Ecuaciones Diferenciales Parciales

Tabla de Contenidos

13.1 INTRODUCCIÓN
- 13.1.1 Matemáticas del Movimiento
13.2 CONFERENCIA
13.3 ILUSTRACIÓN
EJERCICIOS

13.1 INTRODUCCIÓN

13.1.1 Matemáticas del Movimiento

Si podemos relacionar los cambios en una cantidad con los cambios en otra cantidad, entran en juego las ecuaciones diferenciales parciales. Una de las reglas más simples es que la tasa de cambio de una función $f (t, x)$ en el tiempo está relacionada con la tasa de cambio en el espacio. Tal regla podría expresarse, por ejemplo, como una regla $f_{t} (t, x) = f_{x} (t, x)$ , donde $f_{t}$ es la derivada parcial con respecto a $t$ y $f_{x}$ es la derivada parcial con respecto a $x$ . Puedes comprobar que $f (t, x) = \sin (t + x)$ es un ejemplo de una función que satisface esta ecuación diferencial. Incluso puedes ver que para cualquier función $g$ , la función $f (t, x) = g (t + x)$ satisface $f_{t} = f_{x}$ . Una situación típica es que se nos dé $f (0, x)$ , la situación de "ahora". Entonces podemos ver qué es $f (t, x)$ para un tiempo posterior $t$ . Esto describe la situación en el futuro. Como ves, la ecuación diferencial $f_{t} = f_{x}$ describe "transporte". La situación inicial se traslada hacia la izquierda. Compruébalo y dibuja, por ejemplo, $f (0, x) = x^{2}$ . Vemos que $f (t, x) = (x + t)^{2}$ y especialmente $f (1, x) = (x + 1)^{2}$ . La gráfica se ha movido hacia la izquierda.

**Figura 1.** Una función $f (t, x)$ que satisface una ecuación diferencial $f_{t t} - f_{x x} = \sin (u)$ . Esta EDP se llama ecuación *Sin-Gordon*, una ecuación de onda no lineal que presenta **solitones**. El espacio aquí es unidimensional y el tiempo va de izquierda a derecha. Vemos una onda que va hacia la izquierda y hacia la derecha, reflejándose en el límite y acumulándose hasta un pico más grande. Una "ola gigante".

13.2 CONFERENCIA

13.2.1 Cómo las EDP Moldean Nuestro Mundo

Una ecuación diferencial parcial es una regla que combina las tasas de cambio de diferentes variables. Nuestras vidas se ven afectadas por ecuaciones diferenciales parciales: las ecuaciones de Maxwell describen los campos eléctricos y magnéticos $E$ y $B$ . Su movimiento conduce a la propagación de la luz. Las ecuaciones de campo de Einstein relacionan el tensor métrico $g$ con el tensor de masa $T$ . La ecuación de Schrödinger dice cómo se mueven las partículas cuánticas. Leyes como las ecuaciones de Navier-Stokes gobiernan el movimiento de fluidos y gases y especialmente las corrientes en el océano o los vientos en la atmósfera. Las ecuaciones diferenciales parciales también aparecen en lugares inesperados como en las finanzas, donde, por ejemplo, la ecuación de Black-Scholes relaciona los precios de las opciones en función del tiempo y los precios de las acciones.

13.2.2 Algunos Ejemplos de EDP y EDO

Si $f (x, y)$ es una función de dos variables, podemos diferenciar $f$ con respecto a $x$ o $y$ . Simplemente escribimos $f_{x} (x, y)$ para $\partial_{x} f (x, y)$ . Por ejemplo, para $f (x, y) = x^{3} y + y^{2}$ , tenemos $f_{x} (x, y) = 3 x^{2} y$ y $f_{y} (x, y) = x^{3} + 2 y$ . Si primero diferenciamos con respecto a $x$ y luego con respecto a $y$ , escribimos $f_{x y} (x, y)$ . Si diferenciamos dos veces con respecto a $y$ , escribimos $f_{y y} (x, y)$ . Una ecuación para una función desconocida $f$ en la que aparecen derivadas parciales con respecto a al menos dos variables diferentes se llama una ecuación diferencial parcial EDP. Si solo aparece la derivada con respecto a una variable, se habla de una ecuación diferencial ordinaria EDO. Un ejemplo de una EDP es $f_{x}^{2} + f_{y}^{2} = f_{x x} + f_{y y}$ , un ejemplo de una EDO es f^{\prime \prime}=f^{2}-f^{\prime}. Es importante darse cuenta de que lo que buscamos es una función, no un número. La ecuación diferencial ordinaria f^{\prime}=3 f, por ejemplo, se resuelve mediante las funciones $f (t) = C e^{3 t}$ . Si prescribimos un valor inicial como $f (0) = 7$ , entonces hay una solución única $f (t) = 7 e^{3 t}$ . La ecuación diferencial parcial KdV $f_{t} + 6 f f_{x} + f_{x x x} = 0$ se resuelve mediante (lo has adivinado) $2 {sech}^{2} (x - 4 t)$ . Esta es una de muchas soluciones. En ese caso se llaman solitones, ondas no lineales. Korteweg-de Vries (KdV) es un ícono en un campo matemático llamado sistemas integrables que conduce a conocimientos en investigaciones en curso como sobre olas gigantes en el océano.

