معیارهای تسلیم برای فلزات شکل‌پذیر

در حال حاضر، دو نظریه عمومی پذیرفته‌شده برای پیش‌بینی شروع تسلیم در فلزات شکل‌پذیر وجود دارد:

نظریه ماکزیمم تنش برشی یا معیار ترسکا
معیار فون میزس یا معیار انرژی اعوجاجی

۱. نظریه ماکزیمم تنش برشی یا معیار ترسکا

نظریه ماکزیمم تنش برشی که گاهی معیار تسلیم ترسکا نامیده می‌شود، بیان می‌کند که تسلیم زمانی رخ می‌دهد که ماکزیمم تنش برشی به یک مقدار بحرانی $k$ برسد. بر اساس تنش‌های اصلی $σ_{1}$ , $σ_{2}$ , $σ_{3}$ می‌توان نوشت:

اگر $σ_{1} \geq σ_{2} \geq σ_{3}$ ، ما قبلاً نشان دادیم که ماکزیمم تنش برشی به‌صورت زیر داده می‌شود

برای کشش تک‌محوره $σ_{1} = σ_{y p}$ ، $σ_{2} = σ_{3} = 0$ که $σ_{y p}$ استحکام تسلیم در کشش ساده است. بنابراین، تنش تسلیم برشی برای کشش ساده $τ_{y p}$ معادل نصف تنش تسلیم کششی است.

با جایگذاری این مقادیر در معادله ماکزیمم تنش برشی، داریم

یا

گاهی این معادله به‌صورت زیر نوشته می‌شود

که و انحرافی‌های تنش‌های اصلی هستند و $k$ تنش تسلیم برای برش خالص است، یعنی تنشی که در آن تسلیم در پیچش رخ می‌دهد، جایی که $σ_{1} = - σ_{3}$ است.

نظریه ماکزیمم تنش برشی تطابق خوبی با نتایج تجربی دارد و اندکی محافظه‌کارانه است و توسط طراحان برای فلزات شکل‌پذیر به‌طور گسترده استفاده می‌شود.

شرط تسلیم ترسکا عبارت است از:

با این حال، در برخی مسائل پلاستیسیته این شکل ساده نمی‌تواند به‌عنوان شرط تسلیم استفاده شود زیرا معلوم نیست کدام یک از سه تنش اصلی بزرگترین است. یک تابع تسلیم مناسب نباید به برچسب‌گذاری دلخواه "1, 2, 3" وابسته باشد.

بیان واقعی ترسکا به این صورت است:

 تسلیم زمانی شروع می‌شود که هر یک از اختلاف تنش‌های برشی 
  |
  
    σ
    1
  
  −
  
    σ
    2
  
  |
  ,
   
  |
  
    σ
    2
  
  −
  
    σ
    3
  
  |
  ,
   
  |
  
    σ
    3
  
  −
  
    σ
    1
  
  |
 به مقدار 2k برسد.
 

بنابراین، به‌جای فرض یک ترتیب خاص، باید شکلی بنویسیم که با هر سه اختلاف به‌صورت متقارن برخورد کند.

شکل جبری متقارن معیار ترسکا

ترسکا ایجاب می‌کند که یکی (نه لزوماً همه) از عبارات زیر معادل 2k باشد:

یک روش فشرده برای اعمال شرط «حداقل یکی از اینها برابر 2k باشد» نوشتن عبارت زیر است

این عبارت:

نسبت به تنش‌های اصلی متقارن است،
اگر هر اختلاف زوجی شرط $| σ_{i} - σ_{j} | = 2 k$ را ارضا کند، برابر با صفر می‌شود.

بنابراین، (9) یک نمایش تحلیلی مناسب از شرط ترسکا است.

شکل ناوردای روئس

برای نوشتن معیار تسلیم بر اساس ناورداهای تنش، روئس شکل متقارن (9) را به یک عبارت ناوردا شامل دومین و سومین ناوردای تانسور تنش انحرافی تبدیل کرد:

(دومین ناوردای تنش انحرافی)،
(سومین ناوردای تنش انحرافی).

روئس نشان داد که عبارت حاصل‌ضربی (9) معادل با چندجمله‌ای زیر است:

این یک شکل کاملاً ناوردا از معیار ترسکا است که بدون فرض هیچ ترتیبی برای تنش‌های اصلی معتبر است. بدیهی است که چنین رابطه پیچیده‌ای منجر به ریاضیات بسیار دشواری می‌شود. به همین دلیل است که معیار تسلیم بعدی که بحث می‌شود در اکثر کارهای نظری ترجیح داده می‌شود.

مسائل تنش صفحه‌ای

در مسائل تنش صفحه‌ای که σ₃ = 0 است، معیار ترسکا که می‌گوید تسلیم زمانی شروع می‌شود که ماکزیمم تنش برشی به σ_yp/2 برسد، به این صورت ساده می‌شود:

max {|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} = σ_yp

از آنجایی که نمی‌دانیم σ₁ یا σ₂ بزرگترین تنش اصلی است، این عبارت در ربع‌های مختلف صفحه σ₁–σ₂ شکل‌های متفاوتی به خود می‌گیرد.

