Matemáticas Isleñas

Índice

21.1 INTRODUCCIÓN
- 21.1.1 Modelado de la topografía de Spectacle Island
- 21.1.2 Optimización de costas insulares con cálculo
21.2 MAXIMIZACIÓN DEL ÁREA
21.3 Montañas, sumideros y pasos de montaña
EJERCICIOS

21.1 INTRODUCCIÓN

21.1.1 Modelado de la topografía de Spectacle Island

Estamos en Spectacle Island, cerca del puerto de Boston y decidimos entender la función $f (x, y)$ que da la altura en una posición $(x, y)$ . La isla fue una vez un lugar "fuera de la vista, fuera de la mente" ocupado por una planta de procesamiento de caballos (transformando caballos en cuero y fertilizantes) y (relacionada) una instalación de recuperación de grasa y un área de eliminación de basura. ¡Puaj! En los años 1960, hubo una renovación, para limpiar la isla y recuperar y remodelar la isla en un parque público. Ahora tiene $5$ millas de senderos y playas hermosas. La isla se ha convertido en un ejemplo de cómo recrear un espacio abierto sostenible.

**Figura 1.** Spectacle Island en Boston tiene dos colinas locales y un punto de silla de la función de altura $f (x, y)$ . Suponemos que la función es $0$ en las playas. ¿Se puede decir algo general sobre los máximos, los mínimos y los puntos de silla de una isla? En este caso tenemos dos máximos y un punto de silla.

21.1.2 Optimización de costas insulares con cálculo

Cuando buscábamos máximos y mínimos esta semana, no nos preocupaba tanto cuántos puntos críticos hay o qué combinaciones de puntos críticos pueden ocurrir. Resulta que este es un tema muy emocionante. Otro tema que podemos explorar mientras visitamos una isla es observar la relación entre su área y su circunferencia (la longitud de las playas). Si el área es fija, ¿qué tan corta o qué tan larga puede llegar a ser el área total de la playa? Resulta que este es un problema de Lagrange de dimensión infinita, pero también podemos explorarlo en dimensiones finitas al considerar islas poligonales. Usamos este tema aquí para explorar un poco algunas áreas relacionadas con el cálculo.

**Figura 2.** Una isla con $4$ picos de montaña, un sumidero y $4$ pasos de montaña. Se cumple el teorema de la isla que asegura que $picos + sumideros - pasos = 1$ .

21.2 MAXIMIZACIÓN DEL ÁREA

21.2.1 El problema isoperimétrico: islas y formas óptimas

Una "isla" es una región en el plano $ℝ^{2}$ limitada por una curva cerrada simple $C$ que es continua en todas partes y diferenciable en todas partes excepto en un conjunto finito de puntos. Permitimos excepciones de continuidad para permitir polígonos simples. ¿Qué isla tiene el área máxima si la longitud del perímetro es fija? Esto se llama el problema isoperimétrico. Si consideramos el problema restringido a polígonos con un número fijo $n$ de vértices, tenemos un bonito problema de Lagrange de dimensión finita.

21.2.2 Área máxima del triángulo

Consideremos una isla triangular $T (x, y)$ con vértices $(- 1, 0)$ , $(1, 0)$ , $(x, y)$ .

Problema A: Supongamos que la circunferencia $g (x, y) = 1 + \sqrt{(x + 1)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - 1)^{2} + y^{2}}$ del triángulo es $3$ . ¿Cuál es el área máxima $f (x, y) = y / 2$ que podemos obtener? Plantea las ecuaciones de Lagrange y resuélvelas.

21.2.3 Explorando el lugar geométrico de puntos con suma de distancias fija

Aquí hay un problema relacionado de la buena y vieja geometría euclidiana. Si no lo sabes, busca "método del hilo y alfileres".

Problema B: ¿Qué puntos $(x, y)$ en el plano satisfacen $g (x, y) = 3$ ? Esto significa, ¿qué puntos del plano tienen la propiedad de que la suma de las distancias a los dos puntos es constante?

21.2.4 Conectando triángulos y polígonos regulares

Resolver el problema de encontrar el $n$ -gono con área máxima es un problema de Lagrange complicado. Se puede hacer con una computadora, pero hay una forma más elegante:

Problema C: Usa el cálculo del problema A para mostrar que para obtener el área máxima del triángulo con vértices $\dots, P, Q, R, \dots$ en una fila, la distancia entre $P$ y $Q$ tiene que ser la misma que la distancia entre $Q$ y $R$ .

Problema D: Concluye que un polígono con $n$ vértices y área máxima debe ser un polígono regular.

21.2.5 Reflejando el camino

Estás en una isla del tesoro $G$ y tienes dos ubicaciones $A$ , $C$ en $G$ . Necesitas ir de $A$ a $C$ pero quieres llegar a un punto en la playa. Resulta que la solución es la ley de reflexión del billar en el límite. Observa un triángulo $A B C$ , reemplaza la curva con la curva tangente $L$ en $B$ . Refleja $C$ en $L$ para obtener un punto C^{\prime}. El camino es más corto si el camino $A B C$ tiene la misma longitud que el camino que conecta $A$ con C^{\prime} directamente.