13.2.3 Una Mirada al Teorema de Clairaut para Derivadas Mixtas

Decimos que $f \in C^{1} (ℝ^{2})$ si tanto $f_{x}$ como $f_{y}$ son funciones continuas de dos variables y $f \in C^{2} (ℝ^{2})$ si todas $f_{x x}$ , $f_{y y}$ , $f_{x y}$ y $f_{y x}$ son funciones continuas. El siguiente teorema se llama el teorema de Clairaut. Trata sobre la ecuación diferencial parcial $f_{x y} = f_{y x}$ . La demostración muestra la demostración por contradicción. Veremos esta técnica un poco más en el seminario de demostraciones.

Teorema 1. Toda $f \in C^{2}$ resuelve la ecuación de Clairaut $f_{x y} = f_{y x}$ .

Demostración. Usamos el teorema de Fubini que aparecerá más adelante en la conferencia de integrales dobles: integrar $\int_{x_{0}}^{x_{0} + h} (\int_{y_{0}}^{y_{0} + h} f_{x y} (x, y) d y) d x$ aplicando el teorema fundamental del cálculo dos veces \begin{aligned} &\int_{x_{0}}^{x_{0}+h} \big(f_{x}(x, y_{0}+h)-f_{x}(x, y_{0})\big) d x\\ =&f(x_{0}+h, y_{0}+h)-f(x_{0}, y_{0}+h)-f(x_{0}+h, y_{0})+f(x_{0}, y_{0}). \end{aligned} Un cálculo análogo da \begin{aligned} &\int_{y_{0}}^{y_{0}+h}\left(\int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f_{y x}(x, y) \,d x\right) d y\\ =&f(x_{0}+h, y_{0}+h)-f(x_{0}, y_{0}+h)-f(x_{0}+h, y_{0})+f(x_{0}, y_{0}). \end{aligned} Fubini aplicado a $g (x, y) = f_{x y} (x, y)$ asegura $\int_{y_{0}}^{y_{0} + h} (\int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f_{y x} (x, y) d x) d y = \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} (\int_{y_{0}}^{y_{0} + h} f_{y x} (x, y) d y) d x$ de modo que $\iint_{A} (f_{x y} - f_{y x}) d y d x = 0$ . $Supongamos$ que hay algún $(x_{0}, y_{0})$ , donde $F (x_{0}, y_{0}) = f_{x y} (x_{0}, y_{0}) - f_{y x} (x_{0}, y_{0}) = c > 0,$ entonces también para $h$ pequeño, la función $F$ es mayor que $c / 2$ en todo $A = [x_{0}, x_{0} + h] \times [y_{0}, y_{0} + h]$ de modo que $\iint_{A} F (x, y) d x d y \geq area (A) c / 2 = h^{2} c / 2 > 0$ $contradiciendo$ que la integral es cero. ◻

13.2.4 Por qué la Diferenciabilidad Continua No es Suficiente para el Teorema de Clairaut

La afirmación es falsa para funciones que solo son $C^{1}$ . El contraejemplo estándar es $f (x, y) = 4 x y (y^{2} - x^{2}) / (x^{2} + y^{2})$ que tiene para $y \neq 0$ la propiedad de que $f_{x} (0, y) = 4 y$ y para $x \neq 0$ tiene la propiedad de que $f_{y} (x, 0) = - 4 x$ . Puedes ver la comparación de $f (x, y) = 2 x y = r^{2} \sin (2 θ)$ y $f (x, y) = 4 x y (y^{2} - x^{2}) / (x^{2} + y^{2}) = r^{2} \sin (4 θ) .$ La última función no está en $C^{2}$ . Los valores $f_{x y}$ y $f_{y x}$ , cambios de pendientes de rectas tangentes, giran de manera diferente.

