Diferencial total y gradiente

Sea $f(x,y)$ una función de dos variables. Supongamos que la primera variable $x$ se cambia en una cantidad $dx$ y la segunda en una cantidad $dy$. El valor de la función en el nuevo punto es entonces $f(x+dx,y+dy)$. La cantidad en que ha cambiado el valor de la función es

$$f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\cdot$$

Esta expresión es una función de cuatro variables $x,y,dx,dy$. Se llama la diferencial total de $f(x,y)$, y se escribe simplemente como $df$:

$$df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\cdot$$

A menudo la diferencial total se discute en términos de "infinitesimales", término que se refiere a $dx$ y $dy$. Sin embargo, nunca se da una definición adecuada de infinitesimal. La única manera en que podemos trabajar con $dx$ y $dy$ es considerando estas cantidades como números, que es lo que haremos. También es común escribir que

$$df=f_{x}dx+f_{y}dy,$$

donde $f_x$ y $f_y$ se refieren a $f_x(x,y)$ y $f_y(x,y)$. Veremos que esto es realmente solo una fórmula aproximada, y obtendremos alguna idea del error en su aplicación. No hay objeción al uso de la fórmula, siempre que se interprete en este sentido.

Ahora reconsideremos la diferencial total. Para empezar, escribimos $df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)$ como

$$f(x+dx,y+dy)-f(x+dx,y)+f(x+dx,y)-f(x,y)\cdot$$

Luego aplicamos el teorema del valor medio para obtener

$$df=f_y(x+dx,\eta )dy+f_x(\xi ,y)dx,$$

donde $\xi$ está entre $x$ y $x+dx$ y $\eta$ está entre $y$ y $y+dy$. Suponemos que $f_x$ y $f_y$ son continuas. Entonces

$$f_y(x+dx,\eta )-f_y(x,y)=\alpha (dx,dy),$$

donde $\alpha (dx,dy)$ tiende a cero cuando $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ tiende a cero (puesto que $(x+dx,\eta )$ está en el rectángulo con vértices $(x,y),(x+dx,y),(x+dx,y+dy),(x,y+dy)$, y por tanto se aproxima a $(x,y)$ cuando $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$, la diagonal del rectángulo, tiende a $0$). De igual manera,

$$f_x(\xi ,y)-f_x(x,y)=\beta (dx,dy)$$

tiende a $0$ cuando $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ tiende a $0$. Nuestra fórmula se convierte ahora en

$$df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy+\beta (dx,dy)dx+\alpha (dx,dy)dy\cdot$$

Ahora, si es cualquier número positivo pequeño, podemos elegir $dx$ y $dy$ de modo que $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ sea tan pequeño que y , pues esto es justamente el significado de la afirmación de que estas cantidades tienden a cero cuando $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ tiende a cero. Entonces tenemos

\begin{aligned} |\alpha(dx, dy) dy + \beta(dx, dy) dx| &\le |\alpha(dx, dy)| |dy| + |\beta(dx, dy)| |dx| \\ &< \epsilon |dy| + \epsilon |dx| = \epsilon (|dx| + |dy|) \cdot \end{aligned}

Ahora, $|dx|+|dy|\le 2\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$, de modo que cuando $dx$ y $dy$ se eligen suficientemente pequeños, el error al usar $f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$ para aproximar la diferencial total es tal que

En otras palabras,

$$\frac{\text{error}}{\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}}\to 0\text{cuando }\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}\to 0\cdot$$

Esto es exactamente lo que querremos decir cuando digamos: "El error es pequeño en comparación con $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$". Así, nuestro resultado es el siguiente:

$$df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy,$$

con un error que es pequeño en comparación con $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$. Este es entonces el sentido en el cual la fórmula se interpreta correctamente.

La expresión $f_{x}dx+f_{y}dy$ que aparece en la fórmula anterior puede expresarse en notación vectorial como el producto escalar

$$(f_x,f_y)\cdot (dx,dy)\cdot$$

Hay poca razón para hacer esto en dos dimensiones. Sin embargo, podemos definir la diferencial total de una función $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ de $n$ variables como la cantidad

$$f(x_1+d{x}_1,x_2+d{x}_2,\dots ,x_n+d{x}_n)-f(x_1,x_2,\dots ,x_n),$$

una función de $2n$ variables, y demostrar como arriba que

$$df=(f_{x_1},f_{x_2},\dots ,f_{x_n})\cdot (d{x}_1,d{x}_2,\dots ,d{x}_n)+\text{error}$$

donde el error es pequeño en comparación con

$$\sqrt{d{x}_1^2+d{x}_2^2+\cdots +d{x}_n^2}\cdot$$

Denotamos el vector $(d{x}_1,d{x}_2,\dots ,d{x}_n)$ por $dX$, y denotamos el vector $(f_{x_1},f_{x_2},\dots ,f_{x_n})$ por grad f (llamado "el gradiente de $𝒇$"). En esta notación, tenemos

$$df=(\text{grad }f)\cdot dX+\text{error},$$

donde el error es pequeño en comparación con $|dX|$.

Ahora, para variar, sea $f(x,y,z)$ una función de tres variables, y supongamos que cada una de estas es una función $x(t),y(t),z(t)$ de una sola variable $t$. Entonces $g(t)=f(x(t),y(t),z(t))$ es una función de $t$, y podemos investigar g'(t). Para hacerlo, debemos considerar

$$\frac{g(t+h)-g(t)}{h}=\frac{f(x(t+h),y(t+h),z(t+h))-f(x(t),y(t),z(t))}{h}\cdot$$

Ahora sea $dx=x(t+h)-x(t),dy=y(t+h)-y(t),dz=z(t+h)-z(t)$; entonces tenemos

$$\frac{g(t+h)-g(t)}{h}=\frac{df}{h}=\frac{(\text{grad }f)\cdot dX}{h}+\frac{\text{error}}{h}.$$

Ahora

$$\frac{1}{h}dX=(\frac{x(t+h)-x(t)}{h},\frac{y(t+h)-y(t)}{h},\frac{z(t+h)-z(t)}{h}),$$

de modo que

\lim_{h \to 0} (\text{grad } f) \cdot \frac{dX}{h} = (\text{grad } f) \cdot X'(t) \cdot

El término de error es de la forma $\alpha dx+\beta dy+\gamma dz$, donde $\alpha ,\beta$ y $\gamma$ tienden a cero cuando $|dX|$ tiende a cero. Como $h\to 0,|dX|\to 0$, puesto que se supone que $x(t),y(t),z(t)$ son continuas. Así,

\begin{array}{r cl c cl c cl} \dfrac{\text{error}}{h} = & \alpha & \dfrac{dx}{h} & + & \beta & \dfrac{dy}{h} & + & \gamma & \dfrac{dz}{h} \\ & \big\downarrow &\ \big\downarrow & & \big \downarrow &\ \big\downarrow & & \big\downarrow &\ \big\downarrow \\ & 0 & x'(t) & & 0 & y'(t) & & 0 & z'(t) \end{array}

como lo indican las flechas verticales.

Sustituyendo $g(t)$, obtenemos la fórmula

\frac{d}{dt} (f(x(t), y(t), z(t))) = (\text{grad } f) \cdot X'(t) ,

que es el caso de 3 variables de la regla de la cadena para funciones de varias variables. (En el caso de $f(x(t))$, se convierte simplemente en f'(x) \cdot x'(t), como hemos visto antes.)

EJERCICIOS