Teorema de Rolle, Teorema del Valor Medio, Máximos y Mínimos

Hemos mencionado antes las funciones continuas, pero reenunciemos la definición preliminar que hemos utilizado. Sea $f (x)$ una función que está definida en un intervalo que contiene a $x_{0}$ . Entonces decimos que $f (x)$ es continua en $x_{0}$ si cambiar $x$ solo ligeramente desde $x_{0}$ produce solo un pequeño cambio en el valor de $f (x)$ respecto a su valor $f (x_{0})$ en $x_{0}$ . Más brevemente, si $x$ está cerca de $x_{0}$ , entonces $f (x)$ está cerca de $f (x_{0})$ . Observemos que esta definición es imprecisa en el sentido de que las palabras pequeño y cerca no tienen un significado exacto. Para una persona, $.01$ podría ser lo bastante cerca, mientras que otra podría considerar un número como pequeño hasta que sea menor que $.00001$ . La definición precisa de continuidad que eventualmente daremos satisfará a ambas personas y a todas las demás también.

Ahora sea $f (x)$ definida para todo $x$ tal que $a \leq x \leq b$ . Un punto $x_{0}$ de este intervalo se llama un máximo de $f (x)$ en el intervalo si $f (x_{0}) \geq f (x)$ para todo $x$ tal que $a \leq x \leq b$ . $x_{1}$ se llama un mínimo de $f (x)$ en el intervalo si $f (x_{1}) \leq f (x)$ para $a \leq x \leq b$ . No todas las funciones necesitan tener máximos o mínimos; considérese, por ejemplo, la función

\left\{ \begin{aligned} f(x) &= x, \quad 0 \le x < 1 \\ f(1) &= 0 \end{aligned} \right\}

Su gráfica es

donde la línea oblicua no tiene punto extremo derecho. Esta función no tiene máximo en el intervalo $0 \leq x \leq 1$ . Pues ciertamente 1 no puede ser un máximo ya que $f (1) = 0 < f (1 / 2)$ . Pero si $a < 1$ fuera a ser un máximo, observemos que

a < \frac{a + 1}{2} < 1 .

Por lo tanto

a = f (a) < f (\frac{a + 1}{2}) = \frac{a + 1}{2},

de modo que $a$ no puede ser un máximo. Notemos, sin embargo, que esta función no es continua en 1.

Más adelante en el curso, demostraremos el siguiente teorema:

Teorema 1

Sea $f (x)$ continua en cada punto del intervalo $a \leq x \leq b$ . Entonces existe al menos un $x_{0}, a \leq x_{0} \leq b$ , tal que $x_{0}$ es un máximo para $f (x)$ en $a \leq x \leq b$ .

Observemos que se sigue que $f (x)$ tiene un mínimo en $a \leq x \leq b$ . Pues un mínimo de $f (x)$ es simplemente un máximo de $- f (x)$ . Ahora sea $f (x)$ con un máximo en $x_{0}, a < x_{0} < b$ , de modo que $x_{0}$ no es un punto extremo. Entonces consideremos el cociente diferencial

\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} .

Para todo $h$ ,

f (x_{0} + h) - f (x_{0}) \leq 0 .

Si $h > 0$ ,

\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \leq 0 .

Si $h < 0$ ,

\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \geq 0 .

Si f'(x_0) existe, estas expresiones se acercan al límite común f'(x_0) cuando $h \to 0$ . Pero si f'(x_0) > 0, la primera (para $h > 0$ ) nunca podría acercarse a f'(x_0) más que la distancia de f'(x_0) a 0. Si f'(x_0) < 0, la segunda expresión ( $h < 0$ ) no podría acercarse a él. Por lo tanto, debemos tener f'(x_0) = 0. Nuestra conclusión es entonces:

Teorema 2

Sea $f (x)$ definida para $a \leq x \leq b$ y sea $x_{0}$ un punto tal que $a < x_{0} < b$ y tal que $x_{0}$ es un máximo para $f (x)$ en $a \leq x \leq b$ . Entonces, si f'(x_0) existe, debemos tener f'(x_0) = 0.

(Podríamos igualmente bien haber usado "mínimo" en lugar de "máximo".)

Teorema 3. Teorema de Rolle

Sea $f (x)$ continua en el intervalo $a \leq x \leq b$ . Sea $f (x)$ derivable para todo $x$ tal que $a < x < b$ . Si $f (a) = f (b)$ , entonces existe un $ξ, a < ξ < b$ , tal que f'(\xi) = 0.

Para funciones de aspecto suave esto parece evidente, pero aún debemos demostrarlo. Se sigue con bastante rapidez del teorema sobre la existencia de un máximo y de nuestras observaciones sobre la derivada en un máximo.

