عمومیت اصل جابجایی‌های مجازی

از مثال‌های بخش قبلی دیده می‌شود که مزیت اصل جابجایی مجازی در دید کلی است که از روابط نیروهای خارجی یک سیستم به ما می‌دهد. این اصل در بسیاری از موارد ما را قادر می‌سازد تا بدون داشتن دانش کامل از جزئیات آرایش، به نتایج معین درباره نیروهای خارجی وارد بر سازه‌ها یا ماشین‌ها برسیم. برای مثال، فرض کنید جعبه‌ای داریم با دو اهرم بیرون‌آمده، همان‌طور که در شکل ۱ نشان داده شده است.

ما دو نیروی عمودی به اهرم‌ها وارد می‌کنیم همان‌طور که در شکل ۱ نشان داده شده است، و می‌خواهیم رابطه بین نیروها در حالت تعادل را بدانیم. اگر به‌طور تجربی بیابیم که یک جابجایی رو به پایین اهرم سمت چپ به اندازه $δ y_{1}$ منجر به جابجایی رو به بالای اهرم سمت راست به اندازه $δ y_{2}$ می‌شود، می‌توانیم بلافاصله بنویسیم $F_{1} δ y_{1} - F_{2} δ y_{2} = 0; \frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{δ y_{2}}{δ y_{1}}$

بنابراین می‌توانیم رابطه بین نیروهای خارجی را در حالی که از جزئیات آرایش داخل جعبه کاملاً بی‌اطلاع هستیم، بیابیم.

3.4.1 مسائل

1. دو وزنه بر روی سطوح شیب‌دار بدون اصطکاک همان‌طور که در شکل نشان داده شده است قرار دارند. آن‌ها توسط یک طناب کاملاً انعطاف‌پذیر و غیرقابل کشش که از روی یک قرقره بدون اصطکاک عبور می‌کند به هم متصل شده‌اند. اگر $W_{2}$ وزنش $150 lb$ باشد، با استفاده از اصل جابجایی‌های مجازی، مقدار $W_{1}$ را برای تعادل سیستم بیابید. به عنوان مقایسه دو روش، این مسئله را با نوشتن معادلات تعادل معمولی بررسی کنید.

پاسخ

212 lb

2. نشان دهید که یک ترازوی ساخته شده همان‌طور که در شکل نشان داده شده است (ترازوی روبروال) وزن صحیح را مستقل از موقعیت وزنه‌ها روی کفه‌های ترازو نشان می‌دهد.

3. یک ترازوی سکویی باید طوری طراحی شود که یک وزنه $W$ بتواند توسط وزنه $W_{b}$ در تعادل نگه داشته شود. ترازو چگونه باید ساخته شود تا خوانش‌ها مستقل از موقعیت $x$ وزنه روی سکو باشد؟

پاسخ

$\frac{A B}{A C} = \frac{H E}{H D}$

4. دو وزنه بر روی طناب‌های غیرقابل کشش همان‌طور که در نمودار نشان داده شده است آویزان شده‌اند. زاویه $α$ برای تعادل چقدر است؟

پاسخ

$α = \cos^{- 1} (\frac{1}{4})$

5. یک میله یکنواخت با وزن $W$ بر روی دو سطح شیب‌دار بدون اصطکاک همان‌طور که در نمودار نشان داده شده است قرار دارد. نشان دهید که موقعیت تعادل میله به گونه‌ای است که یک جابجایی مجازی باعث می‌شود مرکز ثقل میله به‌طور افقی حرکت کند، و زاویه $α$ را برای موقعیت تعادل بیابید.

پاسخ

$- 30^{\circ}$

6. نیروی $F$ لازم برای نگه‌داشتن وزنه $W$ در تعادل را با استفاده از آرایش قرقره دیفرانسیلی که در نمودار نشان داده شده است بیابید.

پاسخ

$F = W \frac{(r_{2} - r_{1})}{2 r_{2}}$