El sistema de los números reales

Ahora volveremos a los conceptos primeros y precisaremos algunas ideas que han quedado algo indefinidas. En las secciones siguientes suministramos demostraciones de los teoremas básicos que hemos usado sin demostración. Se verá a lo largo del camino que las herramientas de las que disponías por tu formación previa eran totalmente inadecuadas para demostrar, por ejemplo, que una función continua en un intervalo tiene allí un máximo.

Para empezar, establecemos explícitamente las propiedades de los números que usamos. Hay varias maneras de hacer esto. Una de ellas establece las propiedades de los enteros positivos, y construye a partir de ellos un sistema con las propiedades que enumeramos a continuación. Otra, que preferimos para este curso, consiste en establecer un conjunto de reglas básicas, o axiomas: "El sistema de números con el que trabajaremos ha de tener las propiedades ...". Los axiomas se dividen de manera natural en tres grupos, que llamamos los axiomas de cuerpo, los axiomas de orden y el axioma de continuidad. A lo largo de estos axiomas, las letras $a, b, c, \dots$ representan miembros de un conjunto de objetos que acordamos llamar números. En este conjunto, suponemos que podemos sumar $a$ a $b$ para obtener un número $a + b$ , y que podemos multiplicar $a$ por $b$ para obtener un número $a b$ . El primer grupo de axiomas, los axiomas de cuerpo, expresan propiedades de estas operaciones de las cuales pueden derivarse todas las demás propiedades.

Grupo I. Axiomas de Cuerpo

A1) $a + b = b + a$
A2) $(a + b) + c = a + (b + c)$
A3) Existe exactamente un número $0$ tal que $a + 0 = a$ para todo $a$ .
A4) Para cada $a$ , existe exactamente un número $- a$ tal que $a + (- a) = 0$ .
M1) $a b = b a$
M2) $(a b) c = a (b c)$
M3) Existe exactamente un número $1 \neq 0$ tal que para todo $a$ , $a \cdot 1 = a$ .
M4) Si $a \neq 0$ , existe exactamente un número $a^{- 1}$ tal que $a a^{- 1} = 1$ .
D) $a (b + c) = a b + a c$ .

Los axiomas A1) – 4) dan las propiedades de la suma,
M1) – 4) las propiedades de la multiplicación.
El axioma D), la ley distributiva, conecta las dos operaciones.
A1) y M1) expresan las leyes conmutativas para la suma y la multiplicación, respectivamente,
A2) y M2) las leyes asociativas.
El número $0$ de A3) se llama por supuesto "cero" y el $1$ de M3) se llama "uno", aunque debe considerarse distinto del "uno" usado al contar.
El número $- a$ de A4) se llama el opuesto de $a$ ,
el número $a^{- 1}$ de M4) el inverso de $a$ .
No se puede definir un sistema en el que se satisfagan los axiomas de cuerpo y que contenga un inverso para $0$ .

Obsérvese que los axiomas de cuerpo son satisfechos por una clase de sistemas mucho más amplia que nuestra noción previa de números reales; por ejemplo, son satisfechos por los números racionales.

Suministramos algunas demostraciones de muestra para ilustrar nuestra afirmación de que todas las propiedades de la suma y la multiplicación se siguen de los axiomas de cuerpo.

Teorema 1

- (- a) = a \cdot

$a + (- a) = 0$ ; $(- a) + a = a + (- a) = 0$ , por A1); Pero $- (- a)$ es el único número $b$ tal que $- a + b = 0$ , por A4). Por lo tanto $a = - (- a)$ .

Teorema 2

a \cdot 0 = 0 \cdot

$a = a \cdot 1$ , por M3); pero $1 = 1 + 0$ , por A3). Por D),

a = a \cdot 1 = a \cdot (1 + 0) = a \cdot 1 + a \cdot 0 = a + a \cdot 0 \cdot

Por lo tanto

(- a) + a = (- a) + (a + a \cdot 0) = ((- a) + a) + a \cdot 0,

por A2). Pero $(- a) + a = 0$ , por A2) y A4), de modo que tenemos $0 = 0 + a \cdot 0 = a \cdot 0$ , por A3).

Teorema 3

(- 1) \cdot a = - a \cdot

$0 = 1 + (- 1)$ . Por lo tanto $a \cdot 0 = a (1 + (- 1)) = a \cdot 1 + a (- 1)$ , o bien, por el último teorema, $0 = a \cdot 1 + a (- 1) = a + (- 1) a$ , por M3) y M1). Como $- a$ es el único número $b$ tal que $a + b = 0$ , tenemos $(- 1) a = - a$ .

