面积对倾斜轴的惯性矩

通过积分确定图形的惯性矩时，通常会发现，虽然对轴的某些位置进行积分可能相对容易，但由于图形边界的形状，其他位置可能会很困难。例如，对于平行于其中一边的任何轴，矩形面积的惯性矩很容易通过积分求得。然而，对于与边呈一定夹角的倾斜轴，积分和边界条件的代入会变得更加困难。因此，我们希望有一种方法，在已知关于某一轴的惯性矩的情况下，能够确定图形关于任意倾斜轴的惯性矩。

在图 1 中，假设关于 $x y$ 轴的惯性矩 $I_{x}$ 和 $I_{ν}$ 是已知的，并且希望求得关于与 $x$ 轴成角度 $ϕ$ 的轴的惯性矩。

微元面积 $d A$ 在坐标系中的坐标可以用 $x y$ 坐标系中的坐标来表示。那么关于轴的惯性矩由下式给出：将 $\cos^{2} ϕ = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 ϕ)$ 和 $\sin^{2} ϕ = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 ϕ)$ 代入，该表达式变为：因此，如果已知惯性矩 $I_{x}$ 和 $I_{y}$ ，以及惯性积 $I_{x y}$ ，就可以求得关于任意倾斜轴的惯性矩。

例题. 求矩形面积关于其一条长对角线的惯性矩（图 2）。

解答. 我们将矩形的中心作为 $x y$ 坐标系的原点。在这个坐标系中，我们有：关于倾斜轴的惯性矩的一般表达式为：在本例中：从而：

4.8.1 习题

1. 通过积分求如图所示位于第一象限的矩形面积的惯性积 $I_{x y}$ 。利用惯性积的移轴定理验证该结果。

2. 求如图所示取向的四分之一圆面积的惯性积 $I_{x y}$ 。

3. 求“图形的极惯性矩”一节中的例题 3中所示图形的惯性积 $I_{x y}$ 。

4. 证明图形平面内两个相互垂直的轴的惯性矩之和为一个常数，且与轴在图形内的旋转角度无关，例如在图 1 中，常数。证明根据极惯性矩的定义，这一结果是符合预期的。

5. 证明图形关于两个倾斜轴（如下图所示）的惯性积由下式给出：

6. 证明确定使惯性矩取得最大值或最小值的轴的角度由下式给出（参见上一题的图）： $\tan 2 ϕ = \frac{2 I_{x y}}{I_{y} - I_{x}} .$ 证明如果关于某一轴的惯性矩最大，那么关于与其垂直的轴的惯性矩最小。使惯性矩取得最大值和最小值的轴被称为图形的主惯性轴。

7. 证明图形关于主惯性轴的惯性积等于零（参考上述第 108 题）。

8. 《型钢手册》（Structural Steel Handbook）指出，一个 $6 \times 4 \times 1 in$ 厚的角钢截面面积关于该区域内任意直线的最小回转半径为 $0.86 in$ 。如果假设截面形状如图中所示，该假设与上述数值的吻合程度如何？在分析此类结构构件的强度时，需要用到该最小回转半径的值。