自重作用下的缆索

在某些情况下，作用在柔性缆索上的载荷是沿缆索长度均匀分布的，而不是沿水平方向分布。当缆索上的主要载荷是其自身重量时（例如输电线），情况总是如此。在这个问题中，上面推导出的相同微分方程仍然适用： $\frac{d y}{d x} = \frac{W}{F_{h}}$ 其中现在 $W = w_{1} s$ 其中 $w_{1}$ 是缆索单位长度的重量，而 $s$ 是从最低点到点 $x, y$ 的缆索长度。

用 $x$ 和 $y$ 表示 $s$ ，我们有： $\frac{d s}{d x} = \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} .$

由于 $\frac{d y}{d x} = \frac{w_{1} s}{F_{h}}$ 这变为从积分表中我们得到： $x = \frac{F_{h}}{w_{1}} \sinh^{- 1} \frac{w_{1} s}{F_{h}} + C_{1}$

当 $x = 0, s = 0$ 时，因此 $C_{1} = 0$ 。从而 $\frac{w_{1} s}{F_{h}} = \sinh \frac{w_{1} x}{F_{h}}; s = \frac{F_{h}}{w_{1}} \sinh \frac{w_{1} x}{F_{h}}$

将此代入原微分方程，我们得到：当 $x = 0, y = 0$ 时 $0 = \frac{F_{h}}{w_{1}} \cosh 0 + C_{2}; C_{2} = - \frac{F_{h}}{w_{1}}$ 因此该方程给出了在自重作用下悬挂的柔性缆索所呈现的曲线。这种曲线被称为悬链线。

缆索中的力可以用与抛物线缆索相同的方法求得，前一节的公式 (2)变为： $F = \sqrt{F_{h}^{2} + w_{1}^{2} s^{2}} = F_{h} \sqrt{1 + \sinh^{2} \frac{w_{1} x}{F_{h}}}$ 由于 $\cosh^{2} α - \sinh^{2} α = 1$ 这给出： $F = F_{h} \cosh \frac{w_{1} x}{F_{h}}$ 适用于悬挂在同一高度的两个支座上的缆索。最大力将发生在支座处，此时 $x = \frac{l}{2}$ ，所以 $F_{max} = F_{h} \cosh \frac{w_{1} l}{2 F_{h}}$ 为了求 $F_{h}$ ，我们注意到当 $x = \frac{l}{2}, y = f$ 时。将这些值代入联系 $x$ 和 $y$ 的方程中得到： $f = \frac{F_{h}}{w_{1}} (\cosh \frac{w_{1} l}{2 F_{h}} - 1)$

在大多数实际问题中，该方程可以通过试凑法轻松求解。

6.15.1 习题

1. 一根长 1000 ft、重 2 lb/ft 的缆索悬挂在同一高度的两个点上。如果缆索中的力限制在 2000 lb 以内，那么跨度应该是多少？

答案

950 ft

2. 计算上述第 172 题中缆索的垂度。对于计算出的跨度和垂度，假设缆索的总重量在水平方向上均匀分布，求该缆索中的最大力，并将其与实际力进行比较。

答案

$133 ft; 2045 lb$

3. 一根重 3 lb/ft 的缆索张紧在同一高度且相距 1000 ft 的两点之间。垂度为 100 ft。求缆索中的最大张力以及缆索的长度。（注：此题需要使用试凑法求解。）

答案

$4050 lb; 1025 ft$

4. 一条输电线架设时要求对地最小净空距离为 30 ft。所用导线重 $\frac{1}{2} lb$ /ft，最大允许张力为 1000 lb。如果铁塔高度为 40 ft，它们之间的距离应该是多少？

答案

398 ft

5. 一根长 300 ft 的柔性缆索重 1 lb/ft。该缆索悬挂在同一高度且相距 200 ft 的两个支座上。求缆索的垂度和缆索中的最大力。

答案

$101 ft; 162 lb$

6. 在上面推导出的悬链线缆索 $x$ 与 $y$ 关系公式中，证明如果仅保留双曲余弦级数展开式的前两项，该表达式将与抛物线缆索所得到的表达式完全相同。