Critères de plasticité des métaux ductiles

À l'heure actuelle, il existe deux théories généralement acceptées pour prédire l'apparition de la plasticité dans les métaux ductiles :

1. Théorie de la contrainte de cisaillement maximale ou critère de Tresca
2. Critère de von Mises ou critère de l'énergie de distorsion

1. Théorie de la contrainte de cisaillement maximale ou critère de Tresca

La théorie de la contrainte de cisaillement maximale, parfois appelée critère de Tresca, stipule que la plastification se produit lorsque la contrainte de cisaillement maximale atteint une valeur critique $k$. En termes de contraintes principales ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$, ${\sigma }_3$, on peut écrire :

Si ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge {\sigma }_3$, nous avons montré précédemment que la contrainte de cisaillement maximale est donnée par

Pour une traction uniaxiale ${\sigma }_1={\sigma }_{yp}$, ${\sigma }_2={\sigma }_3=0$, où ${\sigma }_{yp}$ est la limite d'élasticité en traction simple. Par conséquent, la contrainte de cisaillement à la limite élastique en traction simple ${\tau }_{yp}$ est égale à la moitié de la limite d'élasticité en traction.

En substituant ces valeurs dans l'équation de la contrainte de cisaillement maximale, on obtient

ou

Ceci est parfois écrit comme

où et sont les déviateurs des contraintes principales et $k$ est la limite d'élasticité en cisaillement pur, c'est-à-dire la contrainte à laquelle la plastification se produit en torsion, où ${\sigma }_1=-{\sigma }_3$.

La théorie de la contrainte de cisaillement maximale est en bon accord avec les résultats expérimentaux, étant légèrement du côté de la sécurité, et est largement utilisée par les concepteurs pour les métaux ductiles.

La condition de plasticité de Tresca est :

Cependant, dans certains problèmes de plasticité, cette forme simple ne peut pas être utilisée comme condition de plasticité car on ne sait pas laquelle des trois contraintes principales est la plus grande. Une fonction de charge correcte ne doit pas dépendre de l'étiquetage arbitraire "1, 2, 3".

L'énoncé réel de Tresca est :

Ainsi, au lieu de supposer un ordre particulier, nous devons écrire une forme qui traite symétriquement les trois différences.

Forme algébrique symétrique du critère de Tresca

Tresca exige que l'une (pas nécessairement toutes) des égalités suivantes soit vérifiée avec 2k :

Une manière compacte d'imposer la condition « au moins une de ces expressions est égale à 2k » est d'écrire

Cette expression est :

• symétrique par rapport aux contraintes principales,
• égale à zéro si une quelconque différence de paire satisfait $|{\sigma }_i-{\sigma }_j|=2k$.

Ainsi, (9) est une représentation analytique correcte de la condition de Tresca.

Forme invariante de Reuss

Pour écrire le critère de plasticité en termes d'invariants de contrainte, Reuss a transformé la forme symétrique (9) en une expression invariante impliquant les deuxième et troisième invariants du tenseur déviateur des contraintes :

• (deuxième invariant du déviateur des contraintes),
• (troisième invariant du déviateur des contraintes).

Reuss a montré que l'expression produit (9) est équivalente au polynôme :

Ceci est une forme entièrement invariante du critère de Tresca, valable sans supposer un ordre quelconque des contraintes principales. Évidemment, une relation aussi complexe conduit à des mathématiques très lourdes. C'est pour cette raison que le critère de plasticité discuté ensuite est préféré dans la plupart des travaux théoriques.

Problèmes de contrainte plane

Dans les problèmes de contrainte plane où σ₃ = 0, le critère de Tresca, qui stipule que la plastification commence lorsque la contrainte de cisaillement maximale atteint σ_yp/2, se simplifie en :

max {|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|}  =  σ_yp

Comme nous ne savons pas si σ₁ ou σ₂ est la contrainte principale la plus grande, cette expression prend des formes différentes dans les différents quadrants du plan σ₁–σ₂.

Quadrants I et III (mêmes signes)
Lorsque σ₁ et σ₂ ont le même signe, la différence |σ₁ – σ₂| est toujours plus petite que soit |σ₁|, soit |σ₂| (ou les deux). Par conséquent, dans les premier et troisième quadrants, l'expression max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} est égale soit à |σ₁|, soit à |σ₂|.

• Premier quadrant : Les deux contraintes sont positives. En dessous de la ligne σ₂ = σ₁ (où σ₁ > σ₂), le critère donne σ₁ = σ_yp. Au-dessus de cette bissectrice, on doit avoir σ₂ = σ_yp.
• Troisième quadrant : Les deux contraintes sont négatives. Par analogie, en dessous de la bissectrice (où la valeur absolue de σ₁ est plus grande), on doit avoir σ₁ = –σ_yp. Au-dessus de la bissectrice, on doit avoir σ₂ = –σ_yp.

Quadrants II et IV (signes opposés)
Lorsque les contraintes ont des signes opposés, le terme |σ₁ – σ₂| représente la somme des valeurs absolues, qui est plus grande que chaque valeur individuelle. Par conséquent, le terme de différence contrôle la plastification.

• Deuxième quadrant : σ₁ est négative et σ₂ est positive. Donc :
  max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} = |σ₁ – σ₂| = σ₂ – σ₁ = σ_yp
  Ceci décrit une droite reliant (–σ_yp, 0) à (0, σ_yp).

