Criterios de fluencia para metales dúctiles

En la actualidad, existen dos teorías generalmente aceptadas para predecir el inicio de la fluencia en metales dúctiles:

1. Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo o Criterio de Tresca
2. Criterio de von Mises o Criterio de la Energía de Distorsión

1. Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo o Criterio de Tresca

La teoría del esfuerzo cortante máximo, a veces llamada criterio de fluencia de Tresca, establece que la fluencia ocurrirá cuando el esfuerzo cortante máximo alcance un valor crítico $k$. En términos de los esfuerzos principales ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$, ${\sigma }_3$, podemos escribir:

Si ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge {\sigma }_3$, anteriormente mostramos que el esfuerzo cortante máximo está dado por

Para tensión uniaxial ${\sigma }_1={\sigma }_{yp}$, ${\sigma }_2={\sigma }_3=0$, donde ${\sigma }_{yp}$ es la resistencia a la fluencia en tensión simple. Por lo tanto, el esfuerzo cortante de fluencia para tensión simple ${\tau }_{yp}$ es igual a la mitad del esfuerzo de fluencia a tracción.

Sustituyendo estos valores en la ecuación para el esfuerzo cortante máximo se obtiene

o

Esto a veces se escribe como

donde y son los desviadores de los esfuerzos principales y $k$ es el esfuerzo de fluencia para cortante puro, es decir, el esfuerzo al cual ocurre la fluencia en torsión, donde ${\sigma }_1=-{\sigma }_3$.

La teoría del esfuerzo cortante máximo está en buen acuerdo con resultados experimentales, siendo ligeramente conservadora, y es ampliamente usada por diseñadores para metales dúctiles.

La condición de fluencia de Tresca es:

Sin embargo, en ciertos problemas de plasticidad esta forma simple no puede usarse como condición de fluencia ya que no se sabe cuál de los tres esfuerzos principales es el mayor. Una función de fluencia adecuada no debe depender del etiquetado arbitrario "1, 2, 3".

La formulación real de Tresca es:

Por lo tanto, en lugar de asumir un orden particular, debemos escribir una forma que trate las tres diferencias simétricamente.

Forma Algebraica Simétrica del Criterio de Tresca

Tresca requiere que una (no necesariamente todas) de las siguientes sea igual a 2k:

Una forma compacta de imponer la condición “al menos uno de estos es igual a 2k” es escribir

Esta expresión es:

• simétrica en los esfuerzos principales,
• igual a cero si cualquier diferencia de par satisface $|{\sigma }_i-{\sigma }_j|=2k$.

Por lo tanto, (9) es una representación analítica adecuada de la condición de Tresca.

Forma Invariante de Reuss

Para escribir el criterio de fluencia en términos de invariantes de esfuerzo, Reuss transformó la forma simétrica (9) en una expresión invariante que involucra el segundo y tercer invariantes del tensor desviador de esfuerzos:

• (segundo invariante del esfuerzo desviador),
• (tercer invariante del esfuerzo desviador).

Reuss mostró que la expresión producto (9) es equivalente al polinomio:

Esta es una forma completamente invariante del criterio de Tresca, válida sin asumir ningún orden de los esfuerzos principales. Obviamente, una relación tan compleja resultará en matemáticas muy engorrosas. Es por esta razón que el criterio de fluencia que se discute a continuación es preferido en la mayoría del trabajo teórico.

Problemas de Esfuerzo Plano

En problemas de esfuerzo plano donde σ₃ = 0, el criterio de Tresca, que establece que la fluencia comienza cuando el esfuerzo cortante máximo alcanza σ_yp/2, se simplifica a:

max {|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|}  =  σ_yp

Dado que no sabemos si σ₁ o σ₂ es el esfuerzo principal mayor, esta expresión toma formas diferentes en diferentes cuadrantes del plano σ₁–σ₂.

Cuadrantes I y III (Signos Iguales)
Cuando σ₁ y σ₂ tienen el mismo signo, la diferencia |σ₁ – σ₂| es siempre menor que cualquiera de |σ₁| o |σ₂| (o ambos). Por lo tanto, en el primer y tercer cuadrantes, la expresión max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} es igual a |σ₁| o |σ₂|.

• Primer Cuadrante: Ambos esfuerzos son positivos. Debajo de la línea σ₂ = σ₁ (donde σ₁ > σ₂), el criterio da σ₁ = σ_yp. Por encima de esta línea bisectriz, debemos tener σ₂ = σ_yp.
• Tercer Cuadrante: Ambos esfuerzos son negativos. Por la misma analogía, debajo de la línea bisectriz (donde la magnitud de σ₁ es mayor), debemos tener σ₁ = –σ_yp. Por encima de la bisectriz, debemos tener σ₂ = –σ_yp.

Cuadrantes II y IV (Signos Opuestos)
Cuando los esfuerzos tienen signos opuestos, el término |σ₁ – σ₂| representa la suma de los valores absolutos, que es mayor que cualquiera de las magnitudes individuales. Por lo tanto, el término de diferencia controla la fluencia.

• Segundo Cuadrante: σ₁ es negativo y σ₂ es positivo. Por lo tanto:
  max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} = |σ₁ – σ₂| = σ₂ – σ₁ = σ_yp
  Esto describe una línea que conecta (–σ_yp, 0) con (0, σ_yp).