**Figura 2.** Clairaut se cumple para $f (x, y) = 2 x y$ que en coordenadas polares es $r^{2} \sin (2 θ)$ . No se cumple para la función $f (x, y) = 4 x y (y^{2} - x^{2}) / (x^{2} + y^{2})$ que en coordenadas polares es $2 r^{2} \sin (2 θ) \cos (2 θ) = r^{2} \sin (4 θ)$ .

13.3 ILUSTRACIÓN

13.3.1 Un Enfoque para Resolver Ecuaciones de Transporte

En muchos casos, una de las variables es el tiempo para el cual usamos la letra $t$ y mantenemos $x$ como la variable espacial. La ecuación diferencial $f_{t} (t, x) = f_{x} (t, x)$ se llama la ecuación de transporte. ¿Cuáles son las soluciones si $f (0, x) = g (x)$ ? Aquí hay una derivación genial: si D f=f^{\prime} es la derivada,¹ podemos construir operadores como (D+D^{2}+4 D^{4}) f=f^{\prime}+f^{\prime \prime}+4 f^{\prime \prime \prime \prime}. La ecuación de transporte ahora es $f_{t} = D f$ . Ahora, como sabes del cálculo, la única solución de f^{\prime}=a f, $f (0) = b$ es $b e^{a t}$ . Si audazmente reemplazamos el número $a$ con el operador $D$ obtenemos f^{\prime}=D f y obtenemos su solución \begin{aligned} e^{D t} g(x) &=\big(1+D t+D^{2} t^{2} / 2 !+\cdots\big) g(x)\\ &=g(x)+g^{\prime}(x) t+g^{\prime \prime}(x) t^{2} / 2 !+\cdots. \end{aligned} Por la fórmula de Taylor, esto es igual a $g (x + t)$ . De hecho, deberías recordar Taylor como $g (x + t) = e^{D t} g (x)$ . Hemos derivado para $g (x) = f (0, x)$ en $C^{1} (ℝ^{2})$ :

Teorema 2. $f_{t} = f_{x}$ se resuelve mediante $f (t, x) = g (x + t)$ .

Demostración. Podemos ignorar la derivación y verificar esto muy rápidamente: la función satisface $f (0, x) = g (x)$ y $f_{t} (t, x) = f_{x} (t, x)$ . ◻

13.3.2 Resolviendo la Ecuación de Onda con la Fórmula de D’Alembert

Otro ejemplo de una ecuación diferencial parcial es la ecuación de onda $f_{t t} =$ $f_{x x}$ . Podemos escribir esto como $(\partial_{t} + D) (\partial_{t} - D) f = 0$ . Una forma de resolver esto es considerando $(\partial_{t} - D) f = 0$ . Esto significa transporte $f_{t} = f_{x}$ y $f (t, x) = f (x + t)$ . También podemos tener $(\partial_{t} + D) f = 0$ lo que significa $f_{t} = - f_{x}$ llevando a $f (x - t)$ . Vemos que cada combinación $a f (x + t) + b f (x - t)$ con constantes $a, b$ es una solución. Fijando las constantes $a, b$ de modo que $f (x, 0) = g (x)$ y $f_{t} (x, 0) = h (x)$ se obtiene la siguiente solución de d’Alembert. Requiere $g, h \in C^{2} (ℝ)$ .

Teorema 3. $f_{t t} = f_{x x}$ se resuelve mediante $f (t, x) = \frac{g (x + t) + g (x - t)}{2} + \frac{h (x + t) - h (x - t)}{2}$ .

Demostración. Simplemente verifica directamente que esto es de hecho una solución y que $f (0, x) = g (x)$ y $f_{t} (0, x) = h (x)$ . Intuitivamente, si lanzamos una piedra a un canal de agua estrecho, entonces las ondas se mueven hacia ambos lados. ◻

13.3.3 Del Flujo de Calor a la Distribución Normal

La ecuación diferencial parcial $f_{t} = f_{x x}$ se llama la ecuación del calor. Su solución involucra la distribución normal $N (m, s) (x) = e^{- (x - m)^{2} / (2 s^{2})} / \sqrt{2 π s^{2}}$ en teoría de probabilidad. El número $m$ es el promedio y $s$ es la desviación estándar.

13.3.4 Resolviendo la Ecuación del Calor

Si el calor inicial $g (x) = f (0, x)$ en el tiempo $t = 0$ es continuo y cero fuera de un intervalo acotado $[a, b]$ , entonces

Teorema 4. $f_{t} = f_{x x}$ se resuelve mediante $f (t, x) = \int_{a}^{b} g (m) N (m, \sqrt{2 t}) (x) d m$ .

