承受水平分布荷载的悬索

假设集度为 $w$ 磅/英尺的均匀分布载荷作用在缆索上。那么参考上图，可以看出 $W=wx$，并且微分方程（见前一节）变为： $$\frac{dy}{dx}=\frac{wx}{F_h}$$ 现在可以对该方程进行积分，得到： $$y=\int \frac{wx}{F_h}dx+c=\frac{w{x}^2}{2F_h}+c$$ 为了求积分常数，我们注意到对于所选的坐标系，当 $x=0$ 时 $y=0$，因此 $c=0$，那么 这是抛物线方程，因此我们证明了受均匀分布垂直载荷作用的柔性缆索将呈现抛物线形状。

由图 1c 的受力图，我们有： $$F=\sqrt{F_h^2+W^2}$$ 因此对于均匀水平载荷 由此可见，缆索最低点处的水平力 $F_h$ 是缆索中最小的力，并且该力随着 $x$ 的增加而增加，在支座处达到最大值。

在大多数实际问题中，我们会知道缆索的跨度，即支座之间的水平距离，并且我们希望知道缆索中的最大力与缆索的垂直垂度之间的关系。我们将针对缆索两端支撑在同一水平面上的情况（如图 2 所示）推导这一关系。使用上面推导方程 (1) 时所用的相同坐标系，我们注意到当 $x={\displaystyle \frac{l}{2}},y=f$ 时，由方程 (1) 可得： $$f=\frac{w{\left({\displaystyle \frac{l}{2}}\right)}^2}{2F_h};F_h=\frac{w{l}^2}{8f}$$

那么，支座处缆索的最大力可由方程 (2) 求得。

另一个经常需要的关系是跨度 $l$、缆索总长度 $S$ 以及垂度 $f$ 之间的关系。在上述缆索中，长度为： $$\begin{array}{c}S=2{\int }_0^{\frac{l}{2}}dS=2{\int }_0^{\frac{l}{2}}\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=2{\int }_0^{\frac{l}{2}}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx\\ S=2{\int }_0^{\frac{l}{2}}\sqrt{1+\frac{w^2{x}^2}{F_h^2}}dx\end{array}$$ 由积分表，我们有：

为了将其转化为更便于计算的形式，让我们将每一项展开为级数。这些函数的级数展开式为：

用“垂跨比” $\left(\frac{f}{l}\right)$ 来表示这些，我们有： $$F_h=\frac{w{l}^2}{8f^2},\text{ 从而有 }\left(\frac{wl}{2F_h}\right)=4\left(\frac{f}{l}\right)$$

该比值通常足够小，因此上述级数展开式将快速收敛，只需保留级数的前几项。因此：

由该表达式，当跨度和垂度已知时，即可确定缆索的长度。

6.14.1 习题

3. 如图所示，一根缆索承受 7500 磅的均匀分布水平载荷。求缆索中的最大力。

答案

5460 磅