Coordenadas

Tabla de Contenidos

10.1 INTRODUCCIÓN
- 10.1.1 Fundamentos Algebraicos de los Sistemas de Coordenadas
10.2 CONFERENCIA
10.3 EJEMPLOS
10.4 ILUSTRACIONES
- 10.4.1 La Complejidad de Mandelbrot
- 10.4.2 De Mandelbrot a Mandelbulb
EJERCICIOS

10.1 INTRODUCCIÓN

10.1.1 Fundamentos Algebraicos de los Sistemas de Coordenadas

El álgebra es una herramienta poderosa en geometría. En esta conferencia volvemos al concepto de coordenadas y también analizamos otros sistemas de coordenadas. Hemos introducido el espacio como vectores columna como $[1, 2, 3]^{T}$ . Podemos pensar en él como una flecha desde el origen hasta el punto $(1, 2, 3)$ . Se habla de los números que aparecen en $(1, 2, 3)$ como coordenadas, mientras que las entradas en $[1, 2, 3]^{T}$ son componentes del vector. La mayoría de las veces no distinguimos entre el punto $(1, 2, 3)$ y el vector $[1, 2, 3]^{T}$ , ya que los dos objetos pueden identificarse claramente de forma natural. En esta conferencia también veremos otras coordenadas como las polares y las esféricas. Esto será importante al realizar integración.

**Figura 1.** El teorema de Napoleón dice que si dibujamos triángulos equiláteros sobre los lados de un triángulo, sus centros de masa están en un triángulo equilátero. Una demostración geométrica no es tan fácil de encontrar, pero usando coordenadas es un cálculo directo: para tres números complejos $a, b, c$ , entonces $u = (a + b) / 2 + i (b - a) / 3$ , $v = (b + c) / 2 + i (c - b) / 3$ , $w = (c + a) / 2 + i (a - c) / 3$ satisfacen $| u - v | = | u - v | = | v - w |$ . El resultado es famoso porque ningún otro teorema ha sido redescubierto tantas veces. Aunque es posible que Napoleón nunca lo haya descubierto o demostrado, mantuvo conversaciones con matemáticos como Lagrange o Fourier.

**Figura 2.** En el plano bidimensional, un punto $(x, y) = (3, 4)$ también se puede identificar con el número complejo $z = x + i y = 3 + 4 i$ o con el vector $[3, 4]^{T}$ . La magnitud del vector es $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ y se define como la longitud del número complejo $z$ . La multiplicación rota y escala. Una multiplicación con $i$ rota $90$ grados.

10.2 CONFERENCIA

10.2.1 De Cartesianas a Polares: Una Transformación de Coordenadas

Fue René Descartes quien en 1637 introdujo las coordenadas y acercó el álgebra a la geometría.¹ Las coordenadas cartesianas $(x, y)$ en $ℝ^{2}$ pueden ser reemplazadas por otros sistemas de coordenadas como las coordenadas polares $(r, θ)$ , donde $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \geq 0$ es la distancia radial al $(0, 0)$ y $θ \in [0, 2 π)$ es el ángulo polar formado con el eje $x$ positivo. Dado que $θ$ está en el intervalo $[0, 2 π)$ , se describe mejor en la notación compleja $θ = \arg (x + i y)$ . El radio $r = | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ es la longitud del número complejo. La conversión de las coordenadas $(r, θ)$ a las coordenadas $(x, y)$ es \begin{aligned} x&=r \cos (\theta),\\ y&=r \sin (\theta). \end{aligned} El radio es $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ , donde si no es cero, siempre tomamos la raíz positiva. La fórmula del ángulo $\arctan (y / x)$ solo es válida si $x$ e $y$ son ambos positivos. El ángulo $θ$ no está definido de manera única en el origen $(0, 0)$ , la mayoría del software simplemente asume $\arg (0) = 0$ .