Demostración. Para cada $m$ fijo, la función $N (m, \sqrt{2 t}) (x)$ resuelve la ecuación del calor.

$\texttt{\footnotesize{{f}={PDF}[ NormalDistribution [{m}, \textbf{Sqrt}[2 {t}]], {x}]; {\textbf{Simplify}}[{\textbf{D}}[{f}, {t}]=={\textbf{D}}[{f},{{x}, 2}]] }}$

Cada aproximación por suma de Riemann $g (x) = (1 / n) \sum_{k = 1}^{n} g (m_{k})$ de $g$ define una función $f_{n} (t, x) = (1 / n) \sum_{k = 1}^{n} g (m_{k}) N (m_{k}, \sqrt{2 t}) (x)$ que resuelve la ecuación del calor. También lo hace $f (t, x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (t, x) .$ Para verificar $f (0, x) = g (x)$ se necesita $\int_{- \infty}^{\infty} N (m, s) (x) d x = 1$ y $\int_{- \infty}^{\infty} h (x) N (m, s) (x) d x \to h (m)$ para cualquier $h$ continua y $s \to 0$ , demostrado más adelante. ◻

13.3.5 El Papel de la Ecuación de Laplace

Para funciones de tres variables $f (x, y, z)$ se puede considerar la ecuación diferencial parcial $Δ f (x, y, z) = f_{x x} + f_{y y} + f_{z z} = 0$ . Se llama la ecuación de Laplace y $Δ$ se llama el operador de Laplace. El operador aparece también en una de las ecuaciones diferenciales parciales más importantes, la ecuación de Schrödinger $i ℏ f_{t} = H f = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} Δ f + V (x) f,$ donde $ℏ = h / (2 π)$ es una constante de Planck escalada y $V (x)$ es el potencial que depende de la posición $x$ y $m$ es la masa. Para $i ℏ f_{t} = P f$ con $P = - i ℏ D$ , la solución $f (x - t)$ es una traslación hacia adelante. El operador $P$ es el operador de momento en mecánica cuántica. La fórmula de Taylor indica que $P$ genera traslación.

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Verifique que para cualquier constante $b$ , la función $f (x, t) = e^{- b t} \sin (x + t)$ satisface la ecuación de transporte forzada $f_{t} (x, t) = f_{x} (x, t) - b f (x, t) .$ Esta EDP a veces se llama la ecuación de advección con amortiguamiento $b$ .

Ejercicio 2. Hemos visto en clase que $f (t, x) = e^{- x^{2} / (4 t)} / \sqrt{4 π t}$ resuelve la ecuación del calor $f_{t} = f_{x x}$ . Verifique de manera más general que $e^{- x^{2} / (4 a t)} / \sqrt{4 a π t}$ resuelve la ecuación del calor $f_{t} = a f_{x x} .$

Ejercicio 3. La ecuación eiconal $f_{x}^{2} + f_{y}^{2} = 1$ se usa en óptica. Sea $f (x, y)$ la distancia al círculo $x^{2} + y^{2} = 1$ . Demuestre que satisface la ecuación eiconal.

Observación: la ecuación se puede reescribir como $‖ d f ‖^{2} = 1$ , donde $d f = \nabla f = [f_{x}, f_{y}]$ es el gradiente de $f$ que es la matriz jacobiana para la función $f : ℝ^{2} \to ℝ$ .

Ejercicio 4. La ecuación diferencial $f_{t} = f - x f_{x} - x^{2} f_{x x}$ es una versión de la ecuación de Black-Scholes. Aquí $f (x, t)$ es el precio de una opción de compra y $x$ es el precio de la acción y $t$ es el tiempo. Encuentre una función $f (x, t)$ que la resuelva y que dependa tanto de $x$ como de $t$ .

Pista: busque primero soluciones $f (x, t) = g (t)$ o $f (x, t) = h (x)$ y luego funciones de la forma $f (x, t) = g (t) + h (x)$ .

Ejercicio 5. La ecuación diferencial parcial $f_{t} + f f_{x} = f_{x x}$ se llama ecuación de Burgers y describe olas en la playa. En dimensiones superiores, conduce a la ecuación de Navier-Stokes que se usa para describir el clima. Verifique que la función $f (t, x) = \frac{(\frac{1}{t})^{3 / 2} x e^{- \frac{x^{2}}{4 t}}}{\sqrt{\frac{1}{t}} e^{- \frac{x^{2}}{4 t}} + 1}$ es una solución de la ecuación de Burgers. Es mejor que use tecnología.

Normalmente escribimos $d f$ para la derivada pero $D$ indica que es un operador. D también significa Dirac.↩︎