Fracciones Parciales. Derivada de una Función Inversa
Fracciones Parciales
Hemos visto que cuando diferenciamos una fracción debemos realizar una operación bastante complicada; y, si la fracción en sí no es simple, el resultado será inevitablemente una expresión complicada. Si pudiéramos dividir la fracción en dos o más fracciones más simples de tal manera que su suma sea equivalente a la fracción original, podríamos entonces proceder a diferenciar cada una de estas expresiones más simples. Y el resultado de diferenciar sería la suma de dos (o más) derivadas, cada una de las cuales es relativamente simple; mientras que la expresión final, aunque por supuesto será la misma que se podría obtener sin recurrir a este truco, se obtiene así con mucho menos esfuerzo y aparece en una forma simplificada.
Veamos cómo alcanzar este resultado. Intenta primero la tarea de sumar dos fracciones para formar una fracción resultante. Tomemos, por ejemplo, las dos fracciones \(\dfrac{1}{x+1}\) y \(\dfrac{2}{x-1}\). Todo estudiante puede sumarlas y encontrar que su suma es \(\dfrac{3x+1}{x^2-1}\). Y del mismo modo pueden sumar tres o más fracciones. Ahora bien, este proceso ciertamente puede revertirse: es decir, que si se diera esta última expresión, es seguro que se puede descomponer nuevamente en sus componentes originales o fracciones parciales. Solo que no sabemos en cada caso que se nos presente cómo podemos dividirla así. Para averiguarlo, consideraremos un caso simple al principio. Pero es importante tener en cuenta que todo lo que sigue se aplica solo a lo que se llama fracciones algebraicas "propias", es decir, fracciones como las anteriores, que tienen el numerador de un grado menor que el denominador; es decir, aquellas en las que el índice más alto de \(x\) es menos en el numerador que en el denominador. Si tenemos que tratar con una expresión como \(\dfrac{x^2+2}{x^2-1}\), podemos simplificarla mediante la división, ya que es equivalente a \(1+\dfrac{3}{x^2-1}\); y \(\dfrac{3}{x^2-1}\) es una fracción algebraica propia a la que se puede aplicar la operación de dividir en fracciones parciales, como se explicará más adelante.
Caso I: Cuando los factores del denominador son todos de primer grado \(\boldsymbol{(ax+b)}\) y ninguno repetido
Si realizamos muchas sumas de dos o más fracciones cuyos denominadores contienen solo términos en \(x\), y ningún término en \(x^2\), \(x^3\) o cualquier otro poder de \(x\), siempre encontramos que el denominador de la fracción final resultante es el producto de los denominadores de las fracciones que fueron sumadas para formar el resultado. Se deduce que al factorizar el denominador de esta fracción final, podemos encontrar cada uno de los denominadores de las fracciones parciales que estamos buscando.
Ejemplo 13.1. Supongamos que queremos retroceder desde \(\dfrac{3x+1}{x^2-1}\) hasta los componentes que sabemos son \(\dfrac{1}{x+1}\) y \(\dfrac{2}{x-1}\). Si no supiéramos cuáles son esos componentes, aún podríamos preparar el camino escribiendo: \[\frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{3x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{}{x+1} + \frac{}{x-1},\] dejando en blanco los lugares para los numeradores hasta que sepamos qué poner allí. Siempre podemos asumir que el signo entre las fracciones parciales es más, ya que, si es menos, simplemente encontraremos que el numerador correspondiente es negativo. Ahora, dado que las fracciones parciales son fracciones propias, los numeradores son solo números sin \(x\) en absoluto, y podemos llamarlos \(A\), \(B\), \(C\dots\) como queramos. Entonces, en este caso, tenemos: \[\frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}.\]
Si ahora realizamos la suma de estas dos fracciones parciales, obtenemos \(\dfrac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}\); y esto debe ser igual a \(\dfrac{3x+1}{(x+1)(x-1)}\). Y, como los denominadores en estas dos expresiones son los mismos, los numeradores deben ser iguales, dándonos: \[3x + 1 = A(x-1) + B(x + 1).\]
Ahora, esta es una ecuación con dos cantidades desconocidas, y parecería que necesitamos otra ecuación antes de poder resolverlas y encontrar \(A\) y \(B\). Pero hay otra salida a esta dificultad. La ecuación debe ser cierta para todos los valores de \(x\); por lo tanto, debe ser cierta para tales valores de \(x\) que harán que \(x-1\) y \(x+1\) se vuelvan cero, es decir, para \(x=1\) y para \(x=-1\) respectivamente. Si hacemos \(x=1\), obtenemos \(4 = (A \times 0)+(B \times 2)\), de modo que \(B=2\); y si hacemos \(x=-1\), obtenemos \(-2 = (A \times -2) + (B \times 0)\), de modo que \(A=1\). Reemplazando el \(A\) y \(B\) de las fracciones parciales por estos nuevos valores, encontramos que se convierten en \(\dfrac{1}{x+1}\) y \(\dfrac{2}{x-1}\); y el trabajo está hecho.
