平面上的静水压力

让我们求由于流体压力作用在浸没平面区域 $A$ 上的总作用力。我们将假设在流体表面压力为零（忽略大气压），并且我们将从该自由表面垂直向下测量深度 $h$。

根据前一节的最后一个方程，当 $h=0$ 时令 $p_1=0$ $$p=\gamma h$$ 首先考虑图 1a 所示的水平面，我们看到该平面上各处的压力都具有相同的值 $\gamma$，因此作用在平面上的总向下力为 $\gamma hA$，作用在区域的形心处。然而，在垂直区域的情况下（图 1b），压力沿着该区域的深度变化，作用在该区域上的力系统变成了一个非均匀平行力系统。这种非均匀平行力系统的合力通过压力分布图的形心，而不是通过该区域的形心。浸没物体上压力合力作用的点被称为压力中心。

作为例子，假设我们有一个矩形区域，如图 1c 所示。该区域上的总作用力和压力中心的位置可以通过积分求得；阴影面积微元上的力为： $$\gamma hb(dh)$$ 将这些力求和，我们得到总作用力 $R$： 为了寻找压力中心，对点 $O$ 取矩： $$\begin{array}{c}\left(h_c\right)(R)=\gamma b{\int }_{h_1}^{m_1}{h}^{2}dh={\gamma b\left(\frac{h^3}{3}\right)|}_{h_1}^{n_2}\\ h_c=\frac{2}{3}\frac{(h_2{}^3-h_1{}^3)}{(h_2{}^2-h_1{}^2)}\\ \text{ (对于矩形区域) }\end{array}$$