Integración

El gran secreto ya ha sido revelado, este símbolo misterioso \(\displaystyle \int\), que al fin y al cabo es solo una larga \(S\), simplemente significa “la suma de,” o “la suma de todas esas cantidades como”. Por lo tanto, se asemeja a ese otro símbolo \(\sum\) (el griego Sigma), que también es un signo de suma. Existe esta diferencia, sin embargo, en la práctica de los matemáticos en cuanto al uso de estos signos, que mientras \(\sum\) generalmente se utiliza para indicar la suma de un número de cantidades finitas, el signo de integral \(\displaystyle \int\) generalmente se utiliza para indicar la suma de una gran cantidad de pequeñas cantidades de magnitud infinitamente pequeña, meros elementos de hecho, que constituyen el total requerido. Así que \(\displaystyle \int dy = y\), y \(\displaystyle \int dx = x\).

Cualquiera puede entender cómo el todo de algo puede concebirse como compuesto por un montón de pequeñas partes; y cuanto más pequeñas sean las partes, más de ellas habrá. Así, una línea de una pulgada de largo puede concebirse como compuesta de \(10\) partes, cada una \(\frac{1}{10}\) de una pulgada; o de \(100\) partes, cada parte siendo \(\frac{1}{100}\) de una pulgada; o de \(1,000,000\) partes, de las cuales cada una es \(\frac{1}{1,000,000}\) de una pulgada; o, llevando el pensamiento a los límites de lo concebible, puede considerarse compuesto por un número infinito de elementos cada uno de los cuales es infinitesimalmente pequeño.

Sí, dirás, pero ¿cuál es el uso de pensar en algo de esa manera? ¿Por qué no pensar en ello directamente, como un todo? La simple razón es que hay un gran número de casos en los que no se puede calcular la magnitud de la cosa como un todo sin calcular la suma de muchas pequeñas partes. El proceso de “integrar” es para permitirnos calcular totales que de otro modo seríamos incapaces de estimar directamente.

Primero tomemos uno o dos casos simples para familiarizarnos con este concepto de sumar un montón de partes separadas.

Consideremos la serie: \[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \cdots\]

Aquí cada término de la serie se forma tomando la mitad del valor del anterior. ¿Cuál es el valor total si pudiéramos continuar hasta un número infinito de términos? La respuesta es \(2\). Piénsalo, si quieres, como una línea. Comienza con

una pulgada; suma media pulgada, suma un cuarto; suma un octavo; y así sucesivamente. Si en algún punto de la operación nos detenemos, todavía habrá una pieza faltante para completar las \(2\) pulgadas; y la pieza faltante será siempre del mismo tamaño que la última pieza añadida. Así, si después de haber reunido \(1\), \(\frac{1}{2}\), y \(\frac{1}{4}\), nos detenemos, faltará \(\frac{1}{4}\). Si continuamos hasta haber añadido \(\frac{1}{64}\), todavía faltará \(\frac{1}{64}\). El resto necesitado siempre será igual al último término añadido. Solo mediante un número infinito de operaciones deberíamos llegar a las \(2\) pulgadas reales. Prácticamente, llegaríamos a él cuando lleguemos a piezas tan pequeñas que no puedan ser dibujadas—eso sería después de alrededor de \(10\) términos, ya que el undécimo término es \(\frac{1}{1024}\). Si queremos llegar tan lejos que ni siquiera los instrumentos de medida más avanzados lo detecten, simplemente tendríamos que llegar a unos \(40\) términos. Un típico microscopio óptico no mostraría ni siquiera el \(18^{\text{vo}}\) término. Así que el número infinito de operaciones no es una cosa tan terrible después de todo. El integral es simplemente la totalidad. Pero, como veremos, hay casos en los que el cálculo integral nos permite llegar al total exacto que habría como resultado de un número infinito de operaciones. En tales casos, el cálculo integral nos proporciona una manera rápida y fácil de llegar a un resultado que de otro modo requeriría un interminable proceso de elaboración. Así que es mejor no perder tiempo en aprender cómo integrar.

Pendientes de Curvas, y las Curvas Mismas

Hagamos una pequeña investigación preliminar sobre las pendientes de las curvas. Pues hemos visto que diferenciar una curva significa encontrar una expresión para su pendiente (o para sus pendientes en diferentes puntos). ¿Podemos realizar el proceso inverso de reconstruir la curva completa si la pendiente (o las pendientes) se nos indican?