Ejemplo 13.2. Como un ejemplo adicional, tomemos la fracción \(\dfrac{4x^2 + 2x - 14}{x^3 + 3x^2 - x - 3}\).
El denominador se vuelve cero cuando \(x\) tiene el valor \(1\); por lo tanto, \(x-1\) es un factor de él, y obviamente entonces el otro factor será \(x^2 + 4x + 3\);1 y esto puede descomponerse nuevamente en \((x+1)(x+3)\). Así que podemos escribir la fracción así: \[\frac{4x^2 + 2x - 14}{x^3 + 3x^2 - x - 3} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+3},\] haciendo tres factores parciales.
Procediendo como antes, encontramos \[4x^2 + 2x - 14 = A(x-1)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x-1).\]
Ahora, si hacemos \(x=1\), obtenemos: \[-8 = (A \times 0) + B(2 \times 4) + (C \times 0);\quad \text{es decir, } B = -1.\]
Si \(x= -1\), obtenemos: \[-12 = A(-2 \times 2) + (B \times 0) + (C \times 0);\quad \text{de donde } A = 3.\]
Si \(x = -3\), obtenemos: \[16 = (A \times 0) + (B \times 0) + C(-2 \times -4);\quad \text{de donde } C = 2.\]
Entonces las fracciones parciales son: \[\frac{3}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+3},\] lo que es mucho más fácil de derivar respecto a \(x\) que la expresión complicada de la que se deriva.
Caso II: Cuando el denominador contiene factores de segundo grado2 \(\boldsymbol{(ax^2+bx+c)}\) y ninguno repetido
Si algunos de los factores del denominador contienen términos en \(x^2\), y no se pueden poner convenientemente en factores, entonces el numerador correspondiente puede contener un término en \(x\), así como un número simple; y de ahí que se haga necesario representar este numerador desconocido no por el símbolo \(A\) sino por \(Ax + B\); siendo el resto del cálculo realizado como antes.
Ejemplo 13.3. Intente, por ejemplo: \[\begin{gathered} \frac{-x^2 - 3}{(x^2+1)(x+1)}. \\ \frac{-x^2 - 3}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x+1};\\ -x^2 - 3 = (Ax + B)(x+1) + C(x^2+1). \end{gathered}\]
Poniendo \(x= -1\), obtenemos \(-4 = C \times 2\); y \(C = -2\);
entonces \[-x^2 - 3 = (Ax+B)(x + 1) - 2x^2 - 2;\] y \[x^2 - 1 = Ax(x+1) + B(x+1).\]
Poniendo \(x = 0\), obtenemos \(-1 = B\);
entonces \[x^2 - 1 = Ax(x + 1) - x - 1;\quad \text{o } x^2 + x = Ax(x+1);\] y \[x+1 = A(x+1),\] de modo que \(A=1\), y las fracciones parciales son: \[\frac{x-1}{x^2+1} - \frac{2}{x+1}.\]
Ejemplo 13.4. Tomemos como otro ejemplo la fracción \[\frac{x^3-2}{(x^2+1)(x^2+2)}.\]
Obtenemos \[\begin{align} \frac{x^3-2}{(x^2+1)(x^2+2)} &= \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+2}\\ &= \frac{(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)}{(x^2+1)(x^2+2)}. \end{align}\]
En este caso, la determinación de \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) no es tan fácil. Será más simple proceder de la siguiente manera: Dado que la fracción dada y la fracción encontrada al sumar las fracciones parciales son iguales y tienen denominadores idénticos, los numeradores deben también ser idénticamente los mismos. En tal caso, y para tales expresiones algebraicas como las con las que estamos tratando aquí, los coeficientes de los mismos poderes de \(x\) son iguales y del mismo signo.
