作为弯矩图的索多边形

我们在上面已经看到，索多边形的构造等效于求解力矩方程。我们现在将展示索多边形图与力矩之间的关系。

在图 1a 中示出了索多边形图中出现的力（$ab$）。同一力的力图如图 1b 所示。在 (a) 中还示出了索多边形图的两条索线 $ao$ 和 $bo$，它们平行于力图中的射线 $ao$ 和 $bo$。任取一点 $A$，其与力 $(ab)$ 的距离为 $l$，并设通过 $A$ 且平行于 $ab$ 的直线在索多边形图上截得的线段为 $d$。我们进一步将极点 $O$ 与力 $(ab)$ 之间的垂直距离称为极距，$p$。那么，图 1 中所示的两个阴影三角形显然是相似的，我们有： 但 $l(ab)=$ 力 (ab) 对点 $A$ 的力矩；因此，我们可以说：力对某点的力矩等于极距乘以索多边形图上的截距。

这一命题的主要价值可以从平行力系的情况中看出，如图 2 所示。

假设我们希望求出点 $A$ 左侧所有力对点 $A$ 的力矩之和。与前面一样，我们设 $d$ 为通过 $A$ 且平行于该力系各力的直线在索多边形图上截得的线段。力 $(ab)$ 和 ($bc)$ 对点 $A$ 的力矩之和将等于这两个力（$ab$）和（$bc$）的合力对点 $A$ 的力矩。该合力即为力（$ac$），其作用在索多边形图所示的位置。再次注意到索多边形图和力图中所示的阴影三角形是相似的，我们有： 即点 $A$ 左侧的力矩之和等于索多边形图中的截距乘以极距。

从图 2 可以看出，对于点 $A$ 的任何位置以及任意数量的力，这一结论都是成立的。

在许多工程问题中，需要绘制一个图表，以显示对于平行力系，在点的不同位置处，该点左侧所有力的力矩之和。可以看出，索多边形图以取决于极距 $p$ 的比例尺表示了这样一个力矩图。索多边形图以这种方式被广泛用于轴的挠度和临界转速的图解确定。

6.8.1 习题

1. 对于图中所示的力系，用图解法求出这些点左侧的力对点 $A$ 和点 $B$ 的合力矩。用解析法校验对 $A$ 的力矩。

答案

$M_{\mathrm{A}}=720\mathrm{ft}-\mathrm{lb};$ $M_{\mathrm{B}}=2820\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

2. 一根承受如图所示载荷的梁支撑在其两端。利用索多边形图，用图解法求出沿梁长度方向上的某一点，使得该点一侧所有力的力矩之和达到最大值。

答案

距左端 5 ft