

a, b

, etc., jusqu'au pôle. Ces lignes sont appelées rayons. Comme ces rayons sont situés dans le diagramme des forces, ils représentent des forces. On verra, par exemple, que les rayons

a o

o b

représentent deux composantes de la force

a b

, et les rayons

b o

et oc sont deux composantes de la force

b c

. De plus, les composantes ob et bo sont égales et opposées, de sorte que cette construction nous donne un moyen de réaliser le type de décomposition des forces discuté en relation avec la Fig. 1 ci-dessus. Nous transférons ensuite ces composantes de force sur le diagramme de la Fig. 2c. Comme chaque force doit être décomposée en deux composantes, un point de la ligne d'action de chaque force sera intersecté par deux lignes parallèles aux rayons qui représentent les deux composantes. Nous pouvons commencer le diagramme en choisissant un point quelconque

P

sur la ligne d'action de la force

a b

, et en traçant par ce point des lignes parallèles aux rayons

a o

et bo. Après avoir tracé la ligne

b o

sur la Fig. 2c, l'intersection de bo avec la ligne d'action de la force

b c

peut être trouvée, et par ce point une ligne parallèle au rayon co peut être tracée. Chacune des forces originales est décomposée en deux composantes, dont toutes, sauf deux, s'annulent. Les deux composantes restantes

a o

o d

donnent alors la force résultante ad, et leur point d'intersection

Q

sur la Fig. 2c établit l'emplacement de la résultante. Comme nous avons déjà déterminé la grandeur de

R

à partir du diagramme des forces de la Fig. 2b, nous n'avons pas besoin de montrer les grandeurs des forces sur la Fig. 2c, que nous utilisons uniquement pour déterminer l'emplacement de la résultante. La figure formée par les lignes

a o

b o

c o

, et

d o

, sur la Fig. 2c, est appelée le diagramme funiculaire ou polygone funiculaire, car elle a la forme que prendrait un fil flexible chargé par les forces originales.² Les lignes du diagramme funiculaire qui sont parallèles aux rayons du diagramme des forces sont appelées cordes. Dans l'exemple ci-dessus, nous avons pris un système qui a une force unique comme résultante. La méthode est également applicable si la résultante est un couple, comme on peut le voir dans l'exemple de la Fig. 3.

Quatre forces parallèles ayant les grandeurs et positions indiquées doivent être additionnées graphiquement. À partir du diagramme des forces de la Fig. 3, on voit que la force résultante est nulle, puisque le point

e

se révèle coïncider avec le point

a

. Si nous traçons le diagramme funiculaire, nous constatons que la première et la dernière corde

a o

e o

, dont l'intersection devrait donner l'emplacement de la résultante, ne se coupent pas mais sont parallèles, ce qui indique que la résultante est un couple. Le moment du couple sera observé comme étant dans le sens horaire, ou négatif, et la grandeur du couple sera égale à la grandeur de la composante ao multipliée par la distance entre les cordes

a o

e o

M = - [(1.11 po)) (30 \frac{lb}{in})] [(0.35 in .) (6 \frac{ft}{in .})] = - 70 ft \cdot lb

ce qui peut être facilement vérifié analytiquement pour ce problème. La méthode précédente peut également être utilisée pour les systèmes de forces non parallèles aussi bien que pour les systèmes de forces parallèles, comme on peut le voir dans l'exemple de la Fig. 4.

6.6.1 PROBLÈMES

1. Trouvez la résultante du système représenté sur la Fig. 3 (voir ci-dessous) en choisissant une position différente pour le pôle et en utilisant la méthode graphique. Vérifiez cette réponse analytiquement.

2. Un système de forces agit sur une poutre comme montré sur le diagramme. Trouvez la résultante du système par la méthode graphique.

Réponse

Grandeur de la résultante $= 52.9 lb$

3. Trouvez la résultante du système de forces coplanaires représenté sur le diagramme par la méthode graphique.

Réponse

Grandeur de la résultante $= 0$

Bow, R. H., Économie de la construction en relation avec les structures à ossature, 1873.↩︎
Culmann, C., Die Graphische Statik, 1864.↩︎