Por lo tanto, dado que \[\begin{align} x^3-2 &= (Ax+B)(x^2+2) + (Cx+D)(x^2+1) \\ &= (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (2A+C)x + 2B+D, \end{align}\] tenemos \(1=A+C\);\(0=B+D\) (el coeficiente de \(x^2\) en la expresión izquierda siendo cero); \(0=2A+C\); y \(-2=2B+D\). Aquí hay cuatro ecuaciones, de las cuales obtenemos fácilmente \(A=-1\); \(B=-2\); \(C=2\); \(D=0\); de modo que las fracciones parciales son \(\dfrac{2(x+1)}{x^2+2} - \dfrac{x+2}{x^2+1}\). Este método siempre puede usarse; pero el método mostrado primero será el más rápido en el caso de factores solo en \(x\).
Caso III: Cuando el denominador contiene factores de primer o segundo grado y algunos repetidos
Cuando, entre los factores del denominador, hay algunos que están elevados a alguna potencia, uno debe permitir la posible existencia de fracciones parciales que tengan por denominador las varias potencias de ese factor hasta la más alta.
Ejemplo 13.5. Al dividir la fracción \(\dfrac{3x^2-2x+1}{(x+1)^2(x-2)}\), debemos permitir la posible existencia de un denominador \(x+1\) igual que \((x+1)^2\) y \((x-2)\).
Quizás se piense, sin embargo, que, dado que el numerador de la fracción cuyo denominador es \((x+1)^2\) puede contener términos en \(x\), debemos permitir esto al escribir \(Ax+B\) para su numerador, de modo que \[\frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{Ax+B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{x-2}.\] Sin embargo, si intentamos encontrar \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) en este caso, fallamos, porque obtenemos cuatro incógnitas; y solo tenemos tres relaciones que las conectan, pero \[\frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{x-1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-2}.\]
Pero si escribimos \[\frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{A}{(x+1)^2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-2},\] obtenemos \[3x^2 - 2x+1 = A(x-2) + B(x+1)(x-2) + C(x+1)^2,\] que da \(C=1\) para \(x=2\). Reemplazando \(C\) por su valor, transponiendo, reuniendo términos similares y dividiendo por \(x-2\), obtenemos \(-2x= A+B(x+1)\), lo que da \(A=-2\) para \(x=-1\). Reemplazando \(A\) por su valor, obtenemos \[2x = -2+B(x+1).\]
Por lo tanto, \(B=2\); de modo que las fracciones parciales son: \[\frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2},\] en lugar de \(\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{x-1}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{x-2}\) mencionado anteriormente como las fracciones de las que se obtuvo \(\dfrac{3x^2-2x+1}{(x+1)^2(x-2)}\). El misterio se aclara si observamos que \(\dfrac{x-1}{(x+1)^2}\) puede en sí misma dividirse en dos fracciones \(\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{2}{(x+1)^2}\), de modo que las tres fracciones dadas son realmente equivalentes a \[\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2} = \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2},\] que son las fracciones parciales obtenidas.
Como podemos ver en el ejemplo anterior, es suficiente permitir un término numérico en cada numerador, y que siempre obtenemos las fracciones parciales definitivas.
Cuando hay una potencia de un factor de \(x^2\) en el denominador, sin embargo, los numeradores correspondientes deben ser de la forma \(Ax+B\).
Ejemplo 13.6. \[\frac{3x-1}{(2x^2-1)^2(x+1)} = \frac{Ax+B}{(2x^2-1)^2} + \frac{Cx+D}{2x^2-1} + \frac{E}{x+1},\]
que da \[3x - 1 = (Ax + B)(x + 1) + (Cx + D)(x + 1)(2x^2 - 1) + E(2x^2 - 1)^2.\]
Para \(x = -1\), esto da \(E = -4\). Reemplazando, transponiendo, recogiendo términos similares y dividiendo por \(x + 1\), obtenemos \[16x^3 - 16x^2 + 3 = 2Cx^3 + 2Dx^2 + x(A - C) + (B - D).\]
Por lo tanto, \(2C = 16\) y \(C = 8\); \(2D = -16\) y \(D = -8\); \(A - C = 0\) o \(A - 8 = 0\) y \(A = 8\), y finalmente, \(B - D = 3\) o \(B = -5\). Así que obtenemos como las fracciones parciales: \[\frac{(8x - 5)}{(2x^2 - 1)^2} + \frac{8(x - 1)}{2x^2 - 1} - \frac{4}{x + 1}.\]
Es útil verificar los resultados obtenidos. La forma más sencilla es reemplazar \(x\) por un solo valor, digamos \(+1\), tanto en la expresión dada como en las fracciones parciales obtenidas.
Siempre que el denominador contiene solo potencias de un único factor, un método muy rápido es el siguiente:
Ejemplo 13.7. Tomando, por ejemplo, \(\dfrac{4x + 1}{(x + 1)^3}\), sea \(x + 1 = z\); luego \(x = z - 1\).
