L'Analyse graphique d'un treillis

Nous avons considéré ci-dessus deux méthodes analytiques pour déterminer les forces agissant dans les barres d'un treillis, la méthode des nœuds et la méthode des sections. En résolvant les équations qui ont été écrites pour les divers systèmes de forces concourantes rencontrés dans la méthode des nœuds, nous avons utilisé des méthodes analytiques. Il serait également possible d'utiliser une méthode graphique, c.-à-d. un polygone de forces construit graphiquement, pour trouver les forces impliquées dans ces systèmes de forces concourantes. L'exemple suivant montrera comment cette méthode graphique s'appliquera à la solution d'un problème typique de treillis. Supposons que nous considérions le même treillis utilisé ci-dessus comme exemple de la méthode analytique et représenté sur la Fig. 1. Nous supposons en outre que nous avons déjà résolu les réactions aux appuis, soit analytiquement, comme dans l'exemple ci-dessus, soit graphiquement au moyen d'un diagramme funiculaire. Nous avons ainsi la situation montrée sur la Fig. 1a.

Pour identifier les différentes forces, nous utilisons la notation de Bow, et nous marquons par des lettres les espaces entre les forces dans le diagramme spatial, comme sur la Fig. 1a. Le polygone des forces pour le nœud de gauche est représenté sur la Fig. 1b et illustrera l'utilisation de la notation de Bow pour ce type de diagramme. Nous adoptons la convention d'identifier les forces agissant à un nœud particulier en lisant les lettres de la notation de Bow dans le sens horaire autour du nœud. En maintenant cette cohérence de sens, les signes des forces peuvent être déterminés automatiquement. Par exemple, si nous faisons référence au nœud de gauche, la force dans la barre inclinée est ($af$), tandis que pour le nœud supérieur gauche, la force dans cette même barre est $(fa)$. Puisque ces deux forces devraient en réalité être égales et opposées, on voit que la convention ci-dessus conduit à une image cohérente des signes des diverses forces. En lisant les forces dans le polygone des forces dans leur ordre approprié, par rapport à un nœud, on peut déterminer si une barre particulière est en traction ou en compression. Par exemple, sur la Fig. 1b, en lisant les lettres dans le sens horaire, nous voyons que la force ($af$) est dirigée vers le nœud de gauche et est donc une force de compression, tandis que la force $(fd)$ est dirigée loin du nœud et est donc une force de traction.

Sur la Fig. 2a sont représentés les diagrammes de forces complets pour chacun des nœuds du treillis montré sur la Fig. 1a. En examinant ces figures, on voit que de nombreuses lignes ont été répétées d'un diagramme à l'autre, de sorte que la construction pourrait être considérablement simplifiée si les diagrammes étaient combinés en un seul diagramme pour l'ensemble du treillis, comme montré sur la Fig. 2b. Le diagramme de forces combiné obtenu de cette manière est appelé le diagramme de Maxwell-Cremona¹ et de tels diagrammes sont fréquemment utilisés pour l'analyse des treillis. Il sera évident qu'un tel diagramme complet pourrait être tracé immédiatement pour tout treillis que la méthode des nœuds permet de résoudre. Comme deuxième exemple de l'apparence de ces diagrammes de Maxwell-Cremona, la Fig. 3 peut être consultée.

Il convient de noter qu'il n'est pas nécessaire, lors de la construction du diagramme de Maxwell-Cremona, de tracer le polygone des forces pour chaque nœud du treillis. Les points du diagramme peuvent tous être localisés en partant des points connus et en traçant des lignes parallèles aux barres du treillis passant par ces points connus. L'intersection de ces lignes déterminera les points inconnus.

6.9.1 PROBLÈMES