The Theorem of Moments

On peut démontrer que pour tout système de forces, le moment de la résultante par rapport à un point ou un axe quelconque est égal à la somme des moments des forces individuelles par rapport à ce point ou cet axe. Nous allons démontrer ce théorème pour le cas particulier de deux forces coplanaires et non parallèles.

Considérons les deux forces $F_{1}$ et $F_{2}$ représentées sur la Fig. 1, avec le point de concours $O$ et l'axe de moment $A$ . Prenons pour l'axe $y$ une droite passant par $O$ et $A$ . En écrivant les composantes le long de l'axe $x$ , on a : $R \cos γ = F_{1} \cos α + F_{2} \cos β$ Multiplions chaque terme par la distance $O A$ . $R (O A) \cos γ = F_{1} (O A) \cos α + F_{2} (O A) \cos β$ D'après la géométrie de la Fig. 1, on voit que : $(O A) \cos α = a (O A) \cos β = b (O A) \cos γ = c$ de sorte que : $R (c) = F_{1} (a) + F_{2} (b)$ Puisque $(F_{1}) (a)$ est le moment de $F_{1}$ par rapport à $A$ , $(F_{2}) (b)$ le moment de $F_{2}$ par rapport à $A$ , et $(R) (c)$ le moment de la résultante par rapport à $A$ , le théorème est démontré pour ce cas.

Si un vecteur moment $M$ est défini par rapport à un point $O$ , sa composante dans une direction quelconque $O D$ est le moment par rapport à la droite $O D$ . Sur la Fig. 2, en utilisant le théorème des moments, les composantes de $M$ le long des trois axes de coordonnées peuvent être déterminées en décomposant la force $F$ en ses composantes rectangulaires $F_{x}$ , $F_{y}$ et $F_{z}$ et en écrivant les sommes des moments de ces composantes par rapport aux axes de coordonnées. Ceci donne :

Les signes des termes ont été fixés par la définition du vecteur moment donnée précédemment. Si l'on regarde de l'origine vers l'extrémité positive des axes de coordonnées, une rotation dans le sens horaire correspond à un signe positif.

1.5.1 PROBLÈMES

1. Démontrer le théorème des moments pour un système de deux forces parallèles. Le diagramme de la Fig. 1 de Section : Systèmes de forces parallèles et les résultats de l'analyse qui l'accompagne peuvent être utilisés.

2. Calculer le moment de la force de 1000 lb par rapport au point $O$ , (a) en multipliant la force par la distance perpendiculaire de $O$ à la ligne d'action de la force, et (b) en décomposant la force en composantes rectangulaires au point $A$ , en utilisant le théorème des moments. (c) Répéter en décomposant la force en composantes aux points $B$ et $C$ .

réponse

$- 600 ft \cdot lb$

3. $F_{1}$ est parallèle à l'axe $y$ et $F_{2}$ est parallèle à l'axe $x$ et les lignes d'action des deux forces coupent l'axe $z$ à une distance $a$ du plan $x y$ . Montrer que si les deux vecteurs $M_{1}$ et $M_{2}$ représentant les moments de $F_{1}$ et $F_{2}$ par rapport à $O$ sont additionnés, le vecteur résultant $M$ représente correctement le moment de la résultante des deux forces par rapport au point $O$ .

4. Trouver le moment des trois forces représentées sur la figure par rapport à l'axe $O A$ . Pour cela, déterminer d'abord les composantes des moments le long des trois axes de coordonnées, puis additionner les composantes de ces composantes le long de la droite $O A$ .

réponse

$- 52.1 ft \cdot lb$

5. Des forces $P, Q,$ et $R$ sont appliquées le long des diagonales comme indiqué sur la figure. Si $2 P = 2 Q = R = 1000$ lb, quelle est la somme des moments par rapport à chaque axe de coordonnées ? Quel est le moment résultant par rapport à $O$ ?

réponse

$M = 1670 in \cdot lb$ , $M_{x} = - 1114 in \cdot lb$ ; $M_{y} = 568 in \cdot lb$ , $M_{z} = 1108 in \cdot lb$

6. Étant donné $F = 600$ lb, $F_{x} = M_{z} = 0$ . Le point 3, 4, 12 est un point de la ligne d'action de $F$ . Trouver $M_{y}$ et $M_{z}$ .

réponse

$M_{y} = - 1707 ft \cdot lb$ , $M_{z} = 570 ft \cdot lb$

7. Un système de forces planes présente : $\sum F_{x} = 100$ lb, $\sum F_{y} = - 160$ lb, $Σ M_{0} = 500 ft \cdot lb$ . Déterminer le point où la force résultante coupe l'axe $x$ .

réponse

$x = - 3.12$

8. Les composantes $x, y,$ et $z$ d'une force sont $- 20, 50$ et $25$ lb. Les moments sont $M_{x} = 400$ , $M_{y} = 180$ , $M_{z} = - 40 ft \cdot lb$ . Localiser le point d'intersection de la force avec le plan $x z$ .

réponse

$x = - 0.8$ ft, $z = - 8.0$ ft