Reemplazando, obtenemos \[\frac{4(z - 1) + 1}{z^3} = \frac{4z - 3}{z^3} = \frac{4}{z^2} - \frac{3}{z^3}.\]
Las fracciones parciales son, por lo tanto, \[\frac{4}{(x + 1)^2} - \frac{3}{(x + 1)^3}.\]
Aplicación de Fracciones Parciales en la Diferenciación
Sea requerido diferenciar \(y = \dfrac{5-4x}{6x^2 + 7x - 3}\); tenemos \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= -\frac{(6x^2+7x-3) \times 4 + (5 - 4x)(12x + 7)}{(6x^2 + 7x - 3)^2}\\ &= \frac{24x^2 - 60x - 23}{(6x^2 + 7x - 3)^2}. \end{align}\]
Si dividimos la expresión dada en \[\frac{1}{3x-1} - \frac{2}{2x+3},\] obtenemos, sin embargo, \[\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{(3x-1)^2} + \frac{4}{(2x+3)^2},\] que es realmente el mismo resultado que arriba dividido en fracciones parciales. Pero la división, si se hace después de diferenciar, es más complicada, como se verá fácilmente. Cuando tratemos con la integración de tales expresiones, encontraremos la división en fracciones parciales un precioso auxiliar (ver aquí).
Ejercicios
Divida en fracciones
Ejercicio 13.1. \(\dfrac{3x + 5}{(x - 3)(x + 4)}\).
Respuesta
\(\dfrac{2}{ x - 3} + \dfrac{1}{ x + 4}\).
Solución
\[\begin{align} \frac{3 x+5}{(x-3)(x+4)}&=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+4} \\ &=\frac{A(x+4)+B(x-3)}{(x-3)(x+4)} \end{align}\] \[\Rightarrow A(x+4)+B(x-3)=3 x+5\quad(*)\]
Para \(x=3\), obtenemos \[7 A+B \times 0 =3 \times 3+5=14\] \[\Rightarrow \boxed{A =2}\]
Poniendo \(x=-4\) en (*), obtenemos \[0 \times A-7 B =-12+5=-7\] \[\Rightarrow \boxed{B =1}\] Por lo tanto \[\frac{3 x+5}{(x-3)(x+4)}=\frac{2}{x-3}+\frac{1}{x+4}\]
Ejercicio 13.2. \(\dfrac{3x - 4}{(x - 1)(x - 2)}\).
Respuesta
\(\dfrac{1}{ x - 1} + \dfrac{2}{ x - 2}\).
Solución
\[\frac{3 x-4}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}\]
\[\Rightarrow \quad 3 x-4=A(x-2)+B(x-1)\qquad (*)\]
Poniendo \(x=1\) en (*), obtenemos \[-1=A(-1)+B \times 0\] \[\Rightarrow \boxed{A=1}\]
Poniendo \(x=2\) en (*), obtenemos \[3 \times 2-4=A \times 0+B \\ \] \[\Rightarrow \boxed{B=2}\]
Por lo tanto,
\[\frac{3 x-4}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}\]
Ejercicio 13.3. \(\dfrac{3x + 5}{x^2 + x - 12}\).
Respuesta
\(\dfrac{2}{ x - 3} + \dfrac{1}{ x + 4}\).
Solución
\[\frac{3 x+5}{x^{2}+x-12}\]
Puesto que \(x^{2}+x-12=(x+4)(x-3)\), escribimos
\[\frac{3 x+5}{x^{2}+x-12}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-3}\] \[\Rightarrow 3 x+5=A(x-3)+B(x+4)\qquad (*)\]
Poniendo \(x=-4\) en (*), obtenemos
\[-7=A(-7) \Rightarrow \boxed{A=1}\]
Poniendo \(x=3\) en (*), obtenemos
\[\begin{gathered} 14=A \times 0+7 B \\ \Rightarrow \boxed{B=2} \\ \end{gathered}\] \[\frac{3 x+5}{x^{2}+x-12}=\frac{1}{x+4}+\frac{2}{x-3} .\]
Ejercicio 13.4. \(\dfrac{x + 1}{x^2 - 7x + 12}\).
Respuesta
\(\dfrac{5}{ x - 4} - \dfrac{4}{ x - 3}\).
