La integración como el reverso de la diferenciación

Diferenciar es el proceso mediante el cual, al proporcionarnos \(y\) (como una función de \(x\)), podemos encontrar \(\dfrac{dy}{dx}\).

Como cualquier otra operación matemática, el proceso de diferenciación puede invertirse; así, si al diferenciar \(y = x^4\) obtenemos \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^3\); si uno comienza con \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^3\), uno diría que al invertir el proceso se obtendría \(y = x^4\). Pero aquí surge un punto curioso. Deberíamos obtener \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^3\) si hubiéramos comenzado con cualquiera de los siguientes: \(x^4\), o \(x^4 + a\), o \(x^4 + c\), o \(x^4\) con cualquier constante añadida. Por lo tanto, es claro que al trabajar hacia atrás desde \(\dfrac{dy}{dx}\) a \(y\), uno debe prever la posibilidad de que haya una constante añadida, cuyo valor no estará determinado hasta ser conocido de alguna otra manera. Entonces, si al diferenciar \(x^n\) obtenemos \(nx^{n-1}\), al retroceder desde \(\dfrac{dy}{dx} = nx^{n-1}\) obtendremos \(y = x^n + C\); donde \(C\) representa la posible constante aún no determinada.

Claramente, al tratar con potencias de \(x\), la regla para trabajar hacia atrás será: Aumentar la potencia en \(1\), luego dividir por esa potencia aumentada y agregar la constante indeterminada.

Entonces, en el caso donde \[\frac{dy}{dx} = x^n,\] al trabajar hacia atrás, obtenemos \[y = \frac{1}{n + 1} x^{n+1} + C.\]

Si al diferenciar la ecuación \(y = ax^n\) obtenemos \[\frac{dy}{dx} = anx^{n-1},\] es cuestión de sentido común que comenzar con \[\frac{dy}{dx} = anx^{n-1},\] e invertir el proceso, nos dará \[y = ax^n.\] Así que, cuando estamos tratando con una constante multiplicadora, simplemente debemos poner la constante como un multiplicador del resultado de la integración.

Por lo tanto, si \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^2\), el proceso inverso nos da \(y = \frac{4}{3}x^3\).

Pero esto está incompleto. Porque debemos recordar que si hubiéramos comenzado con \[y = ax^n + C,\] donde \(C\) es cualquier cantidad constante, también habríamos encontrado \[\frac{dy}{dx} = anx^{n-1}.\]

Por lo tanto, cuando revertimos el proceso debemos recordar siempre agregar esta constante indeterminada, incluso si aún no sabemos cuál será su valor.

Este proceso, el inverso de diferenciar, se llama integración; ya que consiste en encontrar el valor de toda la cantidad \(y\) cuando solo se nos da una expresión para \(dy\) o para \(\dfrac{dy}{dx}\). Hasta ahora, hemos mantenido tanto como sea posible \(dy\) y \(dx\) juntos como una derivada: de aquí en adelante tendremos que separarlos con más frecuencia.

Si comenzamos con un caso simple, \[\frac{dy}{dx} = x^2,\] podemos escribir esto, si queremos, como \[dy = x^2\, dx.\]

Ahora, esta es una “ecuación diferencial” que nos informa que un elemento de \(y\) es igual al elemento correspondiente de \(x\) multiplicado por \(x^2\). Ahora, lo que queremos es el integral; por lo tanto, escriba con el símbolo apropiado las instrucciones para integrar ambos lados, así: \[\int dy = \int x^2\, dx.\]

[Nota sobre la lectura de integrales: lo anterior se leería así:

“Integral dee-wy igual a integral eks-cuadrado dee-eks.”]

Aún no hemos integrado: solo hemos escrito instrucciones para integrar—si podemos. Intentémoslo. Muchos otros tontos pueden hacerlo—¿por qué no nosotros también? El lado izquierdo es simplicidad pura. La suma de todos los pedazos de \(y\) es lo mismo que \(y\) en sí mismo. Así que podemos poner de inmediato: \[y = \int x^2\, dx.\]

