Demostraciones visuales

Tabla de Contenidos

6.1 INTRODUCCIÓN
- 6.1.1 El Poder de las Pruebas Visuales
6.2 SEMINARIO
EJERCICIOS

6.1 INTRODUCCIÓN

**Figura 1.** Esta es una famosa prueba visual de que $65 / 2 = 63 / 2$ . Un triángulo de área $65 / 2$ se corta en piezas más pequeñas. Después de reorganizar las piezas y solo trasladarlas, obtenemos el mismo triángulo con un cuadrado menos.

6.1.1 El Poder de las Pruebas Visuales

Las imágenes visuales son de gran ayuda para "ver" por qué algo es verdadero. Algunas de las pruebas más hermosas en matemáticas pueden verse como verdaderas de esa manera. Los argumentos visuales también pueden ser erróneos y esto no se limita solo a las imágenes geométricas. Especialmente al demostrar resultados en dimensiones superiores, donde entra en juego la intuición de dimensiones más pequeñas, podemos meternos en problemas.

**Figura 2.** Intersecta la bisectriz del ángulo en $C$ con la mediatriz de $A B$ ..

**Figura 3.** Los triángulos $M Q C$ , $M R C$ son congruentes. Los triángulos $M P B$ , $M P A$ también.

**Figura 4.** También lo son $M B A$ y $A M R$ . Como $A R = B Q$ y $C Q = R C$ tenemos $A C = B C$ .

Una prueba de que todos los triángulos son isósceles. No hay error en el argumento. Todos los pasos dados son correctos. Aun así, hay algo mal.

6.2 SEMINARIO

6.2.1 Cuadrados y Áreas

La intuición geométrica y las imágenes permiten demostrar resultados visualmente. Un ejemplo:

**Figura 5.** Esta es una prueba sin palabras.

Problema A: ¿Qué fórmula demuestra la figura anterior?

6.2.2 Conmutatividad en Geometría

Al dibujar un rectángulo de lados $a$ y $b$ , podemos ver que el área $a * b$ es la misma que el área $b * a$ . Para el producto cruz o las matrices, esto es incorrecto.

**Figura 6.** Una prueba con regletas Cuisenaire de que $4 * 5 = 5 * 4$ . Cuatro regletas amarillas de longitud $5$ tienen la misma área que $5$ regletas moradas de longitud $4$ .

6.2.3 Prueba Visual del Teorema de Pitágoras

Las imágenes ayudan a obtener intuición sobre un resultado matemático. El teorema de Pitágoras fue demostrado primero geométricamente. La prueba visual que vemos aquí bien podría haber sido la primera que se encontró.

**Figura 7.** Una prueba visual del teorema de Pitágoras. Probablemente es una de las primeras pruebas.

Problema B: Usa la Figura (6.5) para una demostración del teorema de Pitágoras. Puedes describir con palabras o etiquetar algunas partes de la imagen. Recuerda que queremos mostrar $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

6.2.4 Desigualdad a través de la Geometría

La desigualdad geométrico-algebraica asegura que la media geométrica es menor o igual que la media algebraica. Para apreciar esa prueba, primero tenemos que verificar una identidad que relaciona las longitudes $a, b$ cortadas por la línea de altura y la altura $h$ .

**Figura 8.** Una prueba visual de $\sqrt{a b} \leq (a + b) / 2$ .

Problema C: Primero verifica por qué el triángulo en la Figura (6.6) es un ángulo recto. Luego usa Pitágoras tres veces para demostrar $a b = h^{2}$ . Finalmente verifica la desigualdad geométrico-algebraica.

6.2.5 El Inradio de un Triángulo Rectángulo

Teorema 1. El radio del círculo inscrito en un triángulo $3 : 4 : 5$ es $1$ .

Problema D: Usa la Figura (6.7) de los "9 Capítulos" para demostrar el teorema.

**Figura 9.** El triángulo $3$ - $4$ - $5$ . ¿Puedes usar la imagen para demostrar que $a = 1$ ?

6.2.6 Volumen del Tetraedro

Encuentra la fórmula para el volumen de un tetraedro dado por $4$ puntos $A, B, C, D$ .³

Problema E: Usa la Figura (6.8) para demostrar que el volumen es un sexto del volumen del paralelepípedo correspondiente.

**Figura 10.** El volumen del tetraedro es $1 / 6$ del volumen de un paralelepípedo. No solo los egipcios lo sabían, esta figura también se puede encontrar en los "nueve capítulos". Construimos una estatua que se puede imprimir en 3D.

EJERCICIOS

Ejercicio 1. El teorema de Pitágoras en 3D establece que el cuadrado del área de $A B C$ es la suma de los cuadrados de las áreas de los triángulos $O A B$ , $O B C$ y $O C A$ (que son cada uno la mitad de un rectángulo). Usa la Figura (6.9) con $A = (a, 0, 0)$ , $B = (0, b, 0)$ , $C = (0, 0, c)$ para verificar este teorema. Usa el producto cruz para obtener las áreas.

**Figura 11.** El teorema de Pitágoras en 3D.

Ejercicio 2.

Dibuja una imagen con una figura plana que explique $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .
Dibuja una imagen con una figura 3D que explique $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .

Ejercicio 3. Encuentra fórmulas de distancia que no usen funciones trigonométricas:

Para la distancia de un punto $P$ a una recta que pasa por dos puntos $A, B$ .
Para la distancia de un punto $P$ a un plano que pasa por tres puntos $A, B, C$ .
Para la distancia entre la recta que pasa por $A, B$ y la recta que pasa por $C, D$ .

Ejercicio 4. Diseña una prueba visual para la fórmula de Faulhaber $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^{2}$ que también se llama el teorema de Nicómaco.

Ejercicio 5. Busca las reglas para la multiplicación de cuaterniones $(u_{0}, u_{1}, u_{2}, u_{3}) ⋆ (v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})$ y verifica que $(0, v_{1}, v_{2}, v_{3}) * (0, w_{1}, w_{2}, w_{3}) =$ $(- v \cdot w, v \times w)$ . Históricamente, esta es una identidad importante ya que el producto punto y el producto cruz se introdujeron juntos en forma de cuaterniones.

Portada del libro "Pruebas sin palabras"↩︎
C. Gallant, Mathematics Magazine, 50(2), 1977, página 98↩︎
"Illustrating Mathematics using 3D printers", por O. Knill y E. Slavkovsky.↩︎