Aplicaciones del Teorema del Valor Medio

Decimos que una función $f(x)$ es estrictamente creciente si siempre que . $f(x)$ es estrictamente decreciente si implica . $f(x)$ se llama monótona creciente si implica $f(a)\le f(b)$, y monótona decreciente si implica $f(a)\ge f(b)$.

Ahora supongamos que $f(x)$ es continua para $a\le x\le b$ y que f'(x) existe y es positiva para todo $x$ tal que . Entonces sean $c$ y $d$ tales que . Entonces seguramente $f(x)$ satisface las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo $c\le x\le d$. Por lo tanto

f(d) - f(c) = f'(\xi)(d - c), \quad \text{donde } c < \xi < d .

Pero entonces f'(\xi) > 0, y . Por lo tanto , o . Esta es exactamente la condición de que $f(x)$ sea estrictamente creciente en $a\le x\le b$.

De manera similar, se demuestra que
a) Si f'(x) < 0 para , entonces $f(x)$ es estrictamente decreciente.
b) Si f'(x) \ge 0 para , entonces $f(x)$ es monótona creciente.
c) Si f'(x) \le 0 para , entonces $f(x)$ es monótona decreciente.

Estos se dejan como ejercicios. Observe, sin embargo, que hay funciones que son, por ejemplo, monótonas decrecientes, pero que no son continuas, y por lo tanto ni siquiera tienen derivadas en todo un intervalo. Como ejemplo, sea

f(x) = \left\{ \begin{aligned} 1 - x, \quad 0 \le x < \frac{1}{2} \\ 0, \quad \frac{1}{2} \le x \le 1 \end{aligned} \right\} .

Hemos visto que la derivada de una constante es cero. Ahora podemos probar el recíproco, a saber, que una función continua $f(x)$ en $a\le x\le b$ cuya derivada f'(x) = 0 para todo , es una constante. Pues si , entonces f(d) - f(a) = f'(\xi)(d - a) para algún , por el Teorema del Valor Medio. Pero f'(\xi) = 0, y $f(d)=f(a)$. Como $d$ podría ser cualquier número del intervalo, tenemos $f(x)=f(a)$ para todo $x,a\le x\le b$, y $f(x)$ es una constante.

Como corolario de este resultado, sean $f(x)$ y $g(x)$ continuas en $a\le x\le b$ y sea f'(x) = g'(x) para todo . Entonces $f(x)-g(x)$ es continua y tiene derivada 0, por lo tanto es una constante $c$. Así, $f(x)=g(x)+c$. Hemos demostrado que dos funciones que tienen derivadas iguales en un intervalo difieren en una función constante. (Nótese que fue la linealidad de la operación de derivación lo que hizo de esto una consecuencia fácil del resultado anterior.)

A continuación considere la función $f(x)=x-\sin x$. Esta es continua y derivable en cualquier intervalo; su derivada es $1-\cos x\ge 0$. Por lo tanto es monótona creciente. Pero $f(0)=0$, así que si $x\ge 0$, entonces $f(x)\ge f(0)=0$, y $x-\sin x\ge 0$ si $x\ge 0$. De manera análoga, la función $-1+\frac{1}{2}{x}^2+\cos x$ toma el valor 0 cuando $x=0$; su derivada es $x-\sin x\ge 0$ para $x\ge 0$ por lo anterior. Por lo tanto es también una función monótona creciente, y así $-1+\frac{1}{2}{x}^2+\cos x\ge 0$ cuando $x\ge 0$. Ahora bien,

$$-x+\frac{x^3}{6}+\sin x\ge 0$$

para $x\ge 0$, por un razonamiento similar; continuando, tenemos

$$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cos x\ge 0,$$$$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\sin x\ge 0,$$$$-1+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cos x\ge 0,$$$$⋮$$

para todo $x\ge 0$, donde $n!$ ($𝒏$-factorial) es el producto $1\cdot 2\cdot \cdots \cdot n$. (Nótese que $2!=2,1!=1$. Acordamos escribir $0!=1$.) Estas pueden transponerse para dar las siguientes desigualdades para todo $x\ge 0$:

$$\sin x\le x$$$$1-\frac{1}{2!}{x}^2\le \cos x\le 1$$$$x-\frac{x^3}{3!}\le \sin x\le x$$$$1-\frac{x^2}{2!}\le \cos x\le 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}$$$$x-\frac{x^3}{3!}\le \sin x\le x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$$

Así tenemos polinomios para aproximar $\sin x$ y $\cos x$, al menos para $x\ge 0$ (también se puede aplicar el método al caso $x\le 0$). El error al usar uno de estos polinomios como aproximación es a lo sumo la diferencia entre él y el siguiente polinomio de la sucesión; por ejemplo, si usamos $1-\frac{1}{3!}=.833\dots$ para estimar $\sin 1$, nuestro error es a lo sumo $\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}$.

PROBLEMAS