Pero cuando llegamos al lado derecho de la ecuación, debemos recordar que lo que tenemos que sumar no son todos los \(dx\), sino todos los términos como \(x^2\, dx\); y esto no será lo mismo que \(\displaystyle x^2 \int dx\), porque \(x^2\) no es una constante. Porque algunos de los \(dx\) se multiplicarán por grandes valores de \(x^2\), y algunos serán multiplicados por pequeños valores de \(x^2\), de acuerdo con lo que \(x\) resulte ser. Así que debemos reflexionar sobre lo que sabemos sobre este proceso de integración siendo el inverso de la diferenciación. Ahora bien, nuestra regla para este proceso invertido al tratar con \(x^n\) es “aumentar la potencia en uno y dividir por el mismo número que esta potencia aumentada.” Es decir, \(x^2\, dx\) se cambiará¹ a \(\frac{1}{3} x^3\). Ponga esto en la ecuación; pero no olvide agregar la “constante de integración” \(C\) al final. Así obtenemos: \[y = \frac{1}{3} x^3 + C.\]

De hecho, ha realizado la integración. ¡Qué fácil es!

Probemos otro caso simple.

Sea \[\dfrac{dy}{dx} = ax^{12},\] donde \(a\) es cualquier constante multiplicadora. Bueno, encontramos al diferenciar que cualquier factor constante en el valor de \(y\) reaparecía sin cambios en el valor de \(\dfrac{dy}{dx}\). En el proceso inverso de integración, por lo tanto también reaparecerá en el valor de \(y\). Así que podemos trabajar como antes, de la siguiente manera: \[\begin{align} dy &= ax^{12} \cdot dx,\\ \int dy &= \int ax^{12} \cdot dx,\\ \int dy &= a \int x^{12}\, dx,\\ y &= a \times \frac{1}{13} x^{13} + C. \end{align}\]

Ya está hecho. ¡Qué fácil!

Comenzamos a darnos cuenta ahora de que integrar es un proceso de encontrar nuestro camino de regreso, en comparación con diferenciar. Si alguna vez, durante la diferenciación, hemos encontrado alguna expresión particular—en este ejemplo \(ax^{12}\)—podemos encontrar nuestro camino de regreso a la \(y\) de la cual fue derivada. El contraste entre los dos procesos puede ilustrarse con el siguiente comentario de un maestro conocido. Si un extraño fuera colocado en Trafalgar Square y le dijeran que encontrara su camino a la estación de Euston, podría encontrar la tarea desesperante. Pero si previamente había sido guiado desde la estación de Euston hasta Trafalgar Square, le resultaría comparativamente fácil encontrar su camino de regreso a la estación de Euston.

Integración de la Suma o Diferencia de Dos Funciones

Sea \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= x^2 + x^3, \end{align}\] entonces \[\begin{align} dy &= x^2\, dx + x^3\, dx. \end{align}\]

No hay razón por la cual no debamos integrar cada término por separado: porque, como se puede ver antes, descubrimos que cuando diferenciamos la suma de dos funciones separadas, la derivada era simplemente la suma de las dos diferenciaciones separadas. Así que, cuando trabajamos hacia atrás, integrando, la integración será simplemente la suma de las dos integraciones separadas.

Nuestras instrucciones serán entonces: \[\begin{align} \int dy &= \int (x^2 + x^3)\, dx \\ &= \int x^2\, dx + \int x^3\, dx \\ y &= \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{4} x^4 + C. \end{align}\]

Si alguno de los términos hubiera sido una cantidad negativa, el término correspondiente en el integral también habría sido negativo. Así que las diferencias se manejan tan fácilmente como las sumas.

Cómo Manejar los Términos Constantes

Supongamos que hay en la expresión a integrar un término constante—tal como este: \[\frac{dy}{dx} = x^n + b.\]

Esto es ridículamente fácil. Porque solo tienes que recordar que cuando derivaste la expresión \(y = ax\), el resultado fue \(\dfrac{dy}{dx} = a\). Por lo tanto, cuando trabajas al revés e integras, el constante reaparece multiplicado por \(x\). Así obtenemos \[\begin{align} dy &= x^n\, dx + b \cdot dx, \\ \int dy &= \int x^n\, dx + \int b\, dx, \\ y &= \frac{1}{n+1} x^{n+1} + bx + C. \end{align}\]

Aquí hay un montón de ejemplos sobre los cuales probar tus habilidades recién adquiridas.

Ejemplos

Todos estos son bastante fáciles. Probemos otro caso.