Solución
\[\frac{x+1}{x^{2}-7 x+12}\]
Puesto que \(x^{2}-7 x+12=(x-4)(x-3)\) \[\frac{x+1}{x^{2}-7 x+12}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x-3}\] \[\Rightarrow x+1=A(x-3)+B(x-4) \qquad (*)\]
Poniendo \(x=4\) en (*), obtenemos \[5=A+0 \Rightarrow \boxed{A=5}\]
Poniendo \(x=3\) en (*), obtenemos \[4=0-B \Rightarrow \boxed{B=-4}\]
Por lo tanto,
\[\frac{x+1}{x^{2}-7 x+12}=\frac{5}{x-4}-\frac{4}{x-3}\]
Ejercicio 13.5. \(\dfrac{x - 8}{(2x + 3)(3x - 2)}\).
Respuesta
\(\dfrac{19}{13(2x + 3)} - \dfrac{22}{13(3x - 2)}\).
Solución
\[\frac{x-8}{(2 x+3)(3 x-2)}=\frac{A}{2 x+3}+\frac{B}{3 x-2}\] \[\Rightarrow x-8=A(3 x-2)+B(2 x+3)\qquad (*)\]
Poniendo \(x=-\frac{3}{2}\) en (*), obtenemos
\[-\frac{19}{2}=-\frac{13}{2} A+0\]
\[\Rightarrow \boxed{A=\frac{19}{13}}\]
Poniendo \(x=\frac{2}{3}\) en (*), obtenemos
\[\begin{gathered} -\frac{22}{3}=A \times 0+B \times \frac{13}{3} \\ \boxed{B=-\frac{22}{13} }\\ \end{gathered}\]
Por lo tanto, \[\frac{x-8}{(2 x+3)(3 x-2)}=\frac{19}{13(2 x+3)}-\frac{22}{13(3 x-2)}.\]
Ejercicio 13.6. \(\dfrac{x^2 - 13x + 26}{(x - 2)(x - 3)(x - 4)}\).
Respuesta
\(\dfrac{2}{ x - 2} + \dfrac{4}{ x - 3} - \dfrac{5}{ x - 4}\).
Solución
\[\frac{x^{2}-13 x+26}{(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{x-4}.\] Así que \[x^{2}-13 x+26=A(x-3)(x-4)+B(x-2)(x-4)+C(x-2)(x-3)\quad (*)\]
Poniendo \(x=2\) en (*), obtenemos \[4=A(-1)(-2)+0+0\] \[\Rightarrow \boxed{A=2}\]
Poniendo \(x=3\) en (*), obtenemos
\[-4=0+B(1)(-1)+0\] \[\Rightarrow \boxed{B=4}\]
Poniendo \(x=4\) en (*), obtenemos
\[\begin{gathered} -10=0+0+C(2)(1) \\ \Rightarrow \boxed{C=-5} \end{gathered}\]
Por lo tanto,
\[\frac{x^{2}-13 x+26}{(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{2}{x-2}+\frac{4}{x-3}-\frac{5}{x-4}\]
Ejercicio 13.7. \(\dfrac{x^2 - 3x + 1}{(x - 1)(x + 2)(x - 3)}\).
Respuesta
\(\dfrac{1}{6(x - 1)} + \dfrac{11}{15(x + 2)} + \dfrac{1}{10(x - 3)}\).
Solución
\[\frac{x^{2}-3 x+1}{(x-1)(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-3}\] Por lo tanto, \[x^{2}-3 x+1=A(x+2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x+2)\quad (*)\]
Poniendo \(x=1\) en (*)
\[\begin{gathered} -1=A \times 3 \times(-2)+0+0 \\ \boxed{A=\frac{1}{6}} \end{gathered}\]
Poniendo \(x=-2\) en (*)
\[\begin{gathered} 11=0+B(-3)(-5)+0 \\ \boxed{B=\frac{11}{15}} \end{gathered}\]
Poniendo \(x=3\) en (*) \[\begin{gathered} 1=0+0+C(2)(5) \\ \boxed{C=\frac{1}{10}} \end{gathered}\]
Así que
\[\frac{x^{2}-3 x+1}{(x-1)(x+2)(x-3)}=\frac{1}{6(x-1)}+\frac{11}{15(x+2)}+\frac{1}{10(x-3)}\]
Ejercicio 13.8. \(\dfrac{5x^2 + 7x + 1}{(2x + 1)(3x - 2)(3x + 1)}\).
Respuesta
\(\dfrac{7}{9(3x + 1)} + \dfrac{71}{63(3x - 2)} - \dfrac{5}{7(2x + 1)}\).