ربع‌های I و III (علامت‌های یکسان)
زمانی که σ₁ و σ₂ علامت یکسانی دارند، اختلاف |σ₁ – σ₂| همیشه کوچکتر از هر یک از |σ₁| یا |σ₂| (یا هر دو) است. بنابراین، در ربع‌های اول و سوم، عبارت max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} با |σ₁| یا |σ₂| برابر است.

ربع اول: هر دو تنش مثبت هستند. زیر خط σ₂ = σ₁ (جایی که σ₁ > σ₂)، معیار نتیجه می‌دهد σ₁ = σ_yp. بالای این خط نیمساز، باید داشته باشیم σ₂ = σ_yp.
ربع سوم: هر دو تنش منفی هستند. با همان قیاس، زیر خط نیمساز (جایی که اندازه σ₁ بزرگتر است)، باید داشته باشیم σ₁ = –σ_yp. بالای نیمساز، باید داشته باشیم σ₂ = –σ_yp.

ربع‌های II و IV (علامت‌های مخالف)
زمانی که تنش‌ها علامت‌های مخالف دارند، عبارت |σ₁ – σ₂| مجموع قدرمطلق‌ها را نشان می‌دهد که از اندازه هر یک به‌تنهایی بزرگتر است. بنابراین، جمله اختلافی کنترل‌کننده تسلیم است.

ربع دوم: σ₁ منفی و σ₂ مثبت است. بنابراین:
max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} = |σ₁ – σ₂| = σ₂ – σ₁ = σ_yp
این خطی را توصیف می‌کند که (–σ_yp, 0) را به (0, σ_yp) متصل می‌کند.
ربع چهارم: σ₁ مثبت و σ₂ منفی است. بنابراین:
max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} = |σ₁ – σ₂| = σ₁ – σ₂ = σ_yp
این خطی را توصیف می‌کند که (σ_yp, 0) را به (0, –σ_yp) متصل می‌کند.

سطح تسلیم ترسکا برای تنش صفحه‌ای — شش‌ضلعی تسلیم ترسکا در صفحه تنش صفحه‌ای (σ1-σ2).

۲. نظریه فون میزس یا انرژی اعوجاجی

در بخش قبل توضیح دادیم که برای ماده‌ای که نسبت به فشار هیدرواستاتیک حساس نیست، معیار تسلیم به شکل زیر درمی‌آید

f (J_{2}, J_{3}) = C,

که $J_{2}$ و $J_{3}$ دومین و سومین ناورداهای انحراف‌دهنده تنش هستند و $C$ یک ثابت ماده است. ساده‌ترین شکل معادله فوق $J_{2} = C$ است که اغلب به‌صورت زیر نوشته می‌شود

توسعه این معیار تسلیم با نام‌های فون میزس، هنکی، ماکسول و هوبر گره خورده است و اکنون اغلب به‌عنوان معیار فون میزس شناخته می‌شود. فون میزس این معیار را به شکل ناوردای ارائه شده در معادله فوق عمدتاً به این دلیل پیشنهاد کرد که از نظر ریاضی ساده‌تر از شکل ناوردای نظریه ماکزیمم تنش برشی داده شده در معادله (10) بود. آزمایش‌های بعدی نشان دادند که معادله (11) تطابق کلی بهتری با داده‌های تسلیم تحت تنش‌های ترکیبی نسبت به نظریه ماکزیمم تنش برشی فراهم می‌کند.

از آزمون کشش تک‌محوره، $σ_{1} = σ_{y p}$ و $J_{2} = \frac{1}{3} σ_{y p}^{2}$ . بنابراین، از این آزمون، ثابت $k$ به‌صورت زیر تعیین می‌شود

از یک آزمون برش خالص، $J_{2} = τ_{y p}^{2}$ و در نتیجه

k = τ_{y p} .

بنابراین، با استفاده از معیار فون میزس، نتیجه می‌گیریم که استحکام‌های تسلیم کششی و برشی یک ماده شکل‌پذیر از طریق $τ_{y p} = σ_{y p} / \sqrt{3} \approx 0.577 σ_{y p}$ مرتبط هستند.

معادله داخل کادر را می‌توان به‌صورت زیر هم نوشت

معادله فوق را می‌توان به‌صورت زیر نیز نوشت
یک روش معادل برای بیان این معیار، معرفی تنش فون میزس (معادل) است: بنابراین تسلیم زمانی رخ می‌دهد که $σ_{v} = σ_{y p}$ . بنابراین، شرایط J₂ = k² و σ_v = σ_yp صرفاً دو شکل متفاوت از یک معیار تسلیم هستند.

