分布力

我们迄今为止所处理的大多数力都被假设为集中在一点上。到目前为止，我们唯一的例外是均匀分布的重力。在其他许多常见情况下，力是分布在整个体积或面积上的。例如，我们知道在自然界中不可能实现仅集中在一点上的载荷。接触中受载表面的不可避免的变形将确保载荷实际上分布在某个微小的面积上，而不是集中在一点。这种载荷在面积上的分布通常是一件好事，因为对于工程材料来说，在材料发生破裂或断裂之前，能够安全承受的单位面积载荷存在一个上限。如果一个给定的载荷要由一个表面来支撑，有时需要特别注意确保载荷分布在相当大的面积上，以避免过大的单位载荷。

这种载荷的一个例子是图1所示的梁。

在图1a中，表明了梁在两端受支撑并在支撑之间承受集中载荷的情况。在(b)中示出了梁的自由体图，并且如前几章所述，载荷和反力已被表示为集中载荷。在(c)中示出了实际情况的更精确图景。外加载荷 $F$ 以及支撑处的反力 $R_1$ 和 $R_2$ 实际上都是平行力的分布系统。梁与支撑表面之间的力被示为分布在梁的长度 $AB$ 上，而不是在一点上。由于梁变形的方式，该力也很可能在距离 $AB$ 上非均匀分布，并且在 $B$ 处大于在 $A$ 处。因此，作为第一步近似，我们示出了沿长度 $AB$ 的力的线性变化。这个表示力沿梁长度变化方式的图被称为力图，而该图的纵坐标（即单位长度的力）被称为力强度。可以看出，力图的面积等于平行力系统的合力，并且该合力通过力图面积的形心。通过这种方式，出于静力学目的，我们可以将分布力系统简化为作用在确定点上的单个力。

在上述例子中，我们仅考虑了力强度沿梁长度方向的变化。在某些问题中，还必须考虑该力强度沿梁宽度方向的变化。这种三维力分布如图2所示。

在这种情况下，载荷 $P$ 偏离了梁的中心线，因此沿梁后部区域的反力强度大于沿梁前边缘的反力强度。

因此，如图2所示，反力在空间中形成了一个平行力系统。现在我们不再使用力强度，而是使用单位面积的力，称为压力或应力。因此，出于静力学目的，这个空间中非均匀分布的力系统可以被一个单一的合力所替代，其大小等于压力图的体积，并且该合力通过该体积的形心。

例题。梁的一端固定在墙内，如图3a所示，而另一端承受集中力 $P$。假设梁上反力强度的变化如图(b)所示，求最大力强度 $p_1$ 和 $p_2$。

解答。我们可以用作用在力强度图形心处的合力来代替所示的分布载荷，如图(c)所示。

对点 $A$ 取矩，由平衡条件可得： 同理 作为校验方程，我们可以写出力求和方程：

4.9.1 习题

1. 一根梁承受 $100\mathrm{lb}$ 的集中载荷，并如图所示受支撑。假设支撑处的反力均匀分布在支撑宽度上，求两个支撑处的力强度。

答案

27.8 lb/in., 44.5 lb/in.

2. 梁上的载荷从一端的零线性变化到另一端每单位梁长度的载荷 $p$。如果梁重载端的反力 $R$ 不超过 $1500\mathrm{lb}$，那么该梁能承受的最大总载荷是多少？

答案

2250 lb

3. 一根梁的受载和支撑情况如图所示。假设反力图呈梯形，求反力强度。

答案

最大强度 $=200\mathrm{lb}$/ft