Solución
\[\frac{5 x^{2}+7 x+1}{(2 x+1)(3 x-2)(3 x+1)}=\frac{A}{2 x+1}+\frac{B}{3 x-2}+\frac{C}{3 x+1}\] Por lo tanto, \[5 x^{2}+7 x+1=A(3 x-2)(3 x+1)+B(2 x+1)(3 x+1)+C(2 x+1)(3 x-2) \quad (*)\]
Poniendo \(x=-\frac{1}{2}\) en (*), \[-\frac{5}{4} =A\left(-\frac{7}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)+0+0\]
\[\Rightarrow \boxed{A =-\frac{5}{7}}\]
Poniendo \(x=\frac{2}{3}\) en (*)
\[\begin{gathered} \frac{71}{9}=0+B\left(\frac{7}{3}\right)(3) \\ \Rightarrow \boxed{B=\frac{71}{63}} \end{gathered}\]
Poniendo \(x=-\frac{1}{3}\) en (*)
\[\begin{gathered} -\frac{7}{9}=0+0+C\left(\frac{1}{3}\right)(-3) \\ \Rightarrow \boxed{C=\frac{7}{9}} \end{gathered}\]
Por lo tanto, \[\frac{5 x^{2}+7 x+1}{(2 x+1)(3 x-2)(3 x+1)}=-\frac{5}{7(2 x+1)}+\frac{71}{63(3 x-2)}+\frac{7}{9(3 x+1)}\]
Ejercicio 13.9. \(\dfrac{x^2}{x^3 - 1}\).
Respuesta
\(\dfrac{1}{3(x - 1)} + \dfrac{2x + 1}{3(x^2 + x + 1)}\).
Solución
\[\frac{x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{x^{2}}{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B x+C}{x^{2}+x+1}\] Se deduce que \[x^{2}=A\left(x^{2}+x+1\right)+(B x+C)(x-1)\quad (*)\] Para \(x=1\), tenemos \[1 =A(3)+(B+C)(0)\] \[\Rightarrow \boxed{A=\frac{1}{3}}\] Sustituyendo \(A=\frac{1}{3}\) en (*), expandiendo y recogiendo términos similares, obtenemos \[\begin{align} & x^{2}=\frac{1}{3}\left(x^{2}+x+1\right)+B x^{2}+(C-B) x-C \\ & x^{2}=\left(B+\frac{1}{3}\right) x^{2}+\left(C-B+\frac{1}{3}\right) x-C+\frac{1}{3} \end{align}\] Por lo tanto, debemos tener \(B+\frac{1}{3}=1\), \(C-B+\frac{1}{3}=0\) y \(-C+\frac{1}{3}=0\): \[\begin{align} & B+\frac{1}{3}=1 \Rightarrow B=\frac{2}{3} \\ & C-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=0 \Rightarrow C=\frac{1}{3} \\ & -C+\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0 \quad \text { Verificado } \end{align}\]
Por lo tanto
\[\frac{x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{1}{3(x-1)}+\frac{\frac{2}{3} x+\frac{1}{3}}{x^{2}+x+1}\]
Ejercicio 13.10. \(\dfrac{x^4 + 1}{x^3 + 1}\).
Respuesta
\(x + \dfrac{2}{3(x + 1)} + \dfrac{1 - 2x}{3(x^2 - x + 1)}\).
Solución
\[\frac{x^{4}+1}{x^{3}+1}\]
Puesto que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, no tenemos una fracción propia. Podemos dividir el numerador por el denominador para obtener una fracción propia:
Por lo tanto
\[\frac{x^{4}+1}{x^{3}+1}=x+\frac{1-x}{x^{3}+1}\]
Puesto que \(x^{3}+1=(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)\), escribimos
\[\frac{1-x}{x^{3}+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{x^{2}-x+1}\]
\[1-x=A\left(x^{2}-x+1\right)+(B x+C)(x+1)\qquad (*)\]
Poniendo \(x=-1\) en (*), obtenemos \[\begin{gathered} 2=A(3)+(C-B)(0) \\ \Rightarrow \boxed{A=\frac{2}{3}} \end{gathered}\]
Así que \[1-x=\frac{2}{3}\left(x^{2}-x+1\right)+B x^{2}+B x+C x+C\] Expandiendo y recogiendo términos similares, obtenemos \[\left(\frac{2}{3}+B\right) x^{2}+\left(-\frac{2}{3}+1+B+C\right) x+C+\frac{2}{3}-1=0\] Debemos tener \(\frac{2}{3}+B=0\), \(-\frac{2}{3}+1+B+C=0\) y \(C+\frac{2}{3}-1=0\): \[\begin{align} \frac{2}{3}+B=0 & \Rightarrow \boxed{B=-\frac{2}{3}} \\ C-\frac{1}{3}=0 & \Rightarrow \boxed{C=\frac{1}{3}} \end{align}\]
\[-\frac{2}{3}+1+B+C=-\frac{2}{3}+1-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=0 \text { (verificación) }\]
Por lo tanto
\[\frac{x^{4}+1}{x^{3}+1}=x+\frac{2}{3(x+1)}+\frac{1-2 x}{3\left(x^{2}-x+1\right)}\]
Ejercicio 13.11. \(\dfrac{5x^2 + 6x + 4}{(x +1)(x^2 + x + 1)}\).