Teorema 4

(- a) (- b) = a b \cdot

$b + (- b) = 0$ . Por lo tanto $a (b + (- b)) = a \cdot 0 = 0$ , o bien, por D), $a b + a (- b) = 0$ . Así, $a (- b) = - (a b)$ . También $a + (- a) = 0$ , de modo que $(a + (- a)) (- b) = a (- b) + (- a) (- b) = 0$ . Así, $a (- b) = - (- a) (- b)$ , o bien, $- (a b) = - (- a) (- b)$ . Tomando opuestos una vez más, vemos por el primer teorema que $a b = (- a) (- b)$ .

Obsérvese que a lo largo de estas demostraciones hemos usado lo que quizá hayas visto como el principio de que "a los iguales se les puede sustituir por iguales." Pero no se ha tratado de un caso de sustitución; el número $0$ es el mismo ya sea que se escriba como $0, a + (- a), (- b) + b$ , o lo que sea. Es solo la representación del número la que cambia, y simplemente usamos el principio de que si una regla vale para un número, no importa cómo representemos ese número al aplicar la regla.

Ejercicio 1.

Demuestra que $- (a + b) = (- a) + (- b)$ ; $- (b - a) = a - b$ , donde $a - b = a + (- b)$ .

El segundo grupo de axiomas trata del ordenamiento de los números. Les damos la forma de axiomas sobre los números positivos, y luego definimos $a < b$ para significar " $b - a$ es positivo."

Grupo II. Axiomas de Orden

Tomamos como base para todos estos axiomas la existencia de un cierto conjunto $P$ de números, al que llamaremos "números positivos." Los axiomas dan las propiedades que $P$ ha de tener.

P1) Si $a$ y $b$ están en $P$ , también lo está $a + b$ .
P2) Si $a$ y $b$ están en $P$ , también lo está $a b$ .
P3) Si $a$ es cualquier número $\neq 0$ , entonces o bien $a$ está en $P$ o $- a$ está en $P$ , pero no ambos.
P4) $0$ no está en $P$ .

Definición 1.

Ahora definimos $a < b$ para significar " $b - a$ está en $P$ ". $a \leq b$ ha de significar "o bien $a < b$ o $a = b$ ". En lugar de $a < b$ a veces escribimos $b > a$ y de manera similar $b \geq a$ para $a \leq b$ .

De los axiomas de los Grupos I y II podemos demostrar todas las propiedades de $a < b$ :

Teorema 5

Para dos números cualesquiera $a$ y $b$ , se cumple exactamente una de las siguientes alternativas: $a < b, b < a, a = b$ .

Considera el número $b - a$ . Si $b - a$ está en $P$ , entonces $a < b$ , $- (b - a) = a - b$ no está en $P$ , y $a \neq b$ . Entonces $a < b$ se cumple, y ni $a = b$ ni $b < a$ se cumplen. A continuación supón que $b - a$ no está en $P$ . Entonces $a < b$ no se cumple. Pero si $a \neq b$ , $- (b - a) = a - b$ está en $P$ , por P3); en otras palabras, $b < a$ . La única posibilidad restante es $a = b$ , en cuyo caso ni $b - a$ ni $a - b$ están en $P$ , ya que ambos son $0$ .

Teorema 6

Si $a < b$ , entonces $a + c < b + c$ .

Sea $a < b$ , es decir, $b - a$ está en $P$ . Pero $(b + c) - (a + c) = b + c - a - c = b - a$ está en $P$ . Por lo tanto $a + c < b + c$ .

Teorema 7

Si $a < b$ y $c > 0$ (es decir, $c$ está en $P$ ), entonces $c a < c b$ .

$b - a$ está en $P$ , y $c$ está en $P$ . Por lo tanto $c (b - a) = c b - c a$ está en $P$ , por P2). Así, $c a < c b$ .

Teorema 8

Si $a < b$ y $b < c$ , entonces $a < c$ .

Si $a < b$ y $b < c$ , entonces tanto $b - a$ como $c - b$ están en $P$ . Entonces, por P1), también lo está $(c - b) + (b - a) = c - a$ , o bien, $a < c$ .

Teorema 9

Si $a \neq 0$ , entonces $a^{2}$ está en $P$ .

O bien $a$ está en $P$ o $- a$ está en $P$ . Si $a$ está en $P$ , entonces por P2), $a a = a^{2}$ está en $P$ . Si $- a$ está en $P$ , entonces $(- a) (- a) = a \cdot a = a^{2}$ está en $P$ . Esto completa la demostración.

Teorema 10

$1 > 0$ , es decir, $1$ está en $P$ .

$1 = 1^{2}$ .

Ejercicios

Demuestra lo siguiente:

Ejercicio 2.

Si $a < b$ , entonces $- b < - a$ .

Ejercicio 3.

Si $a < b$ y $c < 0$ , entonces $b c < a c$ .

Ejercicio 4.

Si $a b > 0$ , entonces o bien $a > 0$ y $b > 0$ o bien $a < 0$ y $b < 0$ .

Ejercicio 5.

Si $a > 0$ , entonces $a^{- 1} > 0$ ; si $a < 0$ , entonces $a^{- 1} < 0$ .

Ejercicio 6.

Si $a < b$ y $c < d$ , entonces $a + c < b + d$ .

Ejercicio 7.

Los enteros son un sistema que satisface todos los axiomas de los Grupos I y II excepto M4). Considerando pares $(m, n)$ (o $\frac{m}{n}$ , si lo deseas) de enteros con $n \neq 0$ , desarrolla las operaciones y el ordenamiento de los números racionales. Nota que el número racional que representamos por $\frac{2}{3}$ también puede representarse por $\frac{6}{9}, \frac{4}{6}, \frac{- 2}{- 3}$ , etc. Por lo tanto $\frac{m}{n}$ no será en sí un número racional, sino una manera de representar un número racional. Debes dejar claro cuándo dos pares \frac{m}{n}, \frac{m'}{n'} representan el mismo número racional.

Grupo III. Axioma de Continuidad

Todos los axiomas de los Grupos I y II son satisfechos por los números racionales. Pero dentro de los números racionales no podemos demostrar el teorema que hemos usado en el Capítulo 12, a saber, que una función continua $f (x)$ en $a \leq x \leq b$ , tal que $f (a) < f (b)$ , toma todos los valores entre $f (a)$ y $f (b)$ en el intervalo. Por ejemplo, consideremos el dilema de los griegos, que no tenían ningún número para representar la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado $1$ . Por el teorema de Pitágoras, la diagonal $d$ satisfaría $d^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$ . Pero no existe un número racional $d$ con esta propiedad; pues si existiera, escribimos $d = \frac{m}{n}$ como una fracción en términos mínimos, donde $m$ y $n$ son enteros. Entonces

d^{2} = \frac{m^{2}}{n^{2}} = 2,

o bien, $m^{2} = 2 n^{2}$ . Así, $m^{2}$ es divisible por $2$ . Pero si $m$ fuera impar, esto sería imposible; por lo tanto $m$ es par, digamos $m = 2 p$ . Entonces $4 p^{2} = 2 n^{2}$ , o bien, $n^{2} = 2 p^{2}$ , y así $n$ también es par. Por lo tanto $\frac{m}{n}$ no pudo haber estado en términos mínimos, ya que podemos cancelar un $2$ . Esto es una contradicción, lo que significa que la suposición original de que $d$ era racional es falsa.

En términos del teorema del valor intermedio, esto puede interpretarse como sigue: $y = f (x) = x^{2}$ es continua para $0 \leq x \leq 2$ , y $f (0) = 0 < 4 = f (2)$ . Si el teorema del valor intermedio se cumpliera para los números racionales, habría un número racional $x_{0}$ entre $0$ y $2$ tal que $x_{0}^{2} = 2$ . Pero no existe tal número racional. Para demostrar el teorema del valor intermedio necesitamos así una propiedad adicional que un sistema que satisfaga solo los axiomas de cuerpo y de orden no necesita poseer. Es el hecho de que no tenías experiencia con esta propiedad lo que hizo imposible demostrar el teorema en el momento en que se enunció. Antes de dar el axioma, sin embargo, debemos hacer algunas definiciones.

Definición 2.

Sea $S$ cualquier conjunto de números. Un número $M$ se llama una cota superior para $S$ si $x \leq M$ siempre que $x$ esté en $S$ . Un número $N$ es una cota inferior para $S$ si $N \leq x$ siempre que $x$ esté en $S$ . El conjunto de todos los números no tiene cotas superiores ni inferiores, por ejemplo, si $M$ fuera una cota superior, entonces $M + 1$ sería un número y $M + 1 > M$ . El conjunto de todos los números negativos tiene muchas cotas superiores, por ejemplo $41, 29 \frac{3}{8}, 0, π, \sqrt{2}$ , pero ninguna cota inferior.

Definición 3.

Un número $M$ se llama una mínima cota superior para $S$ si:
a) $M$ es una cota superior para $S$ ; y
b) no existe ninguna cota superior M' para $S$ tal que M' < M.

La máxima cota inferior se define de manera similar. Una mínima cota superior para el conjunto de los números negativos es $0$ ; esta es también una mínima cota superior para el conjunto de los números no positivos. Si $S$ no contiene números, entonces cualquier número es una cota superior para $S$ , de modo que $S$ no puede tener una mínima cota superior. Es evidente que si $S$ tiene una mínima cota superior, solo tiene una.

Ahora podemos enunciar nuestro axioma final:

C) Si un conjunto no vacío $S$ tiene una cota superior, tiene una mínima cota superior.

Se sigue que si $𝑺$ tiene una cota inferior, tiene una máxima cota inferior. Pues si $- S$ denota el conjunto de los opuestos de los elementos de $S$ , y si $M$ es una cota inferior para $S$ , entonces $- M$ es una cota superior para $- S$ . Por lo tanto $- S$ tiene una mínima cota superior M', y -M' es una máxima cota inferior para $S$ . Como primera aplicación, demostramos que los enteros no tienen cota superior.

Teorema 11

No existe cota superior para el conjunto $1, 2, 3, \dots$ .

Supón que el teorema es falso; entonces, por C), los enteros tienen una mínima cota superior $M$ . Entonces $M - 1$ no puede ser una cota superior, de modo que existe un entero $n > M - 1$ . Pero entonces $n + 1 > (M - 1) + 1 = M$ , y $n + 1$ es un entero. Esto contradice la suposición de que $M$ era una cota superior, y así queda demostrado el teorema. (Nota que se sigue que si $ϵ$ es cualquier número positivo, existe un entero positivo $n$ tal que $\frac{1}{n} < ϵ$ ; pues de lo contrario, $\frac{1}{ϵ}$ sería una cota superior para los enteros positivos.)

Ahora sabemos que hay en nuestro sistema un número $d$ tal que $d^{2} = 2$ . Esto se seguirá de la continuidad de $x^{2}$ y del teorema del valor intermedio, pero demos una indicación de cómo podría demostrarse directamente. Sea $S$ el conjunto de los números racionales positivos $r$ tales que $r^{2} < 2$ . Entonces $1$ está en $S$ , de modo que $S$ no es vacío. $2$ es una cota superior para $S$ , pues si $r > 2$ , entonces $r^{2} > 2^{2} = 4 > 2$ , y $r$ no está en $S$ . Así que sea $d$ la mínima cota superior para $S$ . Si $d^{2} > 2$ , sea $d^{2} - 2 = ϵ > 0$ . Sea $n$ un entero tal que $\frac{4}{n} < ϵ$ , o bien, $\frac{1}{n} < \frac{ϵ}{4}$ . Entonces

{(d - \frac{1}{n})}^{2} = d^{2} - \frac{2 d}{n} + \frac{1}{n^{2}} \geq d^{2} - \frac{4}{n} + \frac{1}{n^{2}},

puesto que $d \leq 2$ , o bien,

{(d - \frac{1}{n})}^{2} \geq d^{2} - ϵ + \frac{1}{n^{2}} > d^{2} - ϵ = 2 \cdot

Así, $d - \frac{1}{n}$ es una cota superior para $S$ y es menor que $d$ , lo cual es imposible. Por lo tanto $d^{2} \leq 2$ . Si $d^{2} < 2$ , encontramos un número racional $r$ en $S$ tal que $r > d$ . (Si $2 - d^{2} = δ > 0$ , sea $n$ un entero positivo tal que $\frac{1}{n^{2}} < δ$ ; entonces sea $q$ un entero positivo tan grande que haya un cuadrado de un entero, $m$ , entre $(2 n^{2} - 1) q^{2}$ y $2 n^{2} q^{2}$ . Sea $r = \frac{m}{q n} \cdot$ Entonces $r^{2} < 2$ , y $r > d \cdot$ ) La única posibilidad restante es $d^{2} = 2$ .

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