Transformations auto-adjointes de rang un

Nous avons déjà vu ( Section : Transformations de rang un , Théorème 2) que toute transformation linéaire $A$ de rang $ρ$ est somme de $ρ$ transformations linéaires de rang un. Il est facile de voir (en utilisant le théorème spectral) que si $A$ est auto-adjointe, ou positive, alors les termes de la somme peuvent aussi être choisis auto-adjoints, ou positifs, respectivement. Nous savons ( Section : Transformations de rang un , Théorème 1) quelle doit être la matrice d'une transformation de rang un ; que pouvons-nous dire de plus si la transformation est auto-adjointe ou positive ?

Théorème 1. Si $A$ est de rang un et est auto-adjointe (ou positive), alors dans tout système de coordonnées orthonormales la matrice $(α_{i j})$ de $A$ est donnée par $α_{i j} = κ β_{i} {\bar{β}}_{j}$ avec un $κ$ réel (ou par $α_{i j} = γ_{i} {\bar{γ}}_{j}$ ). Si, réciproquement, $[A]$ a cette forme dans un certain système de coordonnées orthonormales, alors $A$ est de rang un et est auto-adjointe (ou positive).

Démonstration. Nous savons que la matrice $(α_{i j})$ d'une transformation $A$ de rang un, dans tout système de coordonnées orthonormales $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ , est donnée par $α_{i j} = β_{i} γ_{j}$ . Si $A$ est auto-adjointe, on doit aussi avoir $α_{i j} = {\bar{α}}_{j i}$ , d'où $β_{i} γ_{j} = \overset{―}{β_{j} γ_{i}}$ . Si $β_{i} = 0$ et $γ_{i} \neq 0$ pour un certain $i$ , alors ${\bar{β}}_{j} = β_{i} γ_{j} / {\bar{γ}}_{i} = 0$ pour tout $j$ , d'où $A = 0$ . Puisque nous avons supposé que le rang de $A$ est un (et non pas zéro), ceci est impossible. De même, $β_{i} \neq 0$ et $γ_{i} = 0$ est impossible ; c'est-à-dire que nous pouvons trouver un $i$ pour lequel $β_{i} γ_{i} \neq 0$ . En utilisant ce $i$ , nous avons ${\bar{β}}_{j} = (β_{i} / {\bar{γ}}_{i}) γ_{j} = κ γ_{j}$ avec une certaine constante non nulle $κ$ , indépendante de $j$ . Puisque les éléments diagonaux $α_{j j} = (A x_{j}, x_{j}) = β_{j} γ_{j}$ d'une matrice auto-adjointe sont réels, nous pouvons même conclure que $α_{i j} = κ β_{i} {\bar{β}}_{j}$ avec un $κ$ réel.

Si, de plus, $A$ est positive, alors nous savons même que $κ β_{j} {\bar{β}}_{j} = α_{j j} = (A x_{j}, x_{j})$ est positif, et donc $κ$ l'est aussi. Dans ce cas, nous écrivons $λ = \sqrt{κ}$ ; la relation $κ β_{i} {\bar{β}}_{j} = (λ β_{i}) (λ {\bar{β}}_{j})$ montre que $α_{i j}$ est donnée par $α_{i j} = γ_{i} {\bar{γ}}_{j}$ .

Il est facile de voir que ces conditions nécessaires sont également suffisantes. Si $α_{i j} = κ β_{i} {\bar{β}}_{j}$ avec un $κ$ réel, alors $A$ est auto-adjointe. Si $α_{i j} = γ_{i} {\bar{γ}}_{j}$ , et $x = \sum_{i} ξ_{i} x_{i}$ , alors de sorte que $A$ est positive. ◻

Comme conséquence du Théorème 1, il est très facile de démontrer un théorème remarquable sur les matrices positives.

Théorème 2. Si $A$ et $B$ sont des transformations linéaires positives dont les matrices dans un certain système de coordonnées orthonormales sont respectivement $(α_{i j})$ et $(β_{i j})$ , alors la transformation linéaire $C$ , dont la matrice $(γ_{i j})$ dans le même système de coordonnées est donnée par $γ_{i j} = α_{i j} β_{i j}$ pour tout $i$ et $j$ , est également positive.

Démonstration. Puisque nous pouvons écrire à la fois $A$ et $B$ comme sommes de transformations positives de rang un, de sorte que $α_{i j} = \sum_{p} α_{i}^{p} {\bar{α}}_{j}^{p}$ et $β_{i j} = \sum_{q} β_{i}^{q} {\bar{β}}_{j}^{q},$ il s'ensuit que $γ_{i j} = \sum_{p} \sum_{q} α_{i}^{p} β_{i}^{q} \overset{―}{(α_{j}^{p} β_{j}^{q})} .$ (Les exposants ici ne sont pas des puissances.) Puisqu'une somme de matrices positives est positive, il suffira de prouver que, pour chaque $p$ et $q$ fixés, la matrice $((α_{i}^{p} β_{i}^{q}) \overset{―}{(α_{j}^{p} β_{j}^{q})})$ est positive, et cela découle du Théorème 1. ◻

La démonstration montre, d'ailleurs, que le Théorème 2 reste valable si l'on remplace « positive » par « auto-adjointe » à la fois dans l'hypothèse et la conclusion ; dans la plupart des applications, cependant, seule la version énoncée est utile. La matrice $(γ_{i j})$ décrite dans le Théorème 2 est appelée le produit de Hadamard de $(α_{i j})$ et $(β_{i j})$ .

EXERCICES

Exercice 1. Soit $𝒰$ et $𝒱$ des espaces de produit scalaire de dimension finie (tous deux réels ou tous deux complexes).

Il existe un unique produit scalaire sur l'espace vectoriel de toutes les formes bilinéaires sur $𝒰 \oplus 𝒱$ tel que si $w_{1} (x, y) = (x, x_{1}) (y, y_{1})$ et $w_{2} (x, y) = (x, x_{2}) (y, y_{2})$ , alors $(w_{1}, w_{2}) = (x_{2}, x_{1}) (y_{2}, y_{1})$ .
Il existe un unique produit scalaire sur le produit tensoriel $𝒰 \otimes 𝒱$ tel que si $z_{1} = x_{1} \otimes y_{1}$ et $z_{2} = x_{2} \otimes y_{2}$ , alors $(z_{1}, z_{2}) = (x_{1}, x_{2}) (y_{1}, y_{2})$ .
Si ${x_{i}}$ et ${y_{p}}$ sont des bases orthonormales dans $𝒰$ et $𝒱$ , respectivement, alors les vecteurs $x_{i} \otimes y_{p}$ forment une base orthonormale dans $𝒰 \otimes 𝒱$ .

Exercice 2. Le produit tensoriel de deux transformations hermitiennes est-il nécessairement hermitien ? Qu'en est-il des transformations unitaires ? Des transformations normales ?