Demostración del Teorema de Rolle.

Dado que $f (x)$ es continua, $f (x)$ tiene un máximo y un mínimo en $a \leq x \leq b$ . Ahora bien, o bien $f (x)$ es constante para $a \leq x \leq b$ , o bien $f (x) > f (a) = f (b)$ para algún $x$ , o bien $f (x) < f (a) = f (b)$ para algún $x$ . En el primer caso, hemos visto que f'(x) = 0 siempre que $a \leq x \leq b$ , y podemos tomar $ξ$ como cualquier punto tal que $a < ξ < b$ . En el segundo caso, cualquier máximo $x_{0}$ de $f (x)$ satisface $a < x_{0} < b$ , de modo que f'(x_0) existe. Pero hemos visto que entonces f'(x_0) = 0, y podemos tomar $ξ = x_{0}$ . Si el segundo caso no se cumple, y $f (x)$ no es constante, entonces cualquier mínimo $x_{1}$ de $f (x)$ satisface $a < x_{1} < b$ , y f'(x_1) = 0 como antes. En este caso podemos tomar $ξ = x_{1}$ . Así queda demostrado el teorema.

A continuación demostramos una consecuencia del Teorema de Rolle, llamada el Teorema del Valor Medio, que es quizás el resultado más útil que hemos tenido hasta ahora.

Teorema 4. Teorema del Valor Medio

Sea $f (x)$ continua para $a \leq x \leq b$ , derivable para $a < x < b$ . Entonces existe un $ξ, a < ξ < b$ , tal que

f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a) .

Deseamos formar una nueva función $g (x)$ que satisfaga las condiciones del Teorema de Rolle y tal que la conclusión del Teorema de Rolle para $g (x)$ implique el resultado deseado. Por lo tanto, probamos con

g (x) = f (x) (b - a) - x (f (b) - f (a)) .

Entonces $g (a) = g (b) = f (a) \cdot b - f (b) \cdot a$ , $g (x)$ es continua para $a \leq x \leq b$ , porque $f (x)$ lo es, y

g'(x) = f'(x)(b - a) - (f(b) - f(a)), \quad a < x < b,

de modo que $g (x)$ es derivable para $a < x < b$ . Por el Teorema de Rolle, existe un $ξ, a < ξ < b$ , tal que

g'(\xi) = 0 = f'(\xi)(b - a) - (f(b) - f(a)),

o sea

f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a),

como deseábamos. Así queda demostrado el Teorema del Valor Medio.

Geométricamente, el teorema del valor medio significa que si formamos una secante a la gráfica de una función que satisface las condiciones, hay un punto entre las intersecciones de la secante con la gráfica donde la tangente a la curva es paralela a esta secante.

Significado geométrico del Teorema del Valor Medio

Diremos considerablemente más sobre los usos del Teorema del Valor Medio a medida que avancemos; asimismo discutiremos con mayor detalle las cuestiones de máximos y mínimos un poco más adelante. Esbocemos por el momento los procedimientos que podemos usar para determinar los máximos y mínimos de una función $f (x)$ que es continua para $a \leq x \leq b$ , y es derivable para $a < x < b$ . Sabemos que si $f (x)$ tiene un máximo (o mínimo) en $x_{0}$ , con $a < x_{0} < b$ , entonces f'(x_0) = 0. También es concebible que un máximo, un mínimo, o ambos, puedan ocurrir en los puntos extremos $a$ y $b$ . Por lo tanto, sean $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ todos los puntos dentro del intervalo donde f'(x) = 0, y consideremos los números

f (a), f (b), f (x_{1}), f (x_{2}), \dots, f (x_{n}) .

Cualquier valor de $x$ correspondiente al mayor de estos es un máximo; un valor correspondiente al menor es un mínimo. Puede ser, por lo tanto, que haya puntos $x_{0}$ con f'(x_0) = 0 que no sean ni máximos ni mínimos para $f (x)$ .

Ejercicios

Ejercicio 1.

Encuentre un máximo y un mínimo para las siguientes funciones en los intervalos correspondientes:
a) $f (x) = x^{3} - 6 x, 0 \leq x \leq 7.$
b) $f (x) = x, - 7 \leq x \leq 17.$
c) f(x) = \left\{ \begin{aligned} x^2 \sin \frac{1}{x}, \quad x \neq 0 \\ 0 \quad \text{si } x = 0 \end{aligned} \right\}, \quad -\frac{2}{\pi} \le x \le \frac{2}{\pi} .

Teorema de Rolle, Teorema del Valor Medio, Máximos y Mínimos

Ejercicios

Enlaces rápidos

Redes sociales