گشتاور نیر

با بازگشت به بررسی گشتاور نیرو و با مراجعه به شکل ۱ (همان شکل ۱ از بخش: تعریف گشتاور)، اکنون می‌بینیم که می‌توانیم بردار گشتاور را به صورت زیر بنویسیم: $𝐌 = 𝐫 \times 𝐅$

طبق تعریف ضرب خارجی، این عبارت معادل تعریف گشتاوری است که قبلاً ارائه شد. بردار $𝐫$ نقطه‌ای که گشتاور حول آن محاسبه می‌شود را به هر نقطه‌ای روی خط اثر نیرو متصل می‌کند.

مؤلفه‌های بردار $𝐌$ را می‌توان به صورت زیر نوشت: $𝐫 = x 𝐢 + y 𝐣 + z 𝐤$ $𝐅 = F_{x} 𝐢 + F_{y} 𝐣 + F_{z} 𝐤$ $𝐌 = 𝐫 \times 𝐅 = (y F_{z} - z F_{y}) 𝐢 + (z F_{x} - x F_{z}) 𝐣 + (x F_{y} - y F_{x}) 𝐤$ بنابراین مؤلفه‌های $𝐌$ عبارتند از: $M_{x} = y F_{z} - z F_{y}$ $M_{y} = z F_{x} - x F_{z}$ $M_{z} = x F_{y} - y F_{x}$

البته این‌ها همان عباراتی هستند که از شکل ۱ به دست می‌آیند. معرفی ضرب خارجی امکان استفاده از نمادی فشرده برای بردارهای گشتاور را فراهم می‌کند. توجه کنید که قرارداد علامت برای گشتاورها که قبلاً ذکر شد، با قرارداد علامت برای ضرب خارجی سازگار است.

1.10.1 مسائل

1. نشان دهید که دو بردار $𝐚$ و $𝐛$ عمودند اگر $𝐚 \cdot 𝐛 = 0$ . اهمیت $𝐚 \times 𝐛 = 0$ چیست؟

2. نشان دهید که هر دو ضرب داخلی و ضرب خارجی از قانون توزیع‌پذیری ضرب معمولی پیروی می‌کنند، به عبارت دیگر، $(𝐚 + 𝐛) \cdot 𝐜 = 𝐚 \cdot 𝐜 + 𝐛 \cdot 𝐜$ $(𝐚 + 𝐛) \times 𝐜 = 𝐚 \times 𝐜 + 𝐛 \times 𝐜$

3. با داشتن دو بردار $𝐚 = 3 𝐢 + 2 𝐣 + 5 𝐤$ $𝐛 = 2 𝐢 + 𝐣$

بردارهای زیر را بیابید: $𝐚 + 𝐛; 𝐚 - 𝐛; 𝐚 \cdot 𝐛; 𝐚 \times 𝐛$

پاسخ

$𝐚 + 𝐛 = 5 𝐢 + 3 𝐣 + 5 𝐤$

$𝐚 - 𝐛 = 𝐢 + 𝐣 + 5 𝐤$

$𝐚 \cdot 𝐛 = 8$

$𝐚 \times 𝐛 = - 5 𝐢 + 10 𝐣 - 𝐤$

4. نشان دهید که ضرب خارجی را می‌توان به صورت زیر نوشت $𝐚 \times 𝐛 = | \begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} |$

5. با داشتن دو بردار $𝐚 = 3 𝐢 + 2 𝐣 + 𝐤$ $𝐛 = 𝐢 + 3 𝐣 + 2 𝐤$ با استفاده از تعریف ضرب داخلی، زاویه بین این دو بردار را بیابید.

پاسخ

38° 11’

6. گشتاور حول نقطه $𝐢 + 3 𝐣 + 2 𝐤$ ناشی از نیرویی که با بردار از نقطه $2 𝐢 + 𝐣 - 𝐤$ به نقطه $2 𝐢 - 𝐤$ نمایش داده می‌شود را در مقیاس ۱۰ پوند بر فوت بیابید.

پاسخ

$- 10 𝐤 + 30 𝐢$

7. جسمی حول یک محور با سرعت زاویه‌ای $ω$ رادیان بر ثانیه می‌چرخد. در نمادبرداری، $𝝎$ نشان‌دهنده سرعت زاویه‌ای با اندازه $ω$ و با جهت محور چرخش است که توسط قاعده دست راست (پیچ راستگرد) تعیین می‌شود. اگر $𝐯$ سرعت خطی نقطه $A$ در جسم مذکور و $𝐫$ بردار موقعیت نقطه $A$ نسبت به هر نقطه‌ای روی محور چرخش باشد، نشان دهید که، $𝐯 = 𝝎 \times 𝐫$

8. جسمی با سرعت زاویه‌ای ۲ رادیان بر ثانیه حول محوری موازی با $3 𝐣 - 4 𝐤$ که از نقطه $2 𝐢 + 𝐤$ فوت می‌گذرد، می‌چرخد. با اشاره به نتیجه مسئله قبلی، سرعت نقطه $3 𝐢 + 2 𝐤$ فوت را به صورت برداری بیان کنید.