**Figura 3.** ¿Qué polígono con circunferencia fija tiene área máxima?

21.3 Montañas, sumideros y pasos de montaña

21.3.1 Explorando el teorema de Poincaré-Hopf con picos y pozos

La próxima vez que estés varado en una isla, cuenta el número $m$ de picos de montaña, el número $s$ de sumideros y el número $p$ de pasos de montaña. Haz algunos experimentos. Notarás la siguiente regla que se conoce como un caso especial del teorema de Poincaré-Hopf:

Teorema 1. $m á ximos + m í nimos - puntos de silla = 1$ .

Problema F: Encuentra un ejemplo donde se cumpla esta igualdad, en el que tengamos $m á ximos = 3$ , $m í nimos = 1$ y $puntos de silla = 3$ .

21.3.2 Teorema de la isla en anillos de atolón

Si quieres desafiarte, mira si puedes demostrar el teorema de la isla por deformación. (Esto probablemente es demasiado difícil. ¡Solo disfruta la lucha!)

Problema G: Supongamos ahora que nuestra isla es un atolón, un arrecife en forma de anillo. Observando ejemplos, ¿cuál es el número de la isla $m á ximos + m í nimos - puntos de silla$ en un atolón?

**Figura 4.** Primero una isla con $2$ picos de montaña y con $1$ paso de montaña. Luego una isla con $3$ picos de montaña y $2$ pasos de montaña. Vemos $m á ximos + m í nimos - puntos de silla = 1$ .

**Figura 5.** El atolón Atafu. Imagen del Centro Espacial Johnson de la NASA, 2009.

**Figura 6.** Si colocamos una superficie $S : g = c$ en el espacio y observamos la restricción de una función $f (x, y, z)$ en $S$ , resolvemos un problema de Lagrange. En una situación de Morse, los números $m á ximos + m í nimos - puntos de silla$ suman un número que solo depende del número de agujeros.

21.3.3 Teorema de la isla unidimensional

Consideremos el caso unidimensional, donde demostramos las cosas más fácilmente. Supongamos que la isla es el intervalo $[a, b]$ . Sea $f$ una función suave en $[a, b]$ que tiene la propiedad de que $f$ es cero para $x \geq b$ y para $x \leq a$ . Observamos los puntos críticos de $f$ en el interior $(a, b)$ que son Morse, (es decir, f^{\prime \prime}(x) \neq 0 en los puntos críticos), de modo que solo tenemos máximos y mínimos locales como puntos críticos. Sea $m$ el número de máximos y $s$ el número de mínimos (sumideros). Para evitar que la isla se inunde, también suponemos que la función $f$ es positiva para $x > a$ , cerca de $a$ y $x < b$ cerca de $b$ .

Teorema 2. $m á ximos - m í nimos = 1$ .

Problema H: Verifica que hay un número impar de puntos críticos para una función Morse $f$ que tiene como soporte un intervalo finito $[a, b]$ .

Problema I: Usa un argumento de deformación para mostrar que si hay $2 k + 1$ puntos críticos, podemos reducirlos a $2 k - 1$ fusionando un par de máximos y mínimos vecinos.

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Supongamos que $f : ℝ \to ℝ$ es una función Morse de una sola variable en un círculo. ¿Cuál es la relación entre el número $m$ de máximos en $[0, 2 π)$ y el número de mínimos en $[0, 2 π)$ ? Demuestra tu afirmación.
Pista: verifica que para una función Morse, no es posible que dos máximos sean adyacentes.

Ejercicio 2. Si observamos máximos, mínimos y puntos de silla para una función Morse $f (x, y)$ definida en una esfera, encuentra el número de la isla $m á ximos + m í nimos - puntos de silla$ allí.

Ejercicio 3. Si observamos máximos, mínimos y puntos de silla para una función $f (x, y)$ definida en una rosquilla. Observando ejemplos, encuentra el número de la isla $m á ximos + m í nimos - puntos de silla$ allí.

Ejercicio 4. Si observamos máximos, mínimos y puntos de silla en un pretzel con dos agujeros. Recuerda que has construido tal forma. Observando ejemplos, ¿cuál es el número de la isla $m á ximos + m í nimos - puntos de silla$ allí? La situación más simple es si la función es lineal en $ℝ^{3}$ .

Ejercicio 5. Describe cómo construir una función concreta $f (x, y)$ de dos variables que tenga dos máximos y ningún mínimo ni punto de silla. (Esto no es posible en una isla según el teorema de la isla. Sin embargo, es posible en el plano, pero tal función no es fácil de describir. Discutan estrategias entre ustedes.)