• Cuarto Cuadrante: σ₁ es positivo y σ₂ es negativo. Por lo tanto:
  max{|σ₁ – σ₂|, |σ₁|, |σ₂|} = |σ₁ – σ₂| = σ₁ – σ₂ = σ_yp
  Esto describe una línea que conecta (σ_yp, 0) con (0, –σ_yp).

2. Teoría de von Mises o de la Energía de Distorsión

En la sección anterior, explicamos que para un material insensible a la presión hidrostática, la superficie de fluencia toma la forma

donde $J_2$ y $J_3$ son el segundo y tercer invariantes del desviador de esfuerzos, $C$ es una constante material. La forma más simple de la ecuación anterior es $J_2=C$, que a menudo se escribe como

El desarrollo de este criterio de fluencia está asociado con los nombres de Von Mises, Hencky, Maxwell y Huber, y ahora se conoce a menudo como el criterio de von Mises. Von Mises propuso este criterio en la forma invariante dada por la ecuación anterior principalmente porque era matemáticamente más simple que la forma invariante de la teoría del esfuerzo cortante máximo dada por la Ec. (10). Experimentos posteriores mostraron que la Ec. (11) proporciona un mejor acuerdo general con datos de fluencia bajo esfuerzos combinados que la teoría del esfuerzo cortante máximo.

Del ensayo de tensión uniaxial, ${\sigma }_1={\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}$, y $J_2=\frac{1}{3}{\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}^2$. Por lo tanto, de este ensayo, la constante $k$ se determina como

De un ensayo de cortante puro, $J_2={\tau }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}^2$, y por lo tanto

Por lo tanto, utilizando el criterio de von Mises, implicamos que las resistencias a la fluencia en tracción y cortante de un material dúctil están relacionadas mediante ${\tau }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}={\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}/\sqrt{3}\approx 0.577{\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}$.

La ecuación en el recuadro puede entonces escribirse como

• La ecuación anterior también puede escribirse como

• Una forma equivalente de expresar este criterio es introduciendo el esfuerzo equivalente de von Mises, de modo que la fluencia ocurre cuando ${\sigma }_{\mathrm{v}}={\sigma }_{\mathrm{y}\mathrm{p}}$. Así, las condiciones J₂ = k² y σ_v  =  σ_yp son simplemente dos formas diferentes del mismo criterio de fluencia.

Significado Físico

Se han realizado varios intentos para dar un significado físico al criterio de fluencia de von Mises. Un concepto comúnmente aceptado es que este criterio de fluencia expresa la energía de deformación de distorsión. Sobre la base del concepto de energía de distorsión, la fluencia ocurrirá cuando la energía de deformación de distorsión por unidad de volumen exceda la energía de deformación de distorsión por unidad de volumen para una probeta deformada hasta el esfuerzo de fluencia en tracción o compresión uniaxial. La derivación de la Ec. (6) basada en la energía de distorsión se presenta a continuación. Otra interpretación física común de la Ec. (6) es que representa el valor crítico del esfuerzo cortante octaédrico (discutido más adelante).

La energía de deformación elástica total por unidad de volumen ($U_0=\frac{1}{2}{\sigma }_{ij}{ϵ}_{ij}$) se puede dividir en dos componentes, la energía de deformación de distorsión, $U_d$, y la energía de deformación de cambio de volumen, $U_v$.

Comenzamos descomponiendo los tensores de deformación y esfuerzo en sus componentes volumétricas (media) y desviadoras:

donde ${\delta }_{ij}$ es el tensor de Kronecker (${\delta }_{ij}=0$ si $i\ne j$ y ${\delta }_{ij}=1$ si $i=j$).

La deformación y el esfuerzo medios (volumétricos) se definen como

y

con suma sobre índices repetidos.

Debido a que las trazas de los tensores desviadores son cero, tenemos

ya que la traza de un tensor desviador es cero.

Recordemos que

donde $G=\frac{E}{2(1+\nu )}$ es el módulo de cortante y

donde $K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$ es el módulo volumétrico.

Por lo tanto,

y

Definamos

Así que $U_0=U_v+U_d$, y la energía de distorsión está asociada puramente con el cambio de forma, mientras que $U_v$ está asociada con el cambio de volumen.

La energía máxima de distorsión establece que la fluencia comienza cuando $U_d$ alcanza un valor crítico $U_d^y$ igual a la energía de distorsión en la fluencia en un ensayo uniaxial:

Por lo tanto:

Problemas de Esfuerzo Plano (von Mises)

Similar al criterio de Tresca, el criterio de von Mises se simplifica significativamente para casos de esfuerzo plano, donde un esfuerzo principal es cero (sea ${\sigma }_3=0$).

Comenzamos con el criterio general de von Mises expresado en términos de esfuerzos principales (Ec. 14):

Elevando al cuadrado ambos lados proporciona una forma ligeramente más fácil de trabajar:

Sustituyendo la condición de esfuerzo plano ${\sigma }_3=0$ en esta ecuación se obtiene:

Dividiendo toda la ecuación por 2 se obtiene la ecuación gobernante para la fluencia de von Mises bajo esfuerzo plano:

Esta es la ecuación de una elipse en el plano ${\sigma }_1$–${\sigma }_2$, con su eje mayor orientado a un ángulo de 45° respecto a los ejes ${\sigma }_1$ y ${\sigma }_2$.