Dejemos que \[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= ax^{-1}. \end{align}\]

Procediendo como antes, escribiremos \[\begin{align} dy &= a x^{-1} \cdot dx,\\ \int dy &= a \int x^{-1}\, dx. \end{align}\]

Bueno, pero ¿cuál es el integral de \(x^{-1}\, dx\)?

Si retrocedes entre los resultados de diferenciar \(x^2\) y \(x^3\) y \(x^n\), etc., verás que nunca obtuvimos \(x^{-1}\) de ninguno de ellos como el valor de \(\dfrac{dy}{dx}\). Obtuvimos \(3x^2\) de \(x^3\); obtuvimos \(2x\) de \(x^2\); obtuvimos \(1\) de \(x^1\) (es decir, de \(x\) en sí mismo); pero no obtuvimos \(x^{-1}\) de \(x^0\), por dos muy buenas razones. Primero, \(x^0\) es simplemente \(= 1\), y es una constante, y la derivada de una constante es cero (no \(x^{-1}\)). Segundo, incluso si lo derivamos mediante la Regla de la Potencia, su derivada sería \(0 \times x^{-1}\), ¡y esa multiplicación por cero le da un valor cero²! Por lo tanto, cuando ahora llegamos a intentar integrar \(x^{-1}\, dx\), vemos que no está en ninguna parte en las potencias de \(x\) que son proporcionadas por la regla: \[\int x^n\, dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1}+C.\]

Es un caso excepcional.

Bueno; pero inténtalo de nuevo. Revisa todas las diferentes derivadas obtenidas de varias funciones de \(x\), e intenta encontrar entre ellas \(x^{-1}\). Una búsqueda suficiente mostrará que en realidad obtuvimos \(\dfrac{dy}{dx} = x^{-1}\) como el resultado de derivar la función \(y = \ln x\) (ver aquí).

Entonces, por supuesto, dado que sabemos que al derivar \(\ln x\) obtenemos \(x^{-1}\), sabemos que, al invertir el proceso, integrar \(dy = x^{-1}\, dx\) nos dará \(y = \ln x\). Pero no debemos olvidar el factor constante \(a\) que se nos dio, ni omitir agregar la constante indeterminada de integración. Esto, entonces, nos da como solución al problema actual, \[y = a \ln x + C.\] La fórmula anterior no es aceptable cuando \(x\) es negativa ya que los logaritmos de números negativos son imaginarios. Ahora la pregunta es: ¿Qué función al derivar da \(x^{-1}\) cuando \(x<0\)? Cuando \(x<0\), podemos tomar el logaritmo de \(-x\) ya que \(-x>0\). Veamos cuál es la derivada de \(\ln(-x)\). Para derivar \(\ln(-x)\), dejemos que \(u=-x\) y luego apliquemos la Regla de la Cadena: \[\begin{align} \frac{d(\ln(-x))}{dx}&=\frac{d(\ln u)}{du}\cdot\frac{du}{dx}\\ &=\frac{1}{u}\times (-1)\\ &=\frac{1}{-x}\times(-1)\\ &=\frac{1}{x} \end{align}\] Por lo tanto, \[\dfrac{d(\ln(-x))}{dx}=\frac{1}{x} \qquad\text{cuando }x<0.\] Dado que al derivar \(\ln(-x)\) obtenemos \(x^{-1}\) para \(x<0\), integrar \(dy=x^{-1}dx\) para \(x<0\) nos dará \(y=\ln(-x)\). Sabiendo esto, podemos escribir \[\int \frac{1}{x}dx=\left\{\begin{align} &\ln x+C_1 &&\text{si }x>0\\ &\ln(-x)+C_2 &&\text{si }x<0 \end{align}\right.\] donde \(C_1\) y \(C_2\) son dos constantes arbitrarias que no necesitan ser iguales. Para cualquier intervalo que no contenga \(x=0\), podemos combinar estos dos casos y escribir \[\int\frac{1}{x}dx=\ln |x|+C\] donde \(|x|\) se llama el valor absoluto de \(x\) y se define como \[|x|=\left\{\begin{align} &x &&\text{si }x\geq 0\\ &-x &&\text{si }x<0 \end{align}\right.\] Por lo tanto, \[\int\frac{a}{x}dx=a\ln|x|+C.\]

En resumen \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle \int{x^n dx}=\left\{\begin{align} &\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C &&(n\neq -1)\\[9pt] &\ln|x|+C && (n=-1) \end{align}\right.}\]

