面积、长度和体积的形心

通过推广矩的概念，上述思想可以延伸到其他几个重要问题。

假设我们有一个微元面积 $dA$，它距离某个轴的距离为 $x$。然后我们说，该面积对该轴的面积矩是乘积 $xdA$。为了求出任意有限平面面积对其次平面内任意直线的矩，我们只需要将所有微元的矩相加，如图 1 所示。

$dA$ 对 $y$ 轴的矩为 $xdA$，而整个面积对 $y$ 轴的总矩为 ¹：

我们现在定义距离 $x_c$，使得该距离乘以总面积等于该面积对 $y$ 轴的矩：$$\left(x_c\right)(A)=\int xdA$$ 类似地，距离 $y_c$ 定义为 $$\left(y_c\right)(A)=\int ydA$$ 由坐标 $x_c,y_c$ 确定的点 被称为该面积的形心。

我们称为面积矩的量 ${\displaystyle \int xdA}$ 通常被称为面积的静矩（一次矩），而表达式 ${\displaystyle \int x^{2}dA}$ 被称为二次矩。通常使用名称面积惯性矩来代替二次矩。可以确定一个长度 $r$，使得： 这个距离 $r$ 被称为面积对 $y$ 轴的回转半径。

这些关于面积矩、形心距离和回转半径的概念，稍后将在动力学和弹性力学领域的许多问题分析中被发现非常有用。

长度、非共面面积或体积的形心可以按照我们定义平面面积形心的相同方式来定义。写出这些形心的直角坐标分量，我们有：

对于长度为 $l$ 的线段：$$x_c=\frac{{\displaystyle \int xdl}}{{\displaystyle \int dl}};y_c=\frac{{\displaystyle \int ydl}}{{\displaystyle \int dl}};z_c=\frac{{\displaystyle \int zdl}}{{\displaystyle \int dl}}$$ 对于表面积 $S$：$$x_c=\frac{{\displaystyle \int xdS}}{{\displaystyle \int dS}};y_c=\frac{{\displaystyle \int ydS}}{{\displaystyle \int dS}};z_c=\frac{{\displaystyle \int zdS}}{{\displaystyle \int dS}}$$ 对于体积 $V$：$$x_c=\frac{{\displaystyle \int xdV}}{{\displaystyle \int dV}};y_c=\frac{{\displaystyle \int ydV}}{{\displaystyle \int dV}};z_c=\frac{{\displaystyle \int zdV}}{{\displaystyle \int dV}}$$

可以看出，形心与重心之间存在着密切的关系。均匀固体的重心位于该固体体积的形心处。在许多书中，形心和重心这两个术语是可以互换使用的，但值得注意的是，在某些情况下（例如比重分布不均匀的物体），重心可能与体积的形心不重合。