Volvamos al Ejemplo [Case2]. Aquí tenemos la más simple de las curvas, una línea en pendiente con la ecuación \[y = ax+b.\]

Sabemos que aquí \(b\) representa la altura inicial de \(y\) cuando \(x= 0\), y que \(a\), que es lo mismo que \(\dfrac{dy}{dx}\), es la “pendiente” de la línea. La línea tiene una pendiente constante. A lo largo de ella, los triángulos elementales

tienen la misma proporción entre altura y base. Supongamos que tomamos los \(dx\)’s, y \(dy\)’s de magnitud finita, de modo que \(10\) \(dx\)'s formen una pulgada, entonces habría diez pequeños triángulos como

Ahora, suponga que nos ordenaron reconstruir la “curva,” comenzando solamente con la información de que \(\dfrac{dy}{dx} = a\). ¿Qué podríamos hacer? Aún tomando los pequeños \(d\)'s de tamaño finito, podríamos dibujar \(10\) de ellos, todos con la misma pendiente, y luego unirlos, extremo a extremo, así:

Y, como la pendiente es la misma para todos, se unirían para formar, como en la figura anterior, una línea en pendiente con la pendiente correcta \(\dfrac{dy}{dx} = a\). Y, ya sea que tomemos los \(dy\)’s y \(dx\)'s como finitos o infinitamente pequeños, como todos son iguales, claramente \(\dfrac{y}{x} = a\), si calculamos \(y\) como el total de todos los \(dy\)'s, y \(x\) como el total de todos los \(dx\)'s. Pero, ¿dónde debemos colocar esta línea inclinada? ¿Debemos comenzar en el origen \(O\), o más arriba? Como la única información que tenemos es sobre la pendiente, no tenemos instrucciones sobre la altura particular sobre \(O\); de hecho, la altura inicial es indeterminada. La pendiente será la misma, cualquiera sea la altura inicial. Por lo tanto, hagamos un intento de lo que se puede querer, y comencemos la línea inclinada a una altura \(C\) sobre \(O\). Es decir, tenemos la ecuación \[y = ax + C.\]

Ahora resulta evidente que en este caso la constante añadida significa el valor particular que \(y\) tiene cuando \(x = 0\).

Ahora tomemos un caso más difícil, el de una línea, cuya pendiente no es constante, sino que se eleva cada vez más. Supongamos que la pendiente ascendente aumenta cada vez más conforme \(x\) crece. En símbolos esto es: \[\frac{dy}{dx} = ax.\] O, para dar un caso concreto, tomemos \(a = \frac{1}{5}\), de manera que \[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5} x.\]

Entonces sería mejor comenzar calculando algunos de los valores de la pendiente en diferentes valores de \(x\), y también dibujar pequeños diagramas de ellos.

Cuando

\(x=0\)	\(\dfrac{dy}{dx}=0\)
\(x=1\)	\(\dfrac{dy}{dx}=0.2\)
\(x=2\)	\(\dfrac{dy}{dx}=0.4\)
\(x=3\)	\(\dfrac{dy}{dx}=0.6\)
\(x=4\)	\(\dfrac{dy}{dx}=0.8\)
\(x=5\)	\(\dfrac{dy}{dx}=1.0\)

Ahora trata de juntar las piezas, colocando cada una de manera que el centro de su base esté a la distancia adecuada hacia la derecha, y así encajen en las esquinas; así (ve la figura siguiente). El resultado, por supuesto, no es una curva suave: pero es una aproximación a una.

Si hubiésemos tomado fragmentos la mitad de largos, y el doble de numerosos, como la figura siguiente, tendríamos una mejor aproximación. Pero para una curva perfecta deberíamos tomar cada \(dx\) y su correspondiente \(dy\) infinitesimalmente pequeño, e infinitamente numerosos.

Entonces, ¿cuánto debería ser el valor de cualquier \(y\)? Claramente, en cualquier punto \(P\) de la curva, el valor de \(y\) será la suma de todos los pequeños \(dy\)’s desde \(0\) hasta ese nivel, es decir, \(\displaystyle \int dy = y\). Y como cada \(dy\) es igual a \(\frac{1}{5}x \cdot dx\), se sigue que el total \(y\) será igual a la suma de todos esos fragmentos como \(\frac{1}{5}x \cdot dx\), o, como deberíamos escribirlo, \(\displaystyle \int \frac{1}{5}x \cdot dx\).

Ahora, si \(x\) hubiera sido constante, \(\displaystyle \int \frac{1}{5}x \cdot dx\) habría sido lo mismo que \(\frac{1}{5} x \int dx\), o \(\frac{1}{5}x^2\). Pero \(x\) comenzó siendo \(0\), y aumenta hasta el valor particular de \(x\) en el punto \(P\), de modo que su valor medio de \(0\) a ese punto es \(\frac{1}{2}x\). Por lo tanto \(\displaystyle \int \frac{1}{5} x\, dx = \frac{1}{10} x^2\); o \(y=\frac{1}{10}x^2\).

Pero, como en el caso anterior, esto requiere la adición de una constante indeterminada \(C\), porque no nos han dicho a qué altura sobre el origen comenzará la curva, cuando \(x = 0\). Así escribimos, como la ecuación de la curva dibujada a continuación, \[y = \frac{1}{10}x^2 + C.\]

Ejercicios