Nota—Aquí observe este hecho muy notable, que no podríamos haber integrado en el caso anterior si no hubiéramos tenido conocimiento de la diferenciación correspondiente. Si nadie hubiera descubierto que al derivar \(\ln x\) se obtenía \(x^{-1}\), nos habríamos quedado completamente atascados con el problema de cómo integrar \(x^{-1}\, dx\). De hecho, debe admitirse francamente que esta es una de las características curiosas del cálculo integral:—que no puedes integrar nada antes de que el proceso inverso de derivar algo más haya producido esa expresión que quieres integrar. Nadie, incluso hoy en día, es capaz de encontrar el integral general de la expresión, \[\frac{dy}{dx} = a^{-x^2},\] porque \(a^{-x^2}\) nunca ha sido encontrado como resultado de derivar algo más.

Otro caso simple:

Algunas otras Integrales

Ahora que sabemos que la integración es el inverso de la diferenciación, podemos de inmediato buscar las derivadas que ya conocemos, y ver de qué funciones se derivaron. Esto nos da las siguientes integrales listas: \begin{align} &\boldsymbol{y} && &&   \int \boldsymbol{y\, dx}      && \\   \hline\\ &x^{-1}; &&\qquad &&  \int x^{-1}\, dx      &&= \ln |x| + C. \\ % %\label{intex2} &\frac{1}{x+a}; && &&  \int \frac{1}{x+a}\, dx &&= \ln |x+a| + C. \\ % &e^x; && &&  \int e^x\, dx    &&= e ^x + C. \\ % &e^{-x}; &&&&  \int e^{-x}\, dx &&= -e^{-x} + C % \end{align} (porque si \(y = - \dfrac{1}{e^x}\),\(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{e^x \times 0 - 1 \times e^x}{e^{2x}} = e^{-x}\)). \begin{align} &\sin x; &&  &&  \int \sin x\, dx        &&= -\cos x + C. \\ % &\cos x; &&  &&  \int \cos x\, dx        &&= \sin x + C. \\ \end{align} También podemos deducir lo siguiente: \[\begin{align} &\ln x; &&&& \int\ln x\, dx &&= x(\ln x - 1) + C \end{align}\] (porque si \(y = x \ln x - x\),\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{x} + \ln x - 1 = \ln x\)). \[\begin{align} &\log_{10} x; &&&& \int\log_{10} x\, dx &&= \frac{1}{\ln 10} x (\ln x - 1) + C. \end{align}\] (porque \(\displaystyle \log_{10}x=\frac{\ln x}{\ln 10}\) y \(\displaystyle \int \ln x\, dx=x(\ln x-1)+\text{alguna constante}\)) \\begin{align} &a^x; &&  &&  \int a^x\, dx        &&= \dfrac{a^x}{\ln a} + C. \\ % % \label{cosax} &\cos ax; &&&& \int\cos ax\, dx     &&= \frac{1}{a} \sin ax + C \end{align} (porque si \(y = \sin ax\), \(\dfrac{dy}{dx} = a \cos ax\); por lo tanto, para obtener \(\cos ax\) uno debe derivar \(y = \dfrac{1}{a} \sin ax\)). \[\begin{align} &\sin ax; &&&& \int\sin ax\, dx &&= -\frac{1}{a} \cos ax + C. \end{align}\]

Pruebe también \(\cos^2\theta\); un pequeño truco simplificará los asuntos: \[\begin{gathered} \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = {2\cos^2 \theta - 1}; \end{gathered}\] por lo tanto, \[\begin{gathered} \cos^2\theta = \frac{1}{2}({\cos 2\theta + 1}), \end{gathered}\]

y \[\begin{align} \int\cos^2 \theta\, d\theta &= \frac{1}{2} \int (\cos 2\theta + 1)\, d\theta \\ &= \frac{1}{2} \int \cos 2 \theta\, d\theta + \frac{1}{2} \int d\theta. \\ &= \frac{\sin 2\theta}{4} + \frac{\theta}{2} + C. \end{align}\] (ver también aquí).

Vea también la Tabla de Formas Estándar. Debes crear tal tabla por ti mismo, incluyendo solo las funciones generales que has diferenciado e integrado con éxito. ¡Asegúrate de que crezca constantemente!

Ejercicios