معنای فیزیکی

تلاش‌های متعددی برای ارائه معنای فیزیکی به معیار تسلیم فون میزس صورت گرفته است. یک مفهوم رایج پذیرفته‌شده این است که این معیار تسلیم انرژی کرنشی اعوجاج را بیان می‌کند. بر اساس مفهوم انرژی اعوجاجی، تسلیم زمانی رخ می‌دهد که انرژی کرنشی اعوجاج در واحد حجم از انرژی کرنشی اعوجاج در واحد حجم برای نمونه‌ای که تا تنش تسلیم در کشش یا فشار تک‌محوره تحت کرنش قرار گرفته است، فراتر رود. استخراج معادله (6) بر اساس انرژی اعوجاجی در ادامه آمده است. تفسیر فیزیکی رایج دیگر از معادله (6) این است که آن مقدار بحرانی تنش برشی هشت‌وجهی را نشان می‌دهد (که بعداً بحث خواهد شد).

انرژی کرنشی الاستیک کل در واحد حجم ( $U_{0} = \frac{1}{2} σ_{i j} ϵ_{i j}$ ) می‌تواند به دو مؤلفه تقسیم شود: انرژی کرنشی اعوجاج $U_{d}$ و انرژی کرنشی تغییر حجم $U_{v}$ .

ما با تجزیه تانسورهای کرنش و تنش به مؤلفه‌های حجمی (میانگین) و انحرافی شروع می‌کنیم:

که $δ_{i j}$ تانسور کرونکر است ( $δ_{i j} = 0$ اگر $i \neq j$ و $δ_{i j} = 1$ اگر $i = j$ ).

کرنش و تنش میانگین (حجمی) به‌صورت زیر تعریف می‌شوند

ϵ_{m} = \frac{ϵ_{k k}}{3} = \frac{ϵ_{x x} + ϵ_{y y} + ϵ_{z z}}{3},

σ_{m} = \frac{σ_{k k}}{3} = \frac{σ_{x x} + σ_{y y} + σ_{z z}}{3},

که در آن بر روی اندیس‌های تکراری جمع بسته می‌شود.

از آنجایی که اثر (تریس) تانسورهای انحرافی صفر است، داریم

جمع روی

چرا که اثر یک تانسور انحرافی صفر است.

به‌یاد آورید که

که $G = \frac{E}{2 (1 + ν)}$ مدول برشی است و

ϵ_{k k} = \frac{1}{E} (1 - 2 ν) (σ_{x x} + σ_{y y} + σ_{z z}) \Rightarrow ϵ_{m} = \frac{σ_{m}}{3 K},

که $K = \frac{E}{3 (1 - 2 ν)}$ مدول حجمی است.

بنابراین،

اجازه دهید تعریف کنیم

بنابراین $U_{0} = U_{v} + U_{d}$ و انرژی اعوجاجی کاملاً با تغییر شکل مرتبط است، در حالی که $U_{v}$ با تغییر حجم مرتبط است.

حداکثر انرژی اعوجاجی بیان می‌کند که تسلیم زمانی شروع می‌شود که $U_{d}$ به یک مقدار بحرانی $U_{d}^{y}$ برسد که برابر با انرژی اعوجاجی در لحظه تسلیم در یک آزمون تک‌محوره است:

بنابراین:

معیار فون میزس J₂ = k² دقیقاً معادل با معیار «انرژی اعوجاجی به یک مقدار بحرانی می‌رسد» برای الاستیسیته خطی همسانگرد است.

مسائل تنش صفحه‌ای (فون میزس)

مشابه معیار ترسکا، معیار فون میزس برای موارد تنش صفحه‌ای که یکی از تنش‌های اصلی صفر است (فرض کنید $σ_{3} = 0$ )، به‌طور قابل‌توجهی ساده می‌شود.

ما با شکل کلی معیار فون میزس که براساس تنش‌های اصلی بیان شده است شروع می‌کنیم (معادله 14):

σ_{y p} = \frac{1}{\sqrt{2}} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2} + (σ_{3} - σ_{1})^{2}]^{1 / 2}

با به توان دو رساندن هر دو طرف، شکل ساده‌تری برای کار کردن به‌دست می‌آید:

2 σ_{y p}^{2} = (σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2} + (σ_{3} - σ_{1})^{2}

با جایگذاری شرط تنش صفحه‌ای $σ_{3} = 0$ در این معادله، داریم:

تقسیم کل معادله بر ۲ به معادله حاکم برای تسلیم فون میزس تحت تنش صفحه‌ای منجر می‌شود:

این معادله یک بیضی در صفحه $σ_{1}$ – $σ_{2}$ است که محور بزرگ آن با زاویه ۴۵ درجه نسبت به محورهای $σ_{1}$ و $σ_{2}$ قرار دارد.

بیضی فون میزس برای تنش صفحه‌ای — بیضی تسلیم فون میزس در صفحه تنش صفحه‌ای (σ1-σ2).