10.2.2 Números Complejos: Un Marco Multiplicativo

Podemos escribir un vector en $ℝ^{2}$ también en la forma de un número complejo $z =$ $x + i y \in ℂ$ con el símbolo $i$ . Esto no es solo una conveniencia de notación. Los números complejos pueden sumarse y multiplicarse como otros números y aunque $ℝ^{2} = ℂ$ , este último tiene una estructura multiplicativa. Para fijar esa estructura, solo se necesita especificar que $i^{2} = - 1$ . Esto da $(a + i b) (c + i d) = a c - b d + i (a d + b c) .$ También tenemos $| a + i b | = \sqrt{(a + i b) (a - i b)} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ Una fórmula de Euler importante vincula las funciones exponencial y trigonométricas:

Teorema 1. $e^{i θ} = \cos (θ) + i \sin (θ)$ .

Demostración. La prueba consiste en escribir la definición de serie en ambos lados. Primero recordemos las definiciones de $e^{x} = 1 + x + x^{2} / 2! + x^{3} / 3! + \dots .$ Si sustituimos $x = i θ$ obtenemos $e^{i θ} = 1 + i θ - θ^{2} / 2! - i θ^{3} / 3! + θ^{4} / 4! - \dots$ Pero esto es $(1 - θ^{2} / 2 + θ^{4} / 4! - \dots) + i (θ - θ^{3} / 3! + θ^{5} / 5! - \dots)$ que es $\cos (θ) + i \sin (θ)$ . ◻

10.2.3 Series de Taylor

Si prefiere no ver las funciones $\exp$ , $\sin$ , $\cos$ definidas como series, puede verlas como series de Taylor f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+f^{\prime \prime}(0) / 2 ! x^{2}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\left(f^{(k)}(0) / k !\right) x^{k}. Al diferenciar las funciones en $0$ , vemos entonces la conexión.

10.2.4 La Belleza de la Fórmula de Euler

La fórmula de Euler implica para $θ = π$ la fórmula mágica

Teorema 2. $e^{i π} + 1 = 0$ .

Esta fórmula es a menudo votada como la "fórmula más bonita de las matemáticas".² Combina "análisis" en la forma $e$ , "geometría" en la forma de $π$ , "álgebra" en la forma de $i$ , la unidad aditiva $0$ y la unidad multiplicativa $1$ .

10.2.5 Logaritmos Complejos y las Perspectivas de Euler

La fórmula de Euler permite escribir cualquier número complejo como $z = r e^{i θ}$ . Dado otro número complejo $w = s e^{i ϕ}$ tenemos $z w = r s e^{i θ + ϕ}$ , lo que muestra que los ángulos polares se suman y el radio se multiplica. La fórmula de Euler también permite definir el logaritmo de cualquier número complejo como $\log (z) = \log (| z |) + i \arg (z) = \log (r) + i θ .$ Ahora vemos que pasar de $(x, y)$ a $(\log (r), θ)$ es una transformación muy natural de $ℂ \ 0$ a $ℂ$ . La función exponencial $\exp : z \to e^{z}$ es un mapa de $ℂ \to ℂ \ 0$ . Transforma la estructura aditiva en $ℂ$ en la estructura multiplicativa porque $\exp (z + w) = \exp (z) \exp (w)$ .

10.2.6 Coordenadas Cilíndricas

En tres dimensiones, podemos considerar las coordenadas cilíndricas $(r, θ, z)$ que son simplemente coordenadas polares en las dos primeras coordenadas. Un cilindro de radio $2$ por ejemplo se da como $r = 2$ . El toro $(3 + x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} - 16 (x^{2} + y^{2}) = 0$ se puede escribir como $3 + r^{2} + z^{2} = 4 r$ o más intuitivamente como $(r - 2)^{2} + z^{2} = 1$ , un círculo en el plano $r z$ .

