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1.1 La teoría de la probabilidad como el estudio de fenómenos aleatorios

Una de las características más sorprendentes de la actualidad es el uso cada vez mayor de las ideas de la teoría de la probabilidad en una amplia variedad de campos científicos, que involucran asuntos tan remotos y diferentes como la predicción por parte de genetistas de la frecuencia relativa con la que ocurren diversas características en grupos de individuos, el cálculo por parte de ingenieros telefónicos de la densidad del tráfico telefónico, el mantenimiento por parte de ingenieros industriales de productos manufacturados en un cierto estándar de calidad, la transmisión (por parte de ingenieros interesados en el diseño de sistemas de comunicaciones y de control automático) de señales en presencia de ruido, y el estudio por parte de físicos del ruido térmico en circuitos eléctricos y el movimiento browniano de partículas sumergidas en un líquido o gas. ¿Qué es lo que se estudia en la teoría de la probabilidad que le permite tener aplicaciones tan diversas? Para responder a esta pregunta, primero debemos definir la propiedad que poseen en común fenómenos tales como el número de individuos que poseen una cierta característica genética, el número de llamadas telefónicas realizadas en una ciudad determinada entre determinadas horas del día, el estándar de calidad de los artículos fabricados por un proceso determinado, el número de accidentes automovilísticos cada día en una carretera determinada, y así sucesivamente. Cada uno de estos fenómenos a menudo puede considerarse un fenómeno aleatorio en el sentido de la siguiente definición.

Un fenómeno aleatorio (o de azar) es un fenómeno empírico caracterizado por la propiedad de que su observación bajo un conjunto dado de circunstancias no siempre conduce al mismo resultado observado (de modo que no hay una regularidad determinista) sino más bien a diferentes resultados de tal manera que existe una regularidad estadística. Con esto se quiere decir que existen números entre 0 y 1 que representan la frecuencia relativa con la que se pueden observar los diferentes resultados posibles en una serie de observaciones de ocurrencias independientes del fenómeno.

Estrechamente relacionadas con la noción de un fenómeno aleatorio están las nociones de un evento aleatorio y de la probabilidad de un evento aleatorio. Un evento aleatorio es aquel cuya frecuencia relativa de ocurrencia, en una secuencia muy larga de observaciones de situaciones seleccionadas al azar en las que el evento puede ocurrir, se aproxima a un valor límite estable a medida que el número de observaciones aumenta hacia el infinito; el valor límite de la frecuencia relativa se llama probabilidad del evento aleatorio.

Para exponer con más detalle lo que se entiende por un fenómeno aleatorio, consideremos un evento aleatorio típico; a saber, un accidente de automóvil. Es evidente que el lugar, el momento y la forma en que ocurre un accidente particular dependen de una enorme cantidad de factores, un ligero cambio en cualquiera de los cuales podría alterar enormemente el carácter del accidente o incluso evitarlo por completo. Por ejemplo, en una colisión de dos autos, si uno de los automovilistas hubiera salido diez segundos antes o diez segundos después, si se hubiera detenido a comprar cigarrillos, hubiera disminuido la velocidad para evitar a un gato que casualmente cruzaba la carretera, o hubiera alterado su curso por cualquiera de un número ilimitado de razones similares, este accidente en particular nunca habría sucedido; mientras que incluso un giro ligeramente diferente del volante podría haber evitado el accidente por completo o cambiado su carácter totalmente, ya sea para mejor o para peor. Para cualquier automovilista que sale a una carretera determinada, no se puede predecir si se verá involucrado o no en un accidente de automóvil. No obstante, si observamos a todos (o simplemente a un número muy grande de) los automovilistas que salen a esta carretera en un día determinado, podemos determinar la proporción que tendrá accidentes de automóvil. Si esta proporción permanece igual de un día a otro, entonces podemos adoptar la creencia de que lo que le sucede a un automovilista que conduce por esta carretera es un fenómeno aleatorio y que el evento de tener un accidente de automóvil es un evento aleatorio.

Otro fenómeno aleatorio típico surge cuando consideramos el experimento de extraer una bola de una urna. En particular, examinemos una urna (o un cuenco) que contiene seis bolas, de las cuales cuatro son blancas y dos son rojas. Excepto por el color, las bolas son idénticas en cada detalle. Se extrae una bola y se anota su color. Podríamos sentirnos tentados a preguntar "¿cuál será el color de una bola extraída de la urna?". Sin embargo, está claro que no hay respuesta a esta pregunta. Si uno realiza realmente el experimento de extraer una bola de una urna, como la descrita, el color de la bola que uno extrae a veces será blanco y a veces rojo. Por lo tanto, el resultado del experimento de extraer una bola es impredecible.

Sin embargo, hay cosas que son predecibles sobre este experimento. En la Tabla 1A se dan los resultados de 600 ensayos independientes (es decir, hemos tomado una urna que contiene cuatro bolas blancas y dos bolas rojas, mezclado bien las bolas, extraído una bola y anotado su color, después de lo cual la bola extraída fue devuelta a la urna; estas operaciones se repitieron 600 veces). Se ve que en cada bloque de 100 ensayos (así como en el conjunto completo de 600 ensayos) la proporción de experimentos en los que se extrae una bola blanca es aproximadamente igual a \frac{2}{3}. En consecuencia, uno puede sentirse tentado a afirmar que la proporción \frac{2}{3} tiene algún significado real para este experimento y que en una serie razonablemente larga de ensayos del experimento, \frac{2}{3} de las bolas extraídas serán de color blanco. Si uno sucumbe a esta tentación, entonces ha afirmado que el resultado del experimento (de extraer una bola de una urna que contiene seis bolas, de las cuales cuatro son blancas y dos son rojas) es un fenómeno aleatorio.

Más generalmente, si uno cree que el experimento de extraer una bola de una urna producirá, en una larga serie de ensayos, una bola blanca en alguna proporción definida (que uno puede no conocer) de los ensayos del experimento, entonces ha afirmado (i) que la extracción de una bola de tal urna es un fenómeno aleatorio y (ii) que la extracción de una bola blanca es un evento aleatorio.

Demos una ilustración de la manera en que