面积的惯性积

考虑一个面积以及该面积平面内的一个 $xy$ 坐标系，如图 1 所示。

积分 被称为面积关于 $xy$ 坐标系的惯性积。这种形式的积分经常出现在动力学和材料力学问题的分析中，因此有必要对这些项进行求解。

对于一些简单的图形，可以直接通过积分来计算惯性积。对于更复杂的图形，可以将其分解为更简单的单元，这些单元的惯性积是已知的或可以很容易地确定，然后总惯性积将是各部分惯性积的总和。为此，最好有一个平行轴定理，用于将惯性积从一个坐标系转换到另一个坐标系。

假设已知一个面积关于位于该面积形心处的直角坐标轴的惯性积 $I_{x_c{y}_c}$，如图 2 所示。为了求关于任何其他平行坐标系的惯性积 $I_{xy}$，我们有： 第一项变为 $x_c{y}_{c}A$，第二项和第三项消去，因为 轴通过该面积的形心，最后一项是 $I_{x_c{y}_c}$，因此： 如果坐标轴要从一个非形心轴转换到另一个平行的非形心轴，需要注意的是，首先必须确定关于形心坐标系的惯性积作为中间步骤。上述平行轴转换公式仅在 轴位于面积形心时才适用。

由于惯性积表达式中出现的项 $x$ 和 $y$ 可以是正数也可以是负数，因此惯性积本身也可以是正或负。位于第一象限的那部分面积将产生正的惯性积，位于第二象限的那部分面积将产生负的惯性积，依此类推。总惯性积的符号通常可以通过观察来确定，因为它取决于位于各个象限中的面积的相对比例。如果 $x$ 轴或 $y$ 轴是图形的对称轴，则 $I_{xy}=0$，因为会有一个负的 $xydA$ 项来抵消每个正的 $xydA$ 项。这一事实通常可以与平行轴定理结合使用，从而无需积分即可求得惯性积。

例题。求直角三角形面积关于平行于底边和高线的形心轴的惯性积。

解。解决这个问题最直接的方法是，首先通过积分求出关于图 3 所示 $xy$ 坐标系的惯性积，然后利用转换定理求出形心惯性积。 由转换定理，我们有： 注意，题目陈述并不会得出唯一的答案，因为 $I_{x_c{y}_c}$ 的符号取决于其朝向（图 4）。