• Quatrième quadrant : σ₁ est positive et σ₂ est négative. Donc :
  max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} = |σ₁ – σ₂| = σ₁ – σ₂ = σ_yp
  Ceci décrit une droite reliant (σ_yp, 0) à (0, –σ_yp).

2. Théorie de von Mises, ou de l'énergie de distorsion

Dans la section précédente, nous avons expliqué que pour un matériau insensible à la pression hydrostatique, la surface de charge prend la forme

où $J_2$ et $J_3$ sont les deuxième et troisième invariants du déviateur des contraintes, $C$ est une constante du matériau. La forme la plus simple de l'équation ci-dessus est $J_2=C$, qui est souvent écrite comme

Le développement de ce critère de plasticité est associé aux noms de Von Mises, Hencky, Maxwell et Huber, et est maintenant souvent connu sous le nom de critère de von Mises. Von Mises a proposé ce critère sous la forme invariante donnée par l'équation ci-dessus principalement parce qu'elle était mathématiquement plus simple que la forme invariante de la théorie de la contrainte de cisaillement maximale donnée par l'équation (10). Des expériences ultérieures ont montré que l'équation (11) offre un meilleur accord global avec les données expérimentales de plasticité sous contraintes combinées que la théorie de la contrainte de cisaillement maximale.

À partir de l'essai de traction uniaxiale, ${\sigma }_1={\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}$, et $J_2=\frac{1}{3}{\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}^2$. Par conséquent, à partir de cet essai, la constante $k$ est déterminée comme

À partir d'un essai de cisaillement pur, $J_2={\tau }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}^2$, et ainsi

Par conséquent, en utilisant le critère de von Mises, nous impliquons que les limites d'élasticité en traction et en cisaillement d'un matériau ductile sont liées par ${\tau }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}={\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}/\sqrt{3}\approx 0.577{\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}$.

L'équation encadrée peut donc être écrite comme

• L'équation ci-dessus peut également être écrite comme

• Une manière équivalente d'exprimer ce critère est d'introduire la contrainte (équivalente) de von Mises, de sorte que la plastification se produit lorsque ${\sigma }_{\mathrm{v}}={\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}$. Ainsi, les conditions J₂ = k² et σ_v  =  σ_yp sont simplement deux formes différentes du même critère de plasticité.

Signification physique

Plusieurs tentatives ont été faites pour donner une signification physique au critère de von Mises. Un concept communément accepté est que ce critère exprime l'énergie de déformation de distorsion. Sur la base du concept d'énergie de distorsion, la plastification se produit lorsque l'énergie de déformation de distorsion par unité de volume dépasse l'énergie de déformation de distorsion par unité de volume pour une éprouvette déformée jusqu'à la limite d'élasticité en traction ou compression uniaxiale. La dérivation de l'équation (6) sur la base de l'énergie de distorsion est donnée ci-dessous. Une autre interprétation physique courante de l'équation (6) est qu'elle représente la valeur critique de la contrainte de cisaillement octaédrique (discutée plus tard).

L'énergie de déformation élastique totale par unité de volume ($U_0=\frac{1}{2}{\sigma }_{ij}{ϵ}_{ij}$) peut être divisée en deux composantes, l'énergie de déformation de distorsion, $U_d$, et l'énergie de déformation de changement de volume, $U_v$.

Nous commençons par décomposer les tenseurs de déformation et de contrainte en leurs composantes volumétrique (moyenne) et déviatorique :

où ${\delta }_{ij}$ est le tenseur de Kronecker (${\delta }_{ij}=0$ si $i\ne j$ et ${\delta }_{ij}=1$ si $i=j$).

La déformation et la contrainte moyennes (volumétriques) sont définies comme

et

avec sommation sur les indices répétés.

Parce que les traces des tenseurs déviatoriques sont nulles, nous avons

puisque la trace d'un tenseur déviatorique est nulle.

Rappelons que

où $G=\frac{E}{2(1+\nu )}$ est le module de cisaillement et

où $K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$ est le module de compressibilité.

Par conséquent,

et

Définissons

Donc $U_0=U_v+U_d$, et l'énergie de distorsion est associée purement au changement de forme, tandis que $U_v$​ est associée au changement de volume.

La théorie de l'énergie de distorsion maximale stipule que la plastification commence lorsque $U_d$ atteint une valeur critique $U_d^y$ égale à l'énergie de distorsion à la plasticité dans un essai uniaxial :

Par conséquent :

Problèmes de contrainte plane (von Mises)

De manière similaire au critère de Tresca, le critère de von Mises se simplifie significativement pour les cas de contrainte plane, où une contrainte principale est nulle (posons ${\sigma }_3=0$).

Nous partons du critère général de von Mises exprimé en termes de contraintes principales (Eq. 14) :

Élever au carré les deux membres donne une forme légèrement plus facile à manipuler :

En substituant la condition de contrainte plane ${\sigma }_3=0$ dans cette équation, on obtient :

Diviser l'équation entière par 2 donne l'équation gouvernant la plasticité de von Mises en contrainte plane :

C'est l'équation d'une ellipse dans le plan ${\sigma }_1$–${\sigma }_2$, avec son grand axe orienté à un angle de 45° par rapport aux axes ${\sigma }_1$ et ${\sigma }_2$.