Respuesta
\(\dfrac{3}{(x + 1)} + \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\).
Solución
\[\frac{5 x^{2}+6 x+4}{(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{x^{2}+x+1}\] \[5 x^{2}+6 x+4=A\left(x^{2}+x+1\right)+(B x+C)(x+1)\quad (*)\]
Para \(x=-1\), tenemos \[3=A(1)+(B x+C)(0)\] \[\Rightarrow \boxed{A=3}\] Sustituyendo \(A=3\) en (*) lleva a \[\begin{align} 5 x^{2}+6 x+4&=3\left(x^{2}+x+1\right)+B x^{2}+(B+C) x+C \\ & =(3+B) x^{2}+(B+C+3) x+3+C \end{align}\] \[\Rightarrow \left\{\begin{align} &3+B=5 \\ &B+C+3=6\\ &3+C=4 \end{align} \right. \Rightarrow \boxed{B=2, C=1}\]
Por lo tanto
\[\frac{5 x^{2}+6 x+4}{(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{3}{x+1}+\frac{2 x+1}{x^{2}+x+1}\]
Ejercicio 13.12. \(\dfrac{x}{(x - 1)(x - 2)^2}\).
Respuesta
\(\dfrac{1}{ x - 1} - \dfrac{1}{ x - 2} + \dfrac{2}{(x - 2)^2}\).
Solución
\[\frac{x}{(x-1)(x-2)^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}}\]
Para cada \(x\), debemos tener
\[x=A(x-2)^{2}+B(x-1)(x-2)+C(x-1)\]
Para \(x=1\),
\[\begin{align} & 1=A \times(1-2)^{2}+B \times 0+C \times 0 \\ & \Rightarrow \boxed{A=1} \end{align}\]
Para \(x=2\),
\[2=0+0+C \Rightarrow \boxed{C=2}\]
Puesto que ningún otro valor de \(x\) hará que algún factor se anule, elegimos un valor conveniente de \(x\) para simplificar el cálculo. Por ejemplo, para \(x=0\), obtenemos
\[0=1 \times(0-2)^{2}+B(0-1)(0-2)+2(0-1)\]
o
\[0=4+2 B-2 \Rightarrow \boxed{B=-1}\]
Por lo tanto
\[\frac{x}{(x-1)(x-2)^{2}}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-2}+\frac{2}{(x-2)^{2}}\]
Ejercicio 13.13. \(\dfrac{x}{(x^2 - 1)(x + 1)}\).
Respuesta
\(\dfrac{1}{4(x - 1)} - \dfrac{1}{4(x + 1)} + \dfrac{1}{2(x + 1)^2}\).
Solución
\[\frac{x}{\left(x^{2}-1\right)(x+1)}=\frac{x}{(x-1)(x+1)^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}}\]
Por lo tanto, para cada \(x\), debemos tener
\[x=A(x+1)^{2}+B(x-1)(x+1)+C(x-1)\]
Para \(x=1\)
\[1=A \times 2^{2}+0+0 \Rightarrow \boxed{A=\frac{1}{4}}\]
Para \(x=-1\)
\[-1=0+0+C(-2) \Rightarrow \boxed{C=\frac{1}{2}}\]
Para \(x=0\)
\[0=\frac{1}{4} \times(0+1)^{2}-B+\frac{1}{2}(-1) \Rightarrow \boxed{B=-\frac{1}{4}}\]
Por lo tanto \[\frac{x}{\left(x^2-1\right)(x+1)}=\frac{1}{4(x-1)}-\frac{1}{4(x+1)}+\frac{1}{2(x+1)^2}\]
Ejercicio 13.14. \(\dfrac{x + 3}{ (x +2)^2(x - 1)}\).
Respuesta
\(\dfrac{4}{9(x - 1)} - \dfrac{4}{9(x + 2)} - \dfrac{1}{3(x + 2)^2}\).
