重心

在大多数工程工作所需的近似精度内，作用在物体上的重力系统可以被视为一个平行力系。由于重力总是存在且在大多数问题中必须予以考虑，因此有必要通过一般性分析来简化对此类平行力系的处理。

我们首先将证明，对于物体的任何取向，作用在物体上的平行重力系统都具有一个通过物体内某一特定点的合力。这个平行重力中心被称为物体的重心，就静力学考虑而言，物体的全部重量都可以被视为集中在该点上。

考虑一个由图 1 中的三个质点表示的刚性系统。

该系统受到平行重力 $F_1,F_2$ 和 $F_3$ 的作用。在此图中，$y$ 轴并不是铅垂方向，而是使系统在空间中具有某种任意的取向。

我们现在将每个平行力分解为三个直角分量： 其中 $k_1,k_2,k_3$ 是方向余弦，并且由于这些力是平行的，所以它们对所有的力都是相同的。

考虑平行于 $x$ 轴的力系，根据力矩原理，我们有： 但 $$R_x=k_1{F}_1+k_1{F}_2+k_1{F}_3$$ 因而

$$y_c=\frac{{\displaystyle k_1\sum (F)(y)}}{{\displaystyle k_1\sum F}}=\frac{{\displaystyle \sum (F)(y)}}{{\displaystyle \sum F}}$$ 以及 $$z_c=\frac{{\displaystyle \sum (F)(z)}}{{\displaystyle \sum F}}$$ 类似地，取平行于 $y$ 轴的力分量，我们得到：$$x_c=\frac{{\displaystyle \sum (F)(x)}}{{\displaystyle \sum F}}$$

因此，我们定义了一个点 $x_c,y_c,z_c$，它是任何平行重力系统合力的作用点。由于定义系统取向的特定方向余弦在分析中被消去了，可以看出，该平行力中心的位置与物体的取向无关。这个点被称为系统的重心。

将这一原理应用于总重量为 $W$ 的均匀物体，我们可以将这一单一力 $W$ 简化为每个大小为 $dW$ 的平行力系，从而使得 $W={\displaystyle \int dW}$。然后，如果我们用坐标 $x,y,z$ 来确定每个微元重量 $dW$ 的位置，我们就可以得到该物体重心的位置：