قضیهٔ ممان‌ها

می‌توان نشان داد که برای هر سیستم نیرویی، گشتاور برآیند حول هر نقطه یا محور برابر است با مجموع گشتاورهای نیروهای منفرد حول همان نقطه یا محور. ما این قضیه را برای حالت خاص دو نیروی هم‌صفحه و غیرموازی اثبات خواهیم کرد.

دو نیروی $F_{1}$ و $F_{2}$ نشان‌داده‌شده در شکل ۱ را با نقطه هم‌رس $O$ و محور گشتاور $A$ در نظر بگیرید. برای محور $y$ خطی را که از $O$ و $A$ می‌گذرد انتخاب کنید. با نوشتن مؤلفه‌ها در امتداد محور $x$ ، داریم: $R \cos γ = F_{1} \cos α + F_{2} \cos β$ هر جمله را در فاصله $O A$ ضرب کنید. $R (O A) \cos γ = F_{1} (O A) \cos α + F_{2} (O A) \cos β$ از هندسه شکل ۱ دیده می‌شود که: $(O A) \cos α = a (O A) \cos β = b (O A) \cos γ = c$ به طوری که: $R (c) = F_{1} (a) + F_{2} (b)$ از آنجا که $(F_{1}) (a)$ گشتاور $F_{1}$ حول $A$ ، $(F_{2}) (b)$ گشتاور $F_{2}$ حول $A$ و $(R) (c)$ گشتاور برآیند حول $A$ است، قضیه برای این حالت اثبات می‌شود.

اگر بردار گشتاور $M$ نسبت به نقطه $O$ تعریف شود، آن گاه مؤلفه آن در هر جهت $O D$ گشتاور حول خط $O D$ است. در شکل ۲، با استفاده از قضیه گشتاورها، مؤلفه‌های $M$ در امتداد سه محور مختصات را می‌توان با تجزیه نیروی $F$ به مؤلفه‌های مستطیلی $F_{x}$ ، $F_{y}$ و $F_{z}$ و نوشتن مجموع گشتاورهای این مؤلفه‌ها حول محورهای مختصات تعیین کرد. این چنین به دست می‌آید:

علامت‌های جمله‌ها با تعریف بردار گشتاور که پیش‌تر ارائه شد، تعیین شده‌اند. اگر از مبدأ به سوی انتهای مثبت محورهای مختصات نگاه کنیم، چرخش ساعت‌گرد به معنای علامت مثبت است.

1.5.1 مسائل

۱. قضیه گشتاورها را برای یک سیستم دو نیروی موازی اثبات کنید. می‌توان از نمودار شکل ۱ بخش: سیستم‌های نیروهای موازی و نتایج تحلیل همراه آن استفاده کرد.

۲. گشتاور نیروی ۱۰۰۰ پوندی را حول نقطه $O$ محاسبه کنید، (الف) با ضرب نیرو در فاصله عمودی از $O$ تا خط اثر نیرو، و (ب) با تجزیه نیرو به مؤلفه‌های مستطیلی در نقطه $A$ ، با استفاده از قضیه گشتاورها. (ج) با تجزیه نیرو به مؤلفه‌ها در نقاط $B$ و $C$ این کار را تکرار کنید.

پاسخ

$- 600 ft \cdot lb$

۳. $F_{1}$ موازی با محور $y$ و $F_{2}$ موازی با محور $x$ است و خطوط اثر دو نیرو محور $z$ را در فاصله $a$ از صفحه $x y$ قطع می‌کنند. نشان دهید که اگر دو بردار $M_{1}$ و $M_{2}$ که نمایش‌دهنده گشتاورهای $F_{1}$ و $F_{2}$ حول $O$ هستند با هم جمع شوند، بردار برآیند $M$ به درستی گشتاور برآیند دو نیرو حول نقطه $O$ را نشان می‌دهد.

۴. گشتاور سه نیروی نشان‌داده‌شده در شکل حول محور $O A$ را بیابید. این کار را با یافتن ابتدای مؤلفه‌های گشتاورها در امتداد سه محور مختصات و سپس با جمع مؤلفه‌های این مؤلفه‌ها در امتداد خط $O A$ انجام دهید.

پاسخ

$- 52.1 ft \cdot lb$

۵. نیروهای $P, Q,$ و $R$ همان‌گونه که در شکل نشان داده شده است در امتداد قطرها اعمال می‌شوند. اگر $2 P = 2 Q = R = 1000$ پوند باشد، مجموع گشتاور حول هر محور مختصات چقدر است؟ گشتاور برآیند حول $O$ چقدر است؟

پاسخ

$M = 1670 in \cdot lb$ , $M_{x} = - 1114 in \cdot lb$ ; $M_{y} = 568 in \cdot lb$ , $M_{z} = 1108 in \cdot lb$

۶. با فرض $F = 600$ پوند، $F_{x} = M_{z} = 0$ . نقطه ۳, ۴, ۱۲ نقطه‌ای روی خط اثر $F$ است. $M_{y}$ و $M_{z}$ را بیابید.

پاسخ

$M_{y} = - 1707 ft \cdot lb$ , $M_{z} = 570 ft \cdot lb$

۷. یک سیستم نیروی صفحه‌ای دارای مقادیر زیر است: $\sum F_{x} = 100$ پوند، $\sum F_{y} = - 160$ پوند، $Σ M_{0} = 500 ft \cdot lb$ . نقطه‌ای را که نیروی برآیند محور $x$ را قطع می‌کند تعیین کنید.

پاسخ

$x = - 3.12$

۸. مؤلفه‌های $x, y,$ و $z$ یک نیرو برابر $- 20, 50$ و $25$ پوند هستند. گشتاورها $M_{x} = 400$ ، $M_{y} = 180$ ، $M_{z} = - 40 ft \cdot lb$ می‌باشند. نقطه تقاطع نیرو با صفحه $x z$ را پیدا کنید.

پاسخ

$x = - 0.8$ ft, $z = - 8.0$ ft