Solución
\[\frac{x+3}{(x+2)^{2}(x-1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{(x+2)^{2}}\]
Para cada \(x\), debemos tener
\[x+3=A(x+2)^{2}+B(x-1)(x+2)+C(x-1)\]
Para \(x=1\)
\[4=9 A+0+0 \Rightarrow \boxed{A=\frac{4}{9}}\]
Para \(x=-2\)
\[1=0+0+C(-3) \Rightarrow \boxed{C=-\frac{1}{3}}\]
Una elección conveniente para \(x\) para simplificar los cálculos es cero. Pero puedes elegir otro valor para \(x\).
Para \(x=0\)
\[\begin{align} 3&=\frac{4}{9} \times 4+B(-1)(2)-\frac{1}{3}(-1) \\ & \Rightarrow \boxed{B=-\frac{4}{9}} \end{align}\]
Por lo tanto
\[\frac{x+3}{(x+2)^{2}(x-1)}=\frac{4}{9(x-1)}-\frac{4}{9(x+2)}-\frac{1}{3(x+2)^{2}}\]
Ejercicio 13.15. \(\dfrac{3x^2 + 2x + 1}{(x + 2)(x^2 + x + 1)^2}\).
Respuesta
\(\dfrac{1}{ x + 2} - \dfrac{x - 1}{ x^2 + x + 1} - \dfrac{1}{(x^2 + x + 1)^2}\).
Solución
\[\frac{3 x^{2}+2 x+1}{(x+2)\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}=\frac{A}{x+2}+\frac{B x+C}{x^{2}+x+1}+\frac{D x+E}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}\]
Para cada \(x\), tenemos \[3 x^{2}+2 x+1=A\left(x^{2}+x+1\right)^{2}+(B x+E)\left(x^{2}+x+1\right)(x+2)+(D x+E)(x+2)\]
Para \(x=-2\), tenemos
\[9=A \times 3^{2}+0+0 \Rightarrow \boxed{A=1}\]
Para encontrar \(B, C, D\), y \(E\), elegimos algunos valores convenientes de \(x\). Luego intentamos resolver el sistema de ecuaciones.
Para \(x=0\)
\[\begin{gathered} 1=1 \times 1+C(1)(2)+E(2) \\ \Rightarrow 2 C+2 E=0 \\ \boxed{E=-C} \end{gathered}\]
Para \(x=1\),
\[\begin{align} 6= & 1 \times 3^{2}+(B+C)(3)(3)+(D-C)(3) \\ & 9 B+6 C+3 D=-3 \end{align}\]
Para \(x=-1\),
\[\begin{gathered} 2=1+(C-B)(1)(1)+(-C-D)(1) \\ B+D=-1 \end{gathered}\]
Para \(x=2\),
\[\begin{align} 17= & 49+(2 B+C)(7)(4)+(2 D-C)(4) \\ & 56 B+24 C+8 D=-32 \end{align}\]
o
\[\left\{\begin{array}{c} 9 B+6 C+3 D=-3 \\ B+D=-1 \\ 14 B+6 C+2 D=-8 \end{array} \Rightarrow \boxed{B=-1, C=1, D=0}\right.\] Por lo tanto
\[\frac{3 x^{2}+2 x+1}{(x+2)\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}=\frac{1}{x+2}-\frac{x-1}{x^{2}+x+1}-\frac{1}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}\]
Ejercicio 13.16. \(\dfrac{5x^2 + 8x - 12}{(x + 4)^3}\).
Respuesta
\(\dfrac{5}{ x + 4} -\dfrac{32}{(x + 4)^2} + \dfrac{36}{(x + 4)^3}\).
Solución
\[\frac{5 x^{2}+8 x-12}{(x+4)^{3}}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{(x+4)^{2}}+\frac{C}{(x+4)^{3}}\]
Para cada \(x\), debemos tener
\[5 x^{2}+8 x-12=A(x+4)^{2}+B(x+4)+C\]
Para \(x=-4\)
\[36=0+0+C \Rightarrow \boxed{C=36}\]
Para \(x=-3\)
\[9=A+B+36 \Rightarrow A+B=-27\]
Para \(x=0\)
\[-12=16 A+4 B+36 \Rightarrow 4 A+B=-12\]
\[\left\{\begin{array}{l} A+B=-27 \\ 4 A+B=-12 \end{array} \Rightarrow \boxed{A=5, B=-32}\right.\]
Por lo tanto
\[\frac{5 x^{2}+8 x-12}{(x+4)^{3}}=\frac{5}{x+4}-\frac{32}{(x+4)^{2}}+\frac{36}{(x+4)^{3}}\]
Ejercicio 13.17.