Le moment d'une force

Revenant à notre considération du moment d'une force, et en se référant à la Fig. 1 (identique à la Fig. 1 de Section : La Définition d'un Moment), nous voyons maintenant que l'on peut écrire le vecteur moment comme : $𝐌 = 𝐫 \times 𝐅$

Par la définition du produit vectoriel, cet énoncé est équivalent à la définition d'un moment donnée précédemment. Le vecteur $𝐫$ relie le point par rapport auquel le moment doit être pris et un point quelconque sur la ligne d'action de la force.

Les composantes du vecteur $𝐌$ peuvent s'écrire comme suit : $𝐫 = x 𝐢 + y 𝐣 + z 𝐤$ $𝐅 = F_{x} 𝐢 + F_{y} 𝐣 + F_{z} 𝐤$ $𝐌 = 𝐫 \times 𝐅 = (y F_{z} - z F_{y}) 𝐢 + (z F_{x} - x F_{z}) 𝐣 + (x F_{y} - y F_{x}) 𝐤$ de sorte que les composantes de $𝐌$ sont : $M_{x} = y F_{z} - z F_{y}$ $M_{y} = z F_{x} - x F_{z}$ $M_{z} = x F_{y} - y F_{x}$

Ce sont, bien sûr, les mêmes expressions obtenues à partir de la Fig. 1. L'introduction du produit vectoriel rend possible une notation concise pour les vecteurs moments. Notez que la convention de signe pour les moments mentionnée précédemment est cohérente avec la convention de signe pour les produits vectoriels.

1.10.1 PROBLÈMES

1. Montrer que deux vecteurs $𝐚$ et $𝐛$ sont perpendiculaires si $𝐚 \cdot 𝐛 = 0$ . Quelle est la signification de $𝐚 \times 𝐛 = 0$ ?

2. Montrer que le produit scalaire et le produit vectoriel obéissent à la loi de distributivité de la multiplication ordinaire, c.-à-d., $(𝐚 + 𝐛) \cdot 𝐜 = 𝐚 \cdot 𝐜 + 𝐛 \cdot 𝐜$ $(𝐚 + 𝐛) \times 𝐜 = 𝐚 \times 𝐜 + 𝐛 \times 𝐜$

3. Étant donnés deux vecteurs $𝐚 = 3 𝐢 + 2 𝐣 + 5 𝐤$ $𝐛 = 2 𝐢 + 𝐣$

Trouver les vecteurs suivants : $𝐚 + 𝐛; 𝐚 - 𝐛; 𝐚 \cdot 𝐛; 𝐚 \times 𝐛$

réponse

$𝐚 + 𝐛 = 5 𝐢 + 3 𝐣 + 5 𝐤$

$𝐚 - 𝐛 = 𝐢 + 𝐣 + 5 𝐤$

$𝐚 \cdot 𝐛 = 8$

$𝐚 \times 𝐛 = - 5 𝐢 + 10 𝐣 - 𝐤$

4. Montrer que le produit vectoriel peut s'écrire comme $𝐚 \times 𝐛 = | \begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} |$

5. Étant donnés deux vecteurs $𝐚 = 3 𝐢 + 2 𝐣 + 𝐤$ $𝐛 = 𝐢 + 3 𝐣 + 2 𝐤$ Trouver l'angle entre ces vecteurs, en utilisant la définition d'un produit scalaire.

réponse

38° 11’

6. Trouver le moment par rapport au point $𝐢 + 3 𝐣 + 2 𝐤$ d'une force représentée par le vecteur du point $2 𝐢 + 𝐣 - 𝐤$ au point $2 𝐢 - 𝐤$ à une échelle de 10 lb par ft.

réponse

$- 10 𝐤 + 30 𝐢$

7. Un corps tourne autour d'un axe avec une vitesse angulaire de $ω$ radians par seconde. En notation vectorielle, $𝝎$ désigne la vitesse angulaire de magnitude $ω$ et de direction celle de l'axe de rotation donnée par la règle de la vis à droite. Si $𝐯$ est la vitesse linéaire d'un point $A$ dans le corps mentionné ci-dessus et $𝐫$ est le vecteur position du point $A$ par rapport à un point quelconque de l'axe de rotation, montrer que, $𝐯 = 𝝎 \times 𝐫$

8. Un corps tourne avec une vitesse angulaire de 2 radians par seconde autour d'un axe parallèle à $3 𝐣 - 4 𝐤$ passant par le point $2 𝐢 + 𝐤$ ft. En se référant au résultat du problème précédent, exprimer vectoriellement la vitesse du point $3 𝐢 + 2 𝐤$ ft.