**Figura 3.** Imágenes clave para derivar coordenadas cilíndricas y esféricas.

10.2.7 Coordenadas Esféricas

Las coordenadas esféricas $(ρ, θ, ϕ)$ , donde $ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ . El ángulo $θ$ es el ángulo polar como en coordenadas cilíndricas y $ϕ$ es el ángulo entre el punto $(x, y, z)$ y el eje $z$ . Tenemos \begin{aligned} \cos (\phi)&=[x, y, z] \cdot[0,0,1] /\big|[x, y, z]\big|=z / \rho,\\ \sin (\phi)&=\big|[x, y, z] \times[0,0,1]\big| /\big|[x, y, z]\big|=r / \rho \end{aligned} de modo que $z = ρ \cos (ϕ)$ y $r = ρ \sin (ϕ)$ y por lo tanto \begin{aligned} & x=\rho \sin (\phi) \cos (\theta) \\ & y=\rho \sin (\phi) \sin (\theta) \\ & z=\rho \cos (\phi) \end{aligned} donde $0 \leq θ < 2 π$ , $0 \leq ϕ \leq π$ , y $ρ \geq 0$ .

10.2.8 Cambios de Coordenadas y Derivadas Parciales

Un cambio de coordenadas $x \to f (x)$ en el plano es un mapa $f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ . Un punto $(x_{1}, x_{2})$ se mapea en $(f_{1}, f_{2})$ . Escribimos $\partial_{x_{k}}$ para la derivada parcial con respecto a la variable $x_{k}$ . Por ejemplo $\partial_{x_{1}} (x_{1}^{2} x_{2} + 3 x_{1} x_{2}^{3}) = 2 x_{1} x_{2} + 3 x_{2}^{3}$ .

$f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{l} f_{1} (x_{1}, x_{2}) \\ f_{2} (x_{1}, x_{2}) \end{array}], d f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{ll} \partial_{x_{1}} f_{1} (x) & \partial_{x_{2}} f_{1} (x) \\ \partial_{x_{1}} f_{2} (x) & \partial_{x_{2}} f_{2} (x) \end{array}],$ donde $d f$ es una matriz llamada la matriz Jacobiana. El determinante se llama el factor de distorsión en $x = (x_{1}, x_{2})$ .

10.2.9 La Matriz Jacobiana para Coordenadas Polares

Para coordenadas polares, obtenemos

$f [\begin{array}{l} r \\ θ \end{array}] = [\begin{array}{l} r \cos (θ) \\ r \sin (θ) \end{array}], d f [\begin{array}{l} r \\ θ \end{array}] = [\begin{array}{rr} \cos (θ) & - r \sin (θ) \\ \sin (θ) & r \cos (θ) \end{array}] .$ Su factor de distorsión del mapa polar es $r$ . Usaremos esto al integrar en coordenadas polares.

10.2.10 El Álgebra de las Transformaciones Complejas

Si $f (z) = z^{2} + c$ con $c = a + i b, z = x + i y$ se escribe como $f (x, y) = (x^{2} - y^{2} + a, 2 x y + b),$ entonces $d f$ es una matriz de rotación-dilatación $2 \times 2$ que corresponde al número complejo f^{\prime}(z)=2 z. El álgebra $ℂ$ es la misma que el álgebra de matrices de rotación-dilatación.

10.2.11 Transformaciones Espaciales y el Jacobiano

Un cambio de coordenadas $x \to f (x)$ en el espacio es un mapa $f : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ . Calculamos $f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] = [\begin{array}{l} f_{1} (x) \\ f_{2} (x) \\ f_{3} (x) \end{array}], d f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] = [\begin{array}{lll} \partial_{x_{1}} f_{1} (x) & \partial_{x_{2}} f_{1} (x) & \partial_{x_{3}} f_{1} (x) \\ \partial_{x_{1}} f_{2} (x) & \partial_{x_{2}} f_{2} (x) & \partial_{x_{3}} f_{2} (x) \\ \partial_{x_{1}} f_{3} (x) & \partial_{x_{2}} f_{3} (x) & \partial_{x_{3}} f_{3} (x) \end{array}] .$

Escribimos $x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ . Su determinante $\det (d T) (x)$ es un factor de distorsión de volumen.

10.2.12 Distorsión de Volumen en Coordenadas Esféricas

Para coordenadas esféricas, tenemos \begin{aligned} f\left[\begin{array}{l}\rho \\ \phi \\ \theta\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}\rho \sin (\phi) \cos (\theta) \\ \rho \sin (\phi) \sin (\theta) \\ \rho \cos (\phi)\end{array}\right],\\ d f\left[\begin{array}{l}\rho \\ \phi \\ \theta\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rrr}\sin (\phi) \cos (\theta) & \rho \cos (\phi) \cos (\theta) & -\rho \cos (\phi) \sin (\theta) \\ \sin (\phi) \sin (\theta) & \rho \cos (\phi) \sin (\theta) & \rho \cos (\phi) \cos (\theta) \\ \cos (\phi) & -\rho \sin (\phi) & 0\end{array}\right]. \end{aligned} El factor de distorsión es $\det (d f (ρ, ϕ, θ)) = ρ^{2} \sin (ϕ)$ .

10.3 EJEMPLOS

Ejemplo 1. El punto $(x, y) = (- 1, 1)$ corresponde al número complejo $z = - 1 + i$ . Tiene las coordenadas polares $(r, θ) = (\sqrt{2}, 3 π / 4)$ . Como tenemos $z = r e^{i θ}$ , verificamos $z^{2} = (- 1 + i) (- 1 + i) = - 2 i$ lo que coincide con ${(r e^{i θ})}^{2} = r^{2} e^{2 i θ} = 2 e^{6 π i / 4} .$

Ejemplo 2.

$(x, y, z) = (1, 1, - \sqrt{2})$ corresponde a las coordenadas esféricas $(ρ, ϕ, θ) = (2, 3 π / 4, π / 4)$ .
El punto dado en coordenadas esféricas como $(ρ, ϕ, θ) = (3, 0, π / 2)$ es el punto $(0, 3, 0)$ .

Ejemplo 3.

El conjunto de puntos con $r = 1$ en $ℝ^{2}$ forma un círculo.
El conjunto de puntos con $ρ = 1$ en $ℝ^{3}$ forma una esfera.
El conjunto de puntos con coordenadas esféricas $ϕ = 0$ son puntos en el eje $z$ positivo.
El conjunto de puntos con coordenadas esféricas $θ = 0$ forma un semiplano en el plano $y z$ .
El conjunto de puntos con $ρ = \cos (ϕ)$ forma una esfera. En efecto, multiplicando ambos lados por $ρ$ , obtenemos $ρ^{2} = ρ \cos (ϕ)$ lo que significa $x^{2} + y^{2} + z^{2} = z$ , que después de completar el cuadrado es igual a $x^{2} + y^{2} + (z - 1 / 2)^{2} = 1 / 4$ .

Ejemplo 4. Para $A \in M (n, n)$ , $f (x) = A x + b$ tiene $d f = A$ y factor de $distortion$ $\det (A)$ .

Ejemplo 5. Encuentre la matriz jacobiana y el factor de distorsión del mapeo $f (x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{3} + x_{2}, x_{2}^{2} - \sin (x_{1})) .$ Respuesta: Escriba tanto la transformación como el jacobiano: $f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{matrix} x_{1}^{3} + x_{2} \\ x_{2}^{2} - \sin (x_{1}) \end{matrix}], d f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{cc} 3 x_{1}^{2} & 1 \\ - \cos (x_{1}) & 2 x_{2} \end{array}] .$ La matriz jacobiana es $\det (d f (x)) = 6 x_{1}^{2} x_{2} + \cos (x_{1})$ .

10.4 ILUSTRACIONES

10.4.1 La complejidad de Mandelbrot

Sea $T : ℂ \to ℂ$ definida como $z \to z^{2} + c$ , donde $z = x + i y$ . El conjunto de todos los $c = a + i b$ para los cuales los iterados $T^{n} (0)$ permanecen acotados es el conjunto de Mandelbrot $M$ . Para $c = - 1$ obtenemos $T (0) = - 1$ , $T^{2} (0) = T (- 1) = 0$ de modo que $T^{n} (z)$ es o bien $0$ o $- 1$ . El punto $c = - 1$ está en $M$ . El punto $c = 1$ da $T (0) = 1$ , $T^{2} (0) = 1^{2} = 1 = 2$ , $T^{3} (0) = 2^{2} + 1 = 5$ . Por inducción se muestra que $T^{n} (0)$ no converge. El punto $c = 1$ no está en $M$ .

10.4.2 De Mandelbrot a Mandelbulb

Si $T$ es la transformación en $ℝ^{3}$ que en coordenadas esféricas está dada por $T (x) = x^{2} + c$ , donde $x^{2}$ tiene coordenadas esféricas $(ρ^{2}, 2 ϕ, 2 θ)$ si $x$ tiene $(ρ, ϕ, θ)$ . Resulta que $T (x) = x^{8} + c$ da un buen análogo del conjunto de Mandelbrot, el Mandelbulb.

**Figura 4.** El **conjunto de Mandelbrot** $M = {c \in ℂ ∣ T (z) = z^{2} + c has bounded T^{n} (0)}$ . Hay una construcción similar en el espacio $ℝ^{3}$ que utiliza coordenadas esféricas. Esto conduce al **conjunto de Mandelbulb** $B = {c \in ℝ^{3} ∣ T (x) = x^{8} + c has bounded T^{n} (0)}$ , donde $x^{8}$ tiene coordenadas esféricas $(ρ^{8}, 8 ϕ, 8 θ)$ si $x$ tiene coordenadas esféricas $(ρ, ϕ, θ)$ .

EJERCICIOS

Ejercicio 1.

Encuentre las coordenadas polares de $(x, y) = (- 1, \sqrt{3})$ .
¿Qué punto tiene las coordenadas polares $(r, θ) = (2, π / 4)$ ?
Encuentre las coordenadas esféricas del punto $(x, y, z) = (1, 1, \sqrt{2})$ .
¿Qué punto tiene las coordenadas esféricas $(ρ, θ, ϕ) = (3, π / 2, π / 3)$ ?

Ejercicio 2.

Calcule $T_{c}^{n} (0)$ para $c = (1 + i)$ para $n = 1$ , $2$ , $3$ . ¿Está $1 + i$ en el conjunto de Mandelbrot?
¿Cuál es el número "ojo por ojo" $i^{i}$ ? (Puede usar $z^{w} = e^{w \log (z)}$ ).

Ejercicio 3.

¿Qué superficie se describe como $r = z$ ?
Describa la hipérbola $x^{2} - y^{2} = 5$ en coordenadas polares.
¿Qué superficie se describe como $ρ \sin (ϕ) = ρ^{2}$ ?
Describa el hiperboloide $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ en coordenadas esféricas.

Ejercicio 4.

Calcule la matriz jacobiana y el factor de distorsión del cambio de coordenadas $T (x, y) = (2 x + \sin (x) - y, x)$ (mapa de Chirikov).
Calcule la matriz jacobiana y el factor de distorsión del cambio de coordenadas $T (x, y) = (1 - 1.4 x^{2} - y, 0.3 x)$ (mapa clásico de Hénon).

P.D. Cuando se realiza el cambio de coordenadas del mapa de Chiriov una y otra vez, se puede observar caos. En el caso del mapa de Hénon, se ve un atractor extraño, un objeto fractal que, de manera similar a la curva de Koch encontrada la semana pasada, tiene una dimensión mayor que $1$ .

Ejercicio 5.

Verifique que el conjunto de Mandelbrot $M$ está contenido en el conjunto $| c | \leq 2$ . Como recordatorio, esto significa que debe demostrar que entonces $0 \to c \to c^{2} + c \to {(c^{2} + c)}^{2} + c \to \dots$ escapa al infinito.
Opcional: Utilice el mismo argumento para ver que el conjunto de Mandelbulb $B$ está contenido en el conjunto $| c | \leq 2$ .

Descartes: La Géometrie, 1637 (1 año después de la fundación del Harvard College)↩︎
D. Wells, ¿Cuál es la más bella?, Mathematical Intelligencer, 1988.↩︎