کاربردهای قضیه مقدار میانگین

می‌گوییم تابع $f(x)$ اکیداً صعودی است اگر هرگاه باشد، باشد. $f(x)$ اکیداً نزولی است اگر نتیجه دهد . $f(x)$ یکنوای صعودی نامیده می‌شود اگر نتیجه دهد $f(a)\le f(b)$، و یکنوای نزولی نامیده می‌شود اگر نتیجه دهد $f(a)\ge f(b)$.

حال فرض کنید $f(x)$ برای $a\le x\le b$ پیوسته باشد و برای تمام $x$هایی که وجود داشته و مثبت باشد. سپس فرض کنید $c$ و $d$ به گونه‌ای باشند که . در این صورت مسلماً $f(x)$ در بازهٔ $c\le x\le d$ در فرضیات قضیهٔ مقدار میانگین صدق می‌کند. بنابراین

اما در این صورت و است. بنابراین ، یا . این دقیقاً همان شرط اکیداً صعودی بودن $f(x)$ روی $a\le x\le b$ است.

به روشی مشابه می‌توان نشان داد که
a) اگر برای داشته باشیم ، آنگاه $f(x)$ اکیداً نزولی است.
b) اگر برای داشته باشیم ، آنگاه $f(x)$ یکنوای صعودی است.
c) اگر برای داشته باشیم ، آنگاه $f(x)$ یکنوای نزولی است.

این موارد به عنوان تمرین واگذار می‌شوند. با این حال، توجه داشته باشید که توابعی وجود دارند که برای مثال، یکنوای نزولی هستند اما پیوسته نیستند، و بنابراین حتی در سراسر یک بازه مشتق ندارند. به عنوان مثال، فرض کنید

دیده‌ایم که مشتق یک مقدار ثابت، صفر است. اکنون می‌توانیم عکس آن را اثبات کنیم، یعنی این که یک تابع پیوستهٔ $f(x)$ روی $a\le x\le b$ که مشتق آن برای تمام $x$ها با برابر با است، یک تابع ثابت است. زیرا اگر باشد، بنا بر قضیهٔ مقدار میانگین، برای یک $\xi$ با داریم . اما است، و بنابراین $f(d)=f(a)$. از آنجا که $d$ می‌تواند هر عددی از این بازه باشد، برای تمام $x$ها با $a\le x\le b$ داریم $f(x)=f(a)$، و $f(x)$ یک تابع ثابت است.

به عنوان نتیجه‌ای از این قضیه، فرض کنید $f(x)$ و $g(x)$ روی $a\le x\le b$ پیوسته باشند و برای تمام $x$ها با داشته باشیم . آنگاه $f(x)-g(x)$ پیوسته است و مشتق آن ۰ است، بنابراین یک مقدار ثابت $c$ است. پس $f(x)=g(x)+c$. ما اثبات کرده‌ایم که دو تابع که در یک بازه مشتق‌های برابر دارند، در یک تابع ثابت با هم تفاوت دارند. (توجه داشته باشید که این خطی بودن عمل مشتق‌گیری بود که این نتیجه را به یک نتیجه‌گیری آسان از قضیهٔ قبلی تبدیل کرد.)

سپس تابع $f(x)=x-\sin x$ را در نظر بگیرید. این تابع در هر بازه‌ای پیوسته و مشتق‌پذیر است؛ مشتق آن $1-\cos x\ge 0$ است. بنابراین یکنوای صعودی است. اما $f(0)=0$ است، بنابراین اگر $x\ge 0$ باشد، آنگاه $f(x)\ge f(0)=0$ و اگر $x\ge 0$ باشد، $x-\sin x\ge 0$ است. به همین ترتیب، مقدار تابع $-1+\frac{1}{2}{x}^2+\cos x$ به ازای $x=0$ برابر با ۰ است؛ طبق آنچه در بالا آمد، مشتق آن به ازای $x\ge 0$ برابر با $x-\sin x\ge 0$ است. از این رو این تابع نیز یک تابع یکنوای صعودی است، و بنابراین وقتی $x\ge 0$ باشد، $-1+\frac{1}{2}{x}^2+\cos x\ge 0$ است. حال

به ازای $x\ge 0$، با استدلالی مشابه؛ با ادامهٔ این روند، داریم

به ازای همه $x\ge 0$، که در آن $n!$ ($𝒏$-فاکتوریل) حاصل‌ضرب $1\cdot 2\cdot \cdots \cdot n$ است. (توجه کنید که $2!=2,1!=1$. توافق می‌کنیم بنویسیم $0!=1$.) این‌ها را می‌توان جابه‌جا کرد تا نابرابری‌های زیر به ازای همه $x\ge 0$ به دست آیند:

بنابراین چندجمله‌ای‌هایی برای تقریب $\sin x$ و $\cos x$، دست‌کم برای $x\ge 0$ داریم (همچنین می‌توان این روش را برای حالت $x\le 0$ نیز به کار برد). خطا در استفاده از یکی از این چندجمله‌ای‌ها به عنوان تقریب، حداکثر برابر با اختلاف بین آن و چندجمله‌ای بعدی در دنباله است؛ برای نمونه، اگر از $1-\frac{1}{3!}=.833\dots$ برای تخمین $\sin 1$ استفاده کنیم، خطای ما حداکثر $\